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数列通项公式的求法常见四种方法

时间:2017-04-07

数列通项公式的求法集锦
一、累加法 形如 an ? an?1 ? f (n) (n=2、3、4…...) 且 f (1) ? f (2) ? ... ? f (n ? 1) 可求,则用累加法求 an 。有时若不 能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解。 例1. 在数列{ an }中, a1 =1, an ? an?1 ? n ?1 (n=2、3、4……) ,求{ an }的通项公式。

例 2.在数列{ an }中, a1 =1, an?1 ? an ? 2n ( n ? N ),求 an 。

?

二、累乘法 形如

an ? f (n) (n=2、3、4……),且 f (1) ? f (2) ?... ? f( n ?1) 可求,则用累乘法求 an 。有时若不能 an?1

直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解。 例 3.在数列{ an }中, a1 =1, an?1 ? nan ,求 an 。

例 4.已知数列{ an }满足 a1 =

2 n an ,求 an 。 , an ?1 ? 3 n ?1

三、构造法

原数列{ an }既不等差,也不等比。若把{ an }中每一项添上一个数或一个式子构成新数列,使之等比,从 而求出 an 。该法适用于递推式形如 an ?1 = ban ? c 或 an ?1 = ban ? f ? n? 或 an ?1 = ban ? cn 其中 b、c 为不相等的 常数, f ? n ? 为一次式。 例 5、 (06 福建理 22)已知数列{ an }满足 a1 =1, an ?1 = 2an ? 1 ( n ? N ),求数列{ an }的通项公式。
?

例 7、已知数列{ an }中, a1 =1, an ?1 = 2an ? 3n ,求数列的通项公

例 8、已知数列{ an }, a1 = ?1 , an ?1 ?

an 1 ? an

n ? N ? ,求 an =?

六.利用公式 an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) 求通项 有些数列给出{ an }的前 n 项和 Sn 与 an 的关系式 Sn = f (an ) ,利用该式写出 Sn?1 ? f (an?1 ) ,两式做差, 再利用 an?1 ? Sn?1 ? Sn 导出 an ?1 与 an 的递推式,从而求出 an 。 例.(07 福建文 21)数列{ an }的前 n 项和为 Sn , a1 =1, an?1 ? 2Sn ( n∈ N ),求{ an }的通项公式。
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