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选修2-1,2.1曲线与方程(三课时)

时间:2011-09-20


2.1 曲线与方程
第一课时

2.1.1 曲线与方程

复习回顾:
我们研究了直线和圆的方程. 1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线L的方程 为____________ 2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的 直线方程是______________ 3.圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程 为_______________________.

复习回顾:
我们研究了直线和圆的方程. 1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线L的方程

y ? kx ? b 为____________
2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的

x-y=0 直线方程是______________
3.圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程

( x ? a) ? ( y ? b) ? r 为_______________________.
2 2 2

思考?
坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0
第一、三象限角平分线

l ?

点的横坐标与纵坐标相等 条件

曲线
y

x=y(或x- y=0) 方程
x-y=0
x

l
0

含有关系:
(1)

l 上点的坐标都是方程x-y=0的解

(2)以方程x-y=0的解为坐标的点都 在 l 上

?说直线l的方程是x ? y ? 0, 又说方程x ? y ? 0的直线是l

思考?
圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为:
( x ? a )2 ? ( y ? b ) 2 ? r 2
y

.C
x
( x ? a )2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的解; (1)圆C上的点的坐标都是方程

( x ? a )2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的解为坐标的点都在圆 (2)方程 C上。

说明:

定义: 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看 作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点 与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下 的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的 y 点. f(x,y)=0 那么,这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线. x 0

1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形.

2.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解”
阐明曲线上没有坐标不满足方程的点,也就是 说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.

3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”
阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.

由曲线的方程的定义可知: 如果曲线C的方程是 f(x,y)=0,那么点P0(x0 ,y0) 在曲线C 上的 充要条件 是 f(x0, y0)=0

例1 :判断下列命题是否正确 (1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程 为︱x︱=3 (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1 (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方 程为︱xy︱=1 (4) △ABC的顶点A(0,-3),B(1,0),C(-1,0), D为BC中点,则中线AD的方程x=0
解:(1)不正确,应为x=3, (2)不正确,应为y=±1. (3)正确. (4)不正确,应为x=0(-3≤y≤0).

例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0) 的点的轨迹方程是xy=±k.

例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0) 的点的轨迹方程是xy=±k.

证明: 如图,设M ( x0 , y0 ) (1) 是轨迹上的任意一点, 因为点M 与x轴的距离为 y0 , 与y轴的距离为 x0 , 所以 x0 ? y0 ? k , 即( x0 , y0 ) 是方程xy ? ? k的解。

(2)设点M1的坐标( x1 , y1 )是方程xy ? ?k的解, 即x1 y1 ? ?k ,即 x1 ? y1 ? k
而 x1 , y1 正是点M 1到纵轴、横轴的距离, 因此点M 1到两条直线的距离的积是常数k , 点M 1是曲线上的点。

由(1),(2)可知,xy ? ?k是与两条坐标轴的距离。 的积为常数k (k ? 0)的点的轨迹方程。

归纳:

证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步,设 M (x0,y0)是曲线C上任一点, 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解; 第二步,设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解,证明 点 M (x0,y0)在曲线C上.

2.1 曲线与方程
第二课时

2.1.2求曲线的方程(1)

练习1:下列各题中,下图各曲线的曲线方程是 所列出的方程吗?为什么? (1)曲线C为过点A(1,1),B(-1,1)的折线 (如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0; (2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程 为x+ y =0; (3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到x轴,y轴的距 1 离乘积为1的点集其方程为y= 。
1 |x|

y
1

y
1

|x|

y
1

-1

0

x 1

-2 -1 0 1 2

x

-2 -1 0 1 2

x







练习1:下列各题中,下图各曲线的曲线方程是 所列出的方程吗?为什么? (1)曲线C为过点A(1,1),B(-1,1)的 折线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0; 不是 (2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程 为x+ y =0; 不是 (3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到x轴,y轴的距 1 离乘积为1的点集其方程为y= 。 是
1 |x|

y
1

y
1

|x|

y
1

-1

0

x 1

-2 -1 0 1 2

x

-2 -1 0 1 2

x







练习2:下述方程表示的图形分别是下图中的哪 一个?
① x - y =0
Y 1 O 1 X 1 O 1 X -1 O -1

② |x|-|y|=0
Y

③ x-|y|=0
Y 1 X Y 1 1 O -1 1 X

A

B

C

D

练习2:下述方程表示的图形分别是下图 中的哪一个?
① x - y =0
Y 1 O 1 X 1 O 1 X -1 O -1

② |x|-|y|=0
Y

③ x-|y|=0
Y 1 X Y 1 1 O -1 1 X

A

B

C

D

①表示 B ②表示 C

③表示 D

练习3:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程 f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是( ) A.方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上 C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲 线C D.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全 部

练习3:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程 f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是( D) A.方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上 C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲 线C D.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全 部

练习4:设圆M的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 2 ,直线l 的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1),那么( ) A.点P在直线上,但不在圆上 B.点P在圆上,但不在直线上; C.点P既在圆上,也在直线上 D.点P既不在圆上,也不在直线上
2 2

练习5:已知方程 mx ? ny ? 4 ? 0 的曲线经过 点 A(1,?2), B(?2,1) ,则 m =_____, n =______.
2 2

练习4:设圆M的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 2 ,直线l 的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1),那么( C ) A.点P在直线上,但不在圆上 B.点P在圆上,但不在直线上; C.点P既在圆上,也在直线上 D.点P既不在圆上,也不在直线上
2 2

练习5:已知方程 mx ? ny ? 4 ? 0 的曲线经过 4 点 A(1,?2), B(?2,1) ,则 m =_____, n =______. 4
2 2

5

5

1.“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y) =0的解”是“方程f(x,y)=0是曲线C的 方程”的( )条件

A,充分非必要
C,充要

B,必要非充分

D,既非充分也非必要

2.△ABC的顶点坐标分别是A(-4,-3),B (2,-1),C(5,7),则AB边上的中线的 方程为 。

1.“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y) =0的解”是“方程f(x,y)=0是曲线C的 方程”的( )条件 C

A,充分非必要
C,充要

B,必要非充分

D,既非充分也非必要

2.△ABC的顶点坐标分别是A(-4,-3),B (2,-1),C(5,7),则AB边上的中线的 方程为 3x ? 2 y ? 0(?1 ? x ? 5) 。

练习: (1) 设A(2,0)、B(0,2), 能否说线段AB的方程为x+y-2=0? (2) 方程x2-y2=0表示的图形是_______

上一节,我们已经建立了曲线的方程.方程的 曲线的概念.利用这两个重要概念,就可以借助 于坐标系,用坐标表示点,把曲线看成满足某 种条件的点的集合或轨迹,用曲线上点的坐标 (x,y)所满足的方程f(x,y)=0表示曲线,通过 研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这一 节,我们就来学习这一方法.

点M

按某中规律运动
几何意义

曲线C

坐标(x, y)

x, y的制约条件

“数形结合” 数学思想的 基础

代数意义

方程f ( x, y) ? 0

例1.设A、B两点的坐标是(-1,-1),(3,7), 求线段AB的垂直平分线的方程.

例1.设A、B两点的坐标是(-1,-1),(3,7), 求线段AB的垂直平分线的方程.
解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点,也就是点 M属于集合:
.

P ? ?M |MA |?| MB |?
2 2 2

由两点间的距离公式,点M所适合条件可表示为:

( x ? 1) ? ( y ? 1) ? ( x ? 3) ? ( y ? 7)
将上式两边平方,整理得:

2

x+2y-7=0

例2.已知一条直线l和它上方的一个点A,点A到 l的距离是2,一条曲线也在l的上方,它上面的每 一点到A的距离减去到l的距离的差都是2,建立 适当的坐标系,求这条曲线的方程.

例2.已知一条直线l和它上方的一个点A,点A到 l的距离是2,一条曲线也在l的上方,它上面的每 一点到A的距离减去到l的距离的差都是2,建立 适当的坐标系,求这条曲线的方程.
解:取直线l为x轴,过点A且垂直于直线l的直线为y轴, 建立坐标系xOy, 设点M(x,y)是曲线上任意一点, MB⊥x轴,垂足是B,

? MA ? MB ? 2
? ( x ? 0) 2 ? ( y ? 2) 2 ? y ? 2 1 2 ?y ? x 8

因为曲线在x轴的上方,所以y>0, 所以曲线的方程是

1 2 y ? x ( x ? 0) 8

2.1 曲线与方程
第三课时

2.1.2 求曲线的方程(2)

练习1. 解:

2.

y2 ? x2

y ? x的

B

3.

这就是所求的轨迹方程.

3.

B

这就是所求的轨迹方程.

4.到F(2,0)和y轴的距离相等的动点的轨迹方 程是_________

4.到F(2,0)和y轴的距离相等的动点的轨迹方 程是_________
解:设动点为(x,y),则由题设得

化简得:

y2=4(x-1)

这就是所求的轨迹方程.

5. 在三角形ABC中,若|BC|=4,BC边上的
中线AD的长为3,求点A的轨迹方程. 解:取B、C所在直线为x轴,线段BC的中垂线 为y轴,建立直角坐标系.

设A(x,y),又D(0,0),所以

| AD |? x ? y ? 3
2 2

化简得 :x2+y2=9 (y≠0) 这就是所求的轨迹方程.

例、已知△ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点C 在曲线y=3x2-1上移动,求△ABC的重心的轨迹 方程.

练习1、已知?ABC的两个顶点A, B的坐标分别是(?5,0),(5,0), 且AC , BC所在直线的斜率之积等于m(m ? 0), 试探求 顶点C的轨迹方程。
解:设 C(x,y) .由已知,得 直线 AC 的斜率 kAC=
y (x≠-5) ; x?5

直线 BC 的斜率 kBC=
y (x≠5) ; x?5

由题意,得 k ACkBC=m, y y 所以, × =m(x≠±5) . x?5 x?5 x2 y2 写成 - =1(x≠±5) .
25 25m

( x ? 3) ? y ? 48
2 2

x ? y ? 25
2 2


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