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【全国卷】2018高三理科数学总复习第二节 排列与组合(001)

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第二节

排列与组合

【最新考纲】 1.理解排列、组合的概念.2.理解排列数公式、组 合数公式.3.能利用公式解决一些简单的实际问题.

1.排列与组合的概念

2.排列数与组合数 (1)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同排列的个 数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数. (2)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的个 数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数. 3.排列数、组合数的公式及性质

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1.(质疑夯基)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的 打“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( ) )

(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(
x m (3)若组合式 Cn =Cn ,则 x=m 成立.(

)

(4)排列定义规定给出的 n 个元素各不相同,并且只研究被取出 的元素也各不相同的情况.也就是说,如果某个元素已被取出,则这 个元素就不再取了.( 答案:(1)× (2)√ ) (3)× (4)√

2.有 A,B,C,D,E 五位学生参加网页设计比赛,决出了第 一到第五的名次.A,B 两位学生去问成绩,老师对 A 说:你的名次
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不知道,但肯定没得第一名;又对 B 说:你是第三名.请你分析一 下,这五位学生的名次排列的种数为( A.6 C.20 B.18 D.24 )

3 解析:由题意知,名次排列的种数为 C1 3A3=18.

答案:B 3. (2015· 广东卷改编)某高三毕业班有 40 人, 同学之间两两彼此 给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了毕业留言( A.1 560 条 C.1 600 条 B.780 条 D.800 条 )

2 解析:由题意,得毕业留言共 A40 =1 560(条).

答案:A 4.我们把各位数字之和为 6 的四位数称为“六合数”(如 2013 是“六合数”),则“六合数”中首位为 2 的“六合数”共有( A.18 个 C.12 个 B.15 个 D.9 个 )

解析:根据“六合数”的定义可知,当首位为 2 时,其余三位是 数组(0,0,4),(0,1,3),(0,2,2),(1,1,2)的所有排列,即共
3 有 3+A3 +3+3=15(个).

答案:B 5. (2016· 唐山调研)某市委从组织机关 10 名科员中选 3 人担任驻 村第一书记,则甲、乙至少有 1 人入选,而丙没有入选的不同选法的
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种数为( A.85 C.49

) B.56 D.28
2 (直接法)甲、乙两人均入选,有 C1 7C2种方法.

解析:法一

1 2 甲、乙两人只有 1 人入选,有 C2 C7种方法, 2 1 2 ∴由分类加法计数原理,共有 C2 C7+C1 2C7=49 种选法.

法二

(间接法)从 9 人中选 3 人有 C3 9种方法.

其中甲、乙均不入选有 C3 7种方法,
3 ∴满足条件的选排方法是 C9 -C3 7=84-35=49(种).

答案:C

?一个区别 排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”. 取出元素 后交换顺序,如果与顺序有关是排列,如果与顺序无关即是组合. ?两个公式 1.排列数公式:Am n= 2.组合数公式:Cm n= ?三点提醒 1.特殊元素、特殊位置优先原则.
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n! (n-m)! n! m!(n-m)!

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2. 解受条件限制的组合题, 通常用直接法(合理分类)和间接法(排 除法)来解决,分类标准应统一. 3.解排列、组合的综合题一般是先选再排,先分组再分配. ?四字口诀 求解排列组合问题的思路: “排组分清, 加乘明确; 有序排列, 无序组合;分类相加,分步相乘.”

一、选择题 1.把 6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的坐 法种数为( A.144 C.72 ) B.120 D.24

解析:先把三把椅子隔开摆好,它们之间和两端有 4 个位置,再
3 把三人带椅子插放在四个位置,共有 A4 =24(种)放法.

答案:D 2. (2014· 安徽卷)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对, 其中所成的角为 60°的共有( A.24 对 C.48 对 )

B.30 对 D.60 对

2 解析:正方体六个面的对角线共有 12 条,则有 C12 =66 对,而

相对的两个面中的对角线其夹角都不是 60°, 则共有 3×C2 4=18 对,
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而其余的都符合题意.因此满足条件的对角线共有 66-18=48(对). 答案:C 3.某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名进行发言,要 求甲、乙两人至少有一人参加.当甲、乙同时参加时,他们两人的发 言不能相邻.那么不同的发言顺序的种数为( A.360 C.600 B.520 D.720 )

3 解析:当甲或乙只有一人参加时,不同的发言顺序的种数为 2C5 4 2 2 A4 =480, 当甲、 乙同时参加时, 不同的发言顺序的种数为 A5 A3=120,

则不同的发言顺序的种数为 480+120=600. 答案:C 4.(2016· 青岛二模)将甲、乙等 5 名交警分配到三个不同路口疏 导交通,每个路口至少一人,且甲、乙在同一路口的分配方案共有 ( ) A.18 种 C.36 种 B.24 种 D.72 种

2 3 解析:1 个路口 3 人,其余路口各 1 人的分配方法有 C1 3C2A3种.1 2 3 个路口 1 人,2 个路口各 2 人的分配方法有 C2 3C2A3种. 2 3 ∴由分类加法计数原理, 甲、 乙在同一路口的分配方案为 C1 3C2A3 2 2 3 +C3 C2A3=36(种).

答案:C 5.某外商计划在 4 个候选城市中投资 3 个不同的项目,且在同
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一个城市投资的项目不超过 2 个,则该外商不同的投资方案有( A.16 种 C.42 种 解析:法一 (直接法) B.36 种 D.60 种

)

若 3 个不同的项目投资到 4 个城市中的

3 3 个,每个城市一项,共 A4 种方法;若 3 个不同的项目投资到 4 个城 2 市中的 2 个,一个城市一项、一个城市两项共 C2 3A4种方法.由分类 2 2 加法计数原理知共 A3 4+C3A4=60 种方法.

法二

(间接法) 先任意安排 3 个项目,每个项目各有 4 种安排

方法,共 43=64 种排法,其中 3 个项目落入同一城市的排法不符合 要求共 4 种,所以总投资方案共 43-4=64-4=60(种). 答案:D 6.某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个 相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( A.72 C.144 B.120 D.168 )

解析: 先不考虑小品类节目是否相邻, 保证歌舞类节目不相邻的
3 排法共有 A3 ·A34=144 种,再剔除小品类节目相邻的情况,共有 3 2 2 A3 ·A2 ·A2 =24 种,于是符合题意的排法共有 144-24=120 种.

答案:B 二、填空题 7.7 位身高均不等的同学排成一排照相,要求中间最高,依次 往两端身高逐渐降低,共有________种排法.
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解析:先排最中间位置有 1 种排法,再排左边 3 个位置,由于顺
3 序一定,共有 C6 种排法,再排剩下右边三个位置,共 1 种排法,所 3 以排法种数为 C6 =20(种).

答案:20 8.若把英语单词“good”的字母顺序写错了,则可能出现的错 误种数共有________种. 解析:把 g、o、o、d 4 个字母排一列,可分两步进行,第一步:
2 排 g 和 d,共有 A4 种排法;第二步:排两个 o,共 1 种排法,所以总 2 的排法种数为 A4 =12(种).其中正确的有一种,所以错误的共 A2 4-1

=12-1=11(种). 答案:11 9.四名优等生保送到三所学校去,每所学校至少得一名,则不 同的保送方案有________种.
2 解析:分两步:先将四名优等生分成 2,1,1 三组,共有 C4 种; 3 而后,对三组学生全排三所学校,即进行全排列,有 A3 种.依分步 2 3 乘法计数原理,共有 N=C4 A3=36(种).

答案:36 10.将 A、B、C、D、E、F 六个字母排成一排,且 A、B 均在 C 的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答).
1 2 解析:分两步:①任意选 3 个空排 A、B、C,共有 C3 6·C2·A2 3 种排法.②排其余的 3 个字母,有 A3 种排法,所以由分步乘法计数 3 1 3 原理,共有 C6 ·C2 ·A2 2·A3=480(种)排法. 8

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答案:480 三、解答题 11.现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片 各 4 张,从中任取 3 张,要求这 3 张卡片不能是同一种颜色,且红色 卡片至多 1 张,不同的取法有多少种?
2 解: 分两类: 第一类, 含有 1 张红色卡片, 共有不同的取法 C1 4C12

=264(种);
3 第二类,不含有红色卡片,共有不同的取法 C12 -3C3 4=220-12

=208(种). 由分类加法计数原理知不同的取法有 264+208=472(种). 12.由 1,2,3,4,5 五个数字组成的没有重复数字的五位数 排成一递增数列, 则首项为 12 345, 第 2 项是 12 354, ?直到末项(第 120 项)是 54 321.问:43 251 是第几项? 解:比 43 251 大的数有下列几类:
4 ①万位数是 5 的有 A4 =24(个);

②万位数是 4、千位数是 5 的有 A3 3=6(个); ③万位数是 4、千位数是 3、百位数是 5 的有 A2 2=2 个;所以比
4 3 2 43 251 大的数共有 A4 +A3 +A2 =32(个),

所以 43 251 是第 120-32=88(项).

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