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双曲线及其标准方程自编

时间:2018-06-21


2.3.1双曲线及其标准方程
(第一课时)
洛阳外国语学校

于从威

回顾椭圆的定义:
平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆.
定点 F1,F2 ,叫做椭圆的焦点, F1F2 叫做椭圆的焦距.

F1

F2

大胆猜想—渐入主题

平面内与两个定点的距离之 差是非零常数的点的轨迹是 什么?

自主实验—探究真知
1.在运动中,曲线上的点M 满足的几何条件是什么?

思 考
2.调换固定的端点的位置后,应该如 何描述动点M所满足的几何条件?

3.还有其他约束条件吗?

类比椭圆—明确定义
1、定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的 绝对值等于常数( 0<2a<|F1F2|)的点 的轨迹叫做双曲线.
定点 F1,F2 叫做双曲线的焦点, F1F2 叫做双曲线的焦距.
M

注意: | |MF1| - |MF2| | = 2a

F

1

o

F

2

乘胜追击—推导方程
求曲线方程的步骤:
1.建系 以F1,F2所在的直线为x轴,线段F1F2的 垂直平分线为y轴,建立直角坐标系 2.设点 设M(x , y),则F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式 4.代入
F
1

y
M

O

F

2

x

|MF1| - |MF2|=±2a
即 ( x ? c) ? y
2 2

? ( x ? c) ? y ? ?2a
2 2

5.化简

若建系时,焦点在y轴上呢?
y
M F O
1

y

F2

x

O

x

F ( ±c, 0)
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

F(0, ± c)

y2 x2 ? 2 ?( 1 a ? 0, b ? 0) 2 a b

双曲线与椭圆之间的区别与联系

定义



双曲线
||MF1|-|MF2||=2a

|MF1|+|MF2|=2a

2 2 x2 y 2 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 方程 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b 谁正跟谁 2 2 y 2 x2 y x 谁大跟谁 a 2 ? b2 ? 1(a ? b ? 0) a 2 ? b2 ? 1(a ? 0, b ? 0)

焦点

F(±c,0) F(0,±c)

F(±c,0)

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,a2+b2=c2

a.b.c的 关系

a>b>0,a2-b2=c2

典 例 应 用
例 1 已知双曲线两个焦点分别为 F1 ( ?5, 0) , F2 (5, 0) , 双曲线上一点 P 到 F1 , F2 距离差的绝对值等于 6,求 双曲线的标准方程. 解:因为双曲线的焦点在 x 轴上,所以设它的 x2 y2 标准方程为 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) a b
王新敞
奎屯 新疆

x2 y2 因此,双曲线标准方程为 ? ?1 9 16

∵ 2a ? 6,2c ? 10 ∴ b 2 ? 52 ? 32 ? 16

∴ a ? 3, c ? 5
王新敞
奎屯 新疆

变 式 练 习

例 1 变式 若将焦点改为 F1 (0,-5),F2 (0,5) ,其他条 件不变,其结果如何?

学以致用—巩固新知
写出适合下列条件的双曲线的标准方程
1.a=4,b=3,焦点在 x 轴上; 2.焦点为 F1 (0,-6), F2 (0,6),过点 P(2,-5).
2.解法 1:用待定系数法求 a,b;
解法 2:由双曲线的定义 PF1 ? PF2 ? 2a ,可求 出 a ,再由 c ? 6 和 a 2 ? b 2 ? c 2 ,可求出 b .

反思小结—再度升华
定义

| |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)
y
M
M F2

y

图象
F1 o F2

x
F1

x

方程 焦点 a.b.c 的关 系

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b

F ( ±c, 0)

F(0, ± c)

c 2 ? a 2 ? b2

麦克唐奈天文馆

生活中的双曲线

法拉利主题公园

巴西利亚大教堂

课外作业

P61 :A组2、5, B组3

谢谢大家!


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