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第二章 习题课1 常见的数列求和及应用 学案(人教A版必修5)

时间:2014-12-18

第二章

习题课 1

常见的数列求和及应用
自主学习

知识梳理 1.等差数列的前 n 项和公式: Sn=____________=____________. 2.等比数列前 n 项和公式: ①当 q=1 时,Sn=________; ②当 q≠1 时,Sn=____________=____________. 3.常见求和公式有: ①1+2+…+n=____________. ②1+3+5+…+(2n-1)=________. ③2+4+6+…+2n=________. 1 *④12+22+32+…+n2= n(n+1)(2n+1). 6 3 3 3 3 1 2 *⑤1 +2 +3 +…+n = n (n+1)2. 4 自主探究 拆项成差求和经常用到下列拆项公式,请补充完整. 1 ① =________________. n?n+1? 1 ② =________________. ?2n-1??2n+1? 1 ③ =____________________. n?n+1??n+2? 1 ④ =________________. n+ n+1 1 ⑤ =________________. a+ b 对点讲练 知识点一 分组求和 例1 1?2 ? 2 1 ?2 ? n 1 ?2 求和:Sn=? ?x+x? +?x +x2? +…+?x +xn? .

总结 某些数列,通过适当分组,可得出两个或几个等差数列或等比数列,进而利用等 差数列或等比数列的求和公式分别求和,从而得出原数列的和. - 变式训练 1 求数列 1,1+a,1+a+a2,…,1+a+a2+…+an 1,…的前 n 项和 Sn(其中 a≠0).

知识点二 拆项相消 例2 1 1 1 1 求和: 2 + 2 + 2 +…+ 2 ,(n≥2). 2 -1 3 -1 4 -1 n -1

总结 如果数列的通项公式可转化为 f(n+1)-f(n)的形式,常采用拆项求和法. 1 1 1 变式训练 2 求和:1+ + +…+ . 1+2 1+2+3 1+2+3+…+n

知识点三 奇偶并项 例3 求和:Sn=-1+3-5+7-…+(-1)n(2n-1).

变式训练 3 已知数列-1,4,-7,10,…,(-1)n· (3n-2),…,求其前 n 项和 Sn.

求数列前 n 项和,一般有下列几种方法. 1.错位相减(前面已复习) 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和. 2.分组求和 把一个数列分成几个可以直接求和的数列. 3.拆项相消 有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式, 相加过程消去中间项, 只剩有限项再求 和. 4.奇偶并项 + 当数列通项中出现(-1)n 或(-1)n 1 时,常常需要对 n 取值的奇偶性进行分类讨论. 5.倒序相加 例如,等差数列前 n 项和公式的推导方法. 课时作业 一、选择题 a1+a2+a3+…+an 1.已知数列{an}的通项 an=2n+1,由 bn= 所确定的数列{bn}的前 n n 项之和是( ) 1 A.n(n+2) B. n(n+4) 2 1 1 C. n(n+5) D. n(n+7) 2 2 1 1 1 1 2 2 2.已知数列{an}为等比数列,前三项为 a, a+ , a+ ,则 Tn=a2 1+a2+…+an等于 2 2 3 3 ( ) ?2?n? ?2?n? A.9? B.81? ?1-?3? ? ?1-?3? ? 4?n? 81 ?4?n? C.81? D. ? 1-? 9? ? ?1-?9? ? ? ? 5 - 3.设数列 1,(1+2),(1+2+4),…,(1+2+22+…+2n 1)的前 m 项和为 2 036,则 m 的值为( ) A.8 B.9 C.10 D.11 4.在 50 和 350 之间末位数是 1 的所有整数之和是( ) A.5 880 B.5 539 C.5 280 D.4 872 - 5.已知 Sn=1-2+3-4+…+(-1)n 1n,则 S17+S33+S50 等于( )

A.0 B.1 C.-1 D.2 1 2 3 4 题 号 答 案 二、填空题 6.(1002-992)+(982-972)+…+(22-12)=________. 7.在 100 内所有能被 3 整除但不能被 7 整除的正整数之和是________. 1+3+5+…+?2x-1? 8.若 =132 (x∈N*),则 x=________. 1 1 1 1 + + +…+ 1· 2 2· 3 3· 4 x?x+1? 三、解答题 1 1 1 1 1 1 9.求和 Sn=1+(1+ )+(1+ + )+…+(1+ + +…+ n-1). 2 2 4 2 4 2

5

1 10.设正项等比数列{an}的首项 a1= ,前 n 项和为 Sn,且 210S30-(210+1)S20+S10=0. 2 (1)求{an}的通项; (2)求{nSn}的前 n 项和 Tn.

习题课 1

常见的数列求和及应用

知识梳理 n?a1+an? n?n-1? 1. na1+ d 2 2 a1?1-qn? a1-anq 2.na1 1 -q 1-q n?n+1? 2 2 3. n n +n 2 自主探究 1 1 1 1 1 ① - ② ?2n-1-2n+1? n n+1 2? ? 1 1? 1 ③ n?n+1?-?n+1??n+2?? ④ n+1- n 2? ? 1 ⑤ ( a- b) a-b 对点讲练

解 当 x≠± 1 时, 1 ? 2 ? 2 1 ?2 ? n 1 ?2 Sn=? ?x+x? +?x +x2? +…+?x +xn? 1 1 1 x2+2+ 2?+?x4+2+ 4?+…+?x2n+2+ 2n? =? x? ? x? x ? ? ? 1 1 1 2 4 2n ? =(x +x +…+x )+2n+? ?x2+x4+…+x2n? - - x2?x2n-1? x 2?1-x 2n? = 2 + +2n -2 x -1 1-x + ?x2n-1??x2n 2+1? = +2n x2n?x2-1? 当 x=± 1 时,Sn=4n. 综上知,Sn= 4n, x=± 1 ? ? 2n 2n+2 . ??x -1??x +1? +2n, x≠± 1 2n 2 ? ? x ?x -1? 变式训练 1 解 当 a=1 时,则 an=n, n?n+1? 于是 Sn=1+2+3+…+n= . 2 1-an 1 当 a≠1 时,an= = (1-an). 1-a 1-a 1 ∴Sn= [n-(a+a2+…+an)] 1-a n a?1-an? 1 ? a?1-a ?? n n- = = - . ? ? 1-a ? 1-a ?1-a?2 1-a? n?n+1? ? ? 2 ∴S =? a?1-a ? n ? ?1-a- ?1-a?
n n 2

例1

?a=1?, ?a≠1?.

1 1 解 ∵ 2 = n -1 ?n-1??n+1? 1 1 1 = ?n-1-n+1?, 2? ? 1 ? 1? ?1 1? ?1 1? 1- + - + - ∴原式= ? 2?? 3? ?2 4? ?3 5? 1 1 +…+?n-1-n+1?? ? ?? 1 1 1 2n+1 1 3 = ?1+2-n-n+1?= - 2? ? 4 2n?n+1?. 1 2 变式训练 2 解 ∵an= = 1+2+…+n n?n+1? 1 1 =2?n-n+1?, ? ? 1 1 1 1 1 2n ∴Sn=2?1-2+2-3+…+n-n+1?= ? ? n+1. 例 3 解 当 n 为奇数时, Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+ [(-2n+5)+(2n-3)]+(-2n+1) 例2

n-1 =2· +(-2n+1)=-n. 2 n 当 n 为偶数时,Sn=(-1+3)+(-5+7)+…+[(-2n+3)+(2n-1)]=2·=n. 2 ∴Sn=(-1)nn (n∈N*). 变式训练 3 解 n 为偶数时,令 n=2k (k∈N*), Sn=S2k=-1+4-7+10+…+(-1)n(3n-2) =(-1+4)+(-7+10)+…+[(-6k+5)+(6k-2)] 3 =3k= n; 2 当 n 为奇数时,令 n=2k+1 (k∈N*). -3n+1 Sn=S2k+1=S2k+a2k+1=3k-(6k+1)= . 2 n+1 ?n为奇数?, ?-32 ∴S =? 3n ? 2 ?n为偶数?.
n

课时作业 n 1.C [∵a1+a2+…+an= (2n+4)=n2+2n. 2 n?n+5? ∴bn=n+2,∴bn 的前 n 项和 Sn= .] 2 1 1?2 ?1 1? 2.D [由? ?2a+2? =a?3a+3?, 解得 a=3(a=-1 舍去). 4 4 2 ∴a1=3,a2=2,a3= ,∴{a2 n}是以 a1=9 为首项,以 为公比的等比数列, 3 9 4 ? ?n? 9? ?1-?9? ? 81? ?4?n? ∴Tn= = ?1-?9? ?.] 4 5 1- 9 + 3.C [an=2n-1,Sn=2n 1-n-2,代入选项检验,即得 m=10.] 30×?341+51? 4.A [S=51+61+…+341= 2 =5 880.] 5.B [S17=(1-2)+(3-4)+…+(15-16)+17=9, S33=(1-2)+(3-4)+…+(31-32)+33=17, S50=(1-2)+(3-4)+…+(49-50)=-25, 所以 S17+S33+S50=1.] 6.5 050 解析 (1002-992)+(982-972)+…+(22-12) 100×?100+1? =100+99+…+2+1= =5 050. 2 7.1 473 解析 100 内所有能被 3 整除的数的和为 33×?3+99? S1=3+6+…+99= =1 683. 2 100 内所有能被 21 整除的数的和为 S2=21+42+63+84=210. ∴100 内能被 3 整除不能被 7 整除的所有正整数之和为 S1-S2=1 683-210=1 473. 8.11

解析

1+3+5+…+?2x-1? x2 = 1 1 1 1 + +…+ 1- 1· 2 2· 3 x?x+1? x+1



x2 =x(x+1)=132,∴x=11. x x+1 1 1-? ?n 2 1 1- 2

1 1 1 9.解 考察通项 an=1+ + +…+ n-1= 2 4 2 1 =2- n-1 2

1 1 1 1 ∴Sn=(2- 0)+(2- 1)+(2- 2)+…+(2- n-1) 2 2 2 2 1 1 1 =2n-(1+ 1+ 2+…+ n-1) 2 2 2 1 1- n 2 1 =2n- =2n-2+ n-1 1 2 1- 2 1 ∴Sn=2n-2+ n-1. 2 10.解 (1)由 210S30-(210+1)S20+S10=0, S30-S20 1 得 = 10,设公比为 q, S20-S10 2 a1?1-q30? a1?1-q20? - 1-q 1-q 1 1 则 = 10,即 q10= 10, 2 a1?1-q20? a1?1-q10? 2 - 1-q 1-q 1 1 ?1?n-1 1 所以 q= ,所以 an= · = n, 2 2 ?2? 2 1 即 an= n,n=1,2,…. 2 1 1 (2)因为{an}是首项 a1= ,公比 q= 的等比数列. 2 2 1? 1? 1- n 2? 2 ? 1 n 所以 Sn= =1- n,nSn=n- n. 1 2 2 1- 2 则数列{nSn}的前 n 项和 1 2 n? Tn=(1+2+…+n)-? ?2+22+…+2n?① Tn 1 = (1+2+…+n) 2 2 n-1 n ? ?1 2 -?22+23+…+ 2n + n+1?② 2 ? ?

1 1? 1- n? 2 ? ? n 2 1 1 1 n ? n + 1 ? Tn 1 n + 2+…+ n?+ n+1= ①-②,得 = (1+2+…+n)-? - + n+1, 2? 2 ?2 2 2 2 4 1 2 1- 2 n?n+1? 1 n 即 T n= + n-1+ n-2. 2 2 2


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