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2014年1月兰州市教科所“双基”考试数学试题答案解析

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2014 年高三双基考试数学答案解析
注意事项:本试卷满分 150 分,考试用时 120 分。答题全部在“答题纸”上完成,试卷 上答题无效。试题前标有(理)的试题理科考生作答,标注有(文)的试题文科作答,没有 标注的试题文理科考生、均作答。 第 I 卷 (选择题,共 60 分) 选择题(本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.(文)设集合 M ? {x x ? ? 2} , N ? {x ?4 ? x ? 1} ,则 M ∩N ? ( D )

A.[?4, ??)

B. ( ? 2? ,? )

C.[?4,1]

D. ( ? 2, 1]
( D )

(理)已知全集 U ? {1,2,3,4} ,集合 M ? {1,2}, N ? {2,3}, 则 饀 U( M ∪N ) ?

A.?1,3,4?
2.(文)复数 z ?
A. 1 2

B.? 3 ,?4
1 的模为 i ?1

C.?3?
( B )
C. 2
D.2

D.?4?

B.

2 2

解析: z ?

1 1 1 2 ? ? ? i ?1 i ?1 2 2

D. 4 5

(理)若复数 z 满足 (3 ? 4i) z ? 4 ? 3i ,则 z 的虚部为
A. ? 4

D )

B. ?

4 5

C.4

解析: z ?

4 ? 3i 5(3 ? 4i ) 3 4 4 ? ? ? i ,所以虚部为 5 3 ? 4i 25 5 5

3.(文)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为 120 件,80 件,60 件. 为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样 本进行诘查,其中从丙车间的产品中国取了 3 件,则 n= ( D ) A. 9 B. 1 0 C. 1 2 D. 1 3 60 ? n ? 3 , ∴ n ? 13 解析: ∵ 120 ? 80 ? 60 (理)一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( C )

A.

33 3A

3 B. 3(A3 3)

4 C. (A3 3)

D.

9 9

A

3 解析:每家人看成一个整体的全排列共有 A3 3 种,每家的三人的不同排法分别有 A3 ,所以 4 共有 (A3 3 ) 种不同排法.

4.已双曲线 C :
1 A. y = ? x 4

5 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为( C 2 a b 2
B. y = ? 1 3 x C. y = ? 1 2 x
D. y = ? x



解析:

c 5 ∵ ? , a 2



c2 5 ? , a2 4



b2 1 ? , a2 4

1 ∴渐近线为y ? ? x 2

5.已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中圆的直径为 4,该几何体的体积为 V1 ,直 径为 4 的球的体积为 V2 ,则 V1 : V2 ? 有 A.1:4 C.1:1 ( B )
4 2 主视图 侧视图

B. 1:2 D. 2:1 2 16? 4 32? 解析: V1 ? ? 8? ? , V2 ? ? 8? ? 3 3 3 3 所以 V1 : V2 ? 1: 2

俯视图

6.(文)已知点 P( x, y ) 满足 x ? y ≤1 ,则 z ? ?2 x ? y 的取值范围是:



D



A.[?1,1]

B. [ ? 1.2]

C. [ ? 2, 1]

D. [ ? 2, 2]

解析:如图当直线 z ? ?2 x ? y 过(-1,0)时值最大, 过(1,0)时值最小,所以 ?2 ≤ z ≤ 2 故选 D. (理)在如右程序框图中,若 f0 ( x) ? xe x ,则输出的是( C ) A. 2014e x ? xe x C. 2013e x ? xe x 解析:进入循环体后 B. 2012e x ? xe x D. 2013e x ? x
i ? 1 时, f1 ( x) ? f0?( x) ? e x ? xe x

开始 输入 f0(x) i=0 i=i+1
fi ( x) ? fi? ?1 ( x)

i ? 2 时, f2 ( x) ? f1?( x) ? 2e x ? xe x i ? 3 时, f3 ( x) ? f1?( x) ? 3e ? xe
x x

…………………………………….



? ( x) ? 2013e x ? xe x 当 i ? 2013 时, f2013 ( x) ? f 2012 ? ( x) ? 2013e x ? xe x ,故选 C 此时输出 f2013 ( x) ? f 2012
7.(文)在如右程序框图中,若 f0 ( x) ? xe x ,则输出的是( C )

i=2013 是
输出 fi ( x)

结束

A. 2014e x ? xe x C. 2013e x ? xe x 解析:进入循环体后

B. 2012e x ? xe x D. 2013e x ? x
i ? 1 时, f1 ( x) ? f0?( x) ? e x ? xe x

开始 输入 f0(x) i=0 i=i+1
fi ( x) ? fi? ?1 ( x)

i ? 2 时, f2 ( x) ? f1?( x) ? 2e x ? xe x i ? 3 时, f3 ( x) ? f1?( x) ? 3e ? xe
x x



…………………………………….

? ( x) ? 2013e x ? xe x 当 i ? 2013 时, f2013 ( x) ? f 2012 ? ( x) ? 2013e x ? xe x ,故选 C 此时输出 f2013 ( x) ? f 2012

i=2013 是
输出 fi ( x)

结束

?x ≥ 0 ? (理)已知 a ? 0, x, y ,满足约束条件 ? y ≤ a ( x ? 3) ,若 z ? y ? 2 x 的最大值为 3,则 a=(A) ?x ? y ≤ 3 ?
A. ? 1 B. ? 2 C. ? 3 D. ? 4

解析:如图,当直线 z ? y ? 2 x 经过 (0, ?3a ) 点时, z 取最大值,所以
?3a ? 3 ,所以 a ? ?1

8.(文)设 m、n 表示不同直线,? 、 ? 表示不同平面,则下列结论中正确的是 A.若 ? ? ? , m ? ? , n ∥ ? ,则 m ? n C.若 m ∥ ? ,m ∥ n ,,则 n ∥ ?



B )

B.若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n D.若 m ? ? ,n ? ? ,m ∥ ? n ∥ ? ,则 ? ∥ ? )

(理)设偶函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? x3 ? 8( x ≥ 0) ,则 ?x f ( x ? 2) ? 0? ? ( B A. C.

?x x ? ?2或x ? 4?

B. D.

?x x ? 0或x ? 4?
?x x ? ?2或x ? 2?

?x x ? 0或x ? 6?

解析:因为函数是偶函数,所以函数的零点为了-2 和 2,所以 f ( x ? 2) ? 0 时,

x ? 2 ? 2或x ? 2 ? ?2 , 故 x ? 4或x ? 0 ,故选 B 9.(文)已知命题: 1 1 ( x ? 1) 的最小值是 3; p2 : 不等式 ? 1 的解集是 ? x x ? p1 :函数 f ( x ) ? x ? x ?1 x

?1

p3 : ?? , ? , 使得sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? 成立
tan ?? ta ?n p4 : ?? ,? 使得 , ta ?n?(? ? ) 成立 1 ? t a? n t? an

其中的真命题是:(

A



A : p1 , p3
解析: 因为x ? 1, 所以x ?
p2 : 不等式

B : p1, p4

C : p2 , p4

D : p2 , p3

1 1 ? ( x ? 1) ? ? 1 ≥ 3, p1为真 x ?1 x ?1

1 ? 1 的解集是?x 0 ? x ? 1?, p2为假 x

因为 p3 : ?? ? 0, ? ? 0, 使得sin(0 ? 0) ? sin0 ? sin0成立 ,所以 p3真
p4 : 因为?? ? ? ?

?
4

时, tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 不成立 ,所以 p4假 1 ? tan ? tan ?

(理)已知椭圆 C :

3 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 .双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的渐近线与椭圆有 2 a b 2
B )

四个交点,以这四个点为顶点的四边形的面积为 16 ,则椭圆的方程为:(
A. x2 y2 ? ?1 12 6

B.

x2 y2 ? ?1 20 5

C.

x2 y2 ? ?1 16 4

D.

x2 y2 ? ?1 8 2

解析:设第一象限的交点为 (m, m), m ? 0 ,则 4m2 ? 16,∴m ? 2 ,

∵e ?

c 3 ? , a 2

b 1 ∴ ? , a 2

∴ a ? 2b,∴b2 ? 5, a 2 ? 20 ,所以椭圆方程为:

x2 y2 ? ?1 20 5

5 10.(文)在区间 [?3,4] 上随机地取一个数 x ,若 x 满足 x ≤ m 的概率为 ,则 m ? ( 7 5 5 5 D.5 A. B. C. 4 6 2 2m 5 2m 5 5 ? ,∴ m ? 解析:∵ p ( x ≤ m ) ? , 又∵ p ? ,∴ 7 7 7 7 2

C )

(文)在区间 [?4, 4] 上随机取一个数 x ,使得 x ? 1 - x ? 2 ≥1成立的概率为
A. 1 2 B. 2 3 C. 3 4 D. 3 8 4 ?1 3 ? 8 8



D



解析:解不等式 x ? 1 - x ? 2 ≥1得 x ≥ 1 ,∴ p( x ? 1 - x ? 2 ≥ 1) ?

11.已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱与底面垂直, 底面是边长为 3 的正三角形, 六个顶点均在 体积为

7 7 ? 的球面上.若 P 为底面 A1B1C1 所在平面截该球所得圆的圆的心,则 PA 与平面 6
A )
C.

ABC 所成角的大小为(

A.

? 3

B.

? 4

? 6

D.

?
12

A1 B1

P O

C1

2 3 4 7 7 ? 3 ? 1 ,∵ ? R 3 ? ? 解析:如图 AQ ? ? 3 2 3 6
∴ R6 ? 73 , 43 ∴ R2 ? 7 ,又 PQ ? 2OQ ? 2 R2 ? 1 4

A B

Q

C

∴ tan ?PAQ ?

? PQ ? 2 R 2 ? 1 ? 3 ,∴ ?PAQ ? 3 AQ

? x ? x2 12.若函数 f ( x) ? 3sin2 x ? cos2 x ? m 在 [0, ] 上有两个零点 x1 , x2 , 则 tan 1 的值为 ( A ) 2 2
A. 3 3 B. 2 2
C .1

D. 3

? ? 解析: 因为 f ( x ) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? m ? 2sin(2 x ? ) ? m , 又因为在 [0, ] 上有两个零点 x1 , x2 6 2
所以 f ( x )在
x1 ? x2 x ? x2 ? x ?x ? 3 取最大什值 ,所以 x ? 1 ? ,所以 tan 1 2 ? tan ? 2 2 6 2 6 3

第 II 卷

(选择题,共 90 分)

二、填空题(本大题共四小题,每小题 5 分,共 20 分) 2? 13.已知 a 与 b 的夹角为 ,且 a ? 2 , b ? 5 ,则 (2a ? b ) ? a ? _____________ 3 2? 2 ? 13 解析: (2a ? b ) ? a ? 2 a ? a b ? 8 ? 10cos 3 14(文) O 为坐标原点, F 为抛物线 C : y 2 ? 4 2 x 的焦点, P 为 C 上一点,若 PF ? 4 2 , 则点 P 的横坐标为 ______________ . 解析:设 P(m, n) ,则 m ? 2 ? 4 2 ,所以 m ? 3 2 ,故 P 点的横坐标为 3 2 (理)在 △ ABC 中, ?ABC =

?
4

, AB = 2 , BC = 3 ,则 sin?BAC ? ___________

解析:因为在 △ ABC 中, ?ABC =

?
4

, AB = 2 , BC = 3 ,所以

AC = AB2 ? BC2 ? 2 AB ? BC cos ?ABC ? 5 ,
∴sin ?BAC ? 3 3 10 ? 10 10



BC ? sin A

AC sB in

15.(文)在锐角 △ ABC 中,角 A, B 所对的边长分别为 a , b ,.若 2a sin B ? 3b ,则 ?A ? ____ 解析:因为 2a sin B ? 3b ,所以 2sin Asin B ? 3sin B ,因为 sin B ? 0 ,所以 sin A ? 又因为三角形为锐角三角形,所以 A ?

3 2

?
3

(理) 4cos50 ? tan 40 ? ____________

解析: 4 c o s 5?0

4 s i n 4 0 c o? s 40 sin 40 ? 2 sin 80 tan ?40 ? cos 40 cos 40 3 3 2 cos10 ? sin(10 ? 30 ) 2 cos10 ? 2 sin10 ? ? cos 40 cos 40 3 1 3( cos10 ? sin10 ) 3 cos 40 2 2 ? ? ? 3 cos 40 cos 40

sin 40

16.已知函数 f ( x) ? loga x ? x ? b(a ? 0且a ? 1) ,且 2 ? a ? 3 ? b ? 4 .若函数 f ( x ) 的零点

x0 ? (n, n ? 1) , n ? N * ,则 n ? ______________
解析:因为 f (1) ? 1 ? b ? 0 , f (2) ? loga 2 ? 2 ? b ,又因 2 ? a ? 3 ? b ? 4 ,所以 0 ? loga 2 ? 1 所以 f (2) ? loga 2 ? 2 ? b ? 0 ,又 loga 3 ? 1 ,所以 f (3) ? loga 3 ? 3 ? b ? 0 ,又因为 f ( x ) 是增 函数,所以零点 x0 ? (2,3) ,故 n ? 2 三、解答题(本大题共 6 小题,计 70 分.) 17.(本小题满分 12 分) (文)等差数 ?an ? 中, a7 ? 4 , a19 ? 2a9 . (I)求 ?an ? 的通项公式; (II)设 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn nan

解:(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d,则 an ? a1 ? (n ?1)d

a1 ? 6d ? 4 ? a7 ? 4 1 ? 因为 ? ,所以 ? . 解得, a1 ? 1, d ? . 2 ? a19 ? 2a9 ?a1 ? 18d ? 2(a1 ? 8d )

所以 {an } 的通项公式为 an ? (Ⅱ) bn ?

n ?1 . 2

?????6 分

1 2 2 2 ? ? ? , nan n(n ? 1) n n ? 1
2 2 2n ?( ? )? n n ?1 n ?1

2 2 2 2 所以 Sn ? ( ? ) ? ( ? ) ? 1 2 2 3

?????12 分

(理)等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 . (Ⅰ) 求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 若 bn ? ?
log3 an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn n 2 (n ? 1)

解:(Ⅰ)设数列 {an } 的公比为 q ,依题意可得
? 2a1 ? 3a1q =1 ∴ ? 2 2 ? a3 ? 9a4

q2 ? 1 3

1 9

∵数列 {an } 的各项均为正数
1 1 1 ∴ an ? a1q n ?1 ? ? ( ) n ?1 ? n 3 3 3

∴q ? 分

1 3

a1 ?

?????6

(Ⅱ) ∵ bn ? ?

log3 an 1 1 1 1 1 ?? 2 ? log3 n ? ? ? 2 n (n ? 1) n (n ? 1) 3 n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 n ? 1? ? ∴ Sn ? ? ? ? ? ? ? ?????12 分 1 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1 18.(本小题满分 12 分) (文)某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生作为样本,将他们的期中考试试数学成绩

[40,50) , [50,60) , [60,70) , [70,80) , (满分 100 分, 成绩均为不低于 40 分的整数) 分成六组: [80,90) , [90,100] 得到如图的频率分布直方图.
(Ⅰ)求图实数 a 的值; (Ⅱ)若该校高一年级共有学生 500 人,试估 计该校高年级在这次考试中成绩不低于 60 分的人数; (III)若从样本中数学在绩在 [40,50) 与 [90,100] 两个分数段内的不生中随机选取两名学生, 试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的 绝对值不大于 10 的频率. a 0.025 0.020
频率/组距

0.010 0.005 O
分数 40 50 60 70 80 90 100

解: (Ⅰ)由 (0.005 ? 0.01 ? 0.02 ? 0.025 ? 0.01) ?10 ? 10a ? 1,可得 a ? 0.03

?????2 分

(Ⅱ)数学成绩不低于 60 分的概率为: 0.2 ? 0.25 ? 0.3 ? 0.1 ? 0.85 数学成绩不低于 60 分的人数为 500 ? 0.85 ? 425 人 (Ⅲ)数学成绩在 [40,50) 的学生人数: 40 ? 0.05 ? 2 人 数学成绩在 [90,100] 的学生人数: 40 ? 0.1 ? 4 人

?????6 分

设数学成绩在 [40,50) 的学生为 A1 ,, 数学成绩在 [90,100] 的学生为 A3 , A4 , A5 , A6 选取的两名学生的结果为: {A1 , A2},{A1, A3},{A1, A4},{A1, A5},{A1, A6} ,

{A2 , A3},{A2 , A4},{A2 , A5},{A2 , A6},{A3 , A4},{A3 , A5},{A3 , A6},{A4 , A5},{A4 , A6},{A5 , A6}共 15 种.
其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的情况有:

{A1, A2},{A3 , A4},{A3 , A5},{A3 , A6},{A4 , A5},{A4 , A6},{A5 , A6} 共 7 种,
7 .?????12 分 15 (理) 某电视台为了烘托 2014 元旦联欢晚会气氛, 决定举行抽奖活动.该电视台设置了甲、 2 2 乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为 ,中奖可以获得 2 分;方案乙的中奖率为 ,中奖可 3 5 以得 3 分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会 结束后凭分数兑换奖品. (Ⅰ) 若嘉宾 M 选择方案甲抽奖, 嘉宾 N 选择方案乙抽奖, 记她们累计得分为 X , 求 X ≤3 的概率; (Ⅱ)若嘉宾 M 和嘉宾 N 两人都选择同一方案抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得 分的数学期望较大? 2 2 解: (Ⅰ)由已知得: 嘉宾 M 中奖的概率为 ,嘉宾 N 中奖的概率为 ,两人中奖与否互不 3 5 影响,记“这 2 人的累计得分 X ? 3 ”的事件为 A 2 2 4 解法一:则 A 事件的对立事件为“ X ? 5 ” ∵ P( X ? 5) ? ? ? 3 5 15 11 11 ∴ P( A) ? 1 ? P( X ? 5) ? ∴这两人的累计得分 X ? 3 的概率为 .???6 分 15 15 解法二:则事件 A 包括:嘉宾 M 中奖而嘉宾 N 不中奖、嘉宾 M 不中奖而嘉宾 N 中 奖、两人都不中奖三种情况 2 2 2 2 2 2 11 ∴ P( A) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 3 5 3 5 3 5 15

因此,抽取的两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率为

(Ⅱ)设嘉宾 M 和嘉宾 N 两人都选择方案甲抽奖中奖的次数为 X 1 ,都选择方案乙抽奖中 奖的次数为 X 2 ,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E(2 X1 ) ,选择方案乙抽 奖累计得分的数学期望为 E(3X 2 ) ,由已知: X 1
2 B(2, ) , X 2 3 2 B(2, ) 5

2 4 2 4 ∴ E ( X 1 ) ? 2 ? ? ,E ( X 2 ) ? 2 ? ? 3 3 5 5

8 12 ∴ E (2 X 1 ) ? 2 E ( X 1 ) ? ,E (3 X 2 ) ? 3E ( X 2 ) ? 3 5



E(2 X1 ) ? E(3X 2 )
?????12 分

所以他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大. 19.(本小题 12 分)

(文)在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱与底面垂直, AD ? 平面A1BC ,其垂足 D 在 A1B 上. (Ⅰ)求证: BC ? A1B (Ⅱ) 若 AD ? 3 , AB ? BC ? 2 , P 为 AC 的中点,求三棱锥 P ? A1BC 的体积. 解:(I)证明: 三棱柱 ABC ? A1B1C1 中侧棱与地面垂直 ∴ A1 A ? 平面 ABC , 又 BC ? 平面 ABC ,∴ A1 A ? BC
AD ? 平面 A1BC ,且 BC ? 平面 A1BC ,∴ AD ? BC

B1 A1 D B

C1

C P



AA1 ? 平面 A1 AB , AD ? 平面 A1 AB , A1 A ? AD ? A ,

A

∴ BC ? 平面 A1 AB , ∴ BC ? A1 B

又 A1 B ? 平面 A1 BC , ?????6 分 ∴ sin ?ABD ?

(Ⅱ)在 Rt??ABD 中, AD ? 3 , AB ? 2 ,

AD 3 ? AB 2

∴ ?ABD ? 600

0 在 Rt??ABA1 中, AA1 ? AB ? tan 60 ? 2 3

由(I)知 BC ? 平面 A1 AB , AB ? 平面 A1 AB ,从而 BC ? AB , ∴ S?ABC ?
1 1 AB ? BC ? ? 2 ? 2 ? 2 2 2

∴ P 为 AC 的中点, S?BCP ?

1 S?ABC ? 1 2

1 1 2 3 ∴ VP ? A1BC ? VA1 ? BCP ? S?BCP ? A1 A ? ?1? 2 3 ? 3 3 3

?????12 分

(理)在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱与底面垂直, AD ? 平面A1BC ,其垂足 D 在 A1B 上. B1 C1 (Ⅰ)求证: BC ? A1B A1 (Ⅱ) 若 AD ? 3 , AB ? BC ? 2 , P 为 AC 的中点, 求二面角 A1 ? PB ? A 的正切值. D B A P C

解:(I)证明:∵三棱柱 ABC ? A1B1C1 中侧棱与地面垂直 ∴ A1 A ? 平面 ABC , 又 BC ? 平面 ABC ,∴ A1 A ? BC ∵ AD ? 平面 A1BC ,且 BC ? 平面 A1BC ,∴ AD ? BC 又
AA1 ? 平面 A1 AB , AD ? 平面 A1 AB , A1 A ? AD ? A ,

∴ BC ? 平面 A1 AB , ∴ BC ? A1 B

又 A1 B ? 平面 A1 BC , ?????6 分

(Ⅱ)在 Rt??ABD 中, AD ? 3 , AB ? 2 ∴ sin ?ABD ?

AD 3 ? AB 2

∴ ?ABD ? 600

0 在 Rt??ABA1 中, AA1 ? AB ? tan 60 ? 2 3

∵ AB ? BC ? 2 , P 为 AC 的中点 由(I)知, A1 A ? 平面 ABC ∴ BP ? 平面 A1 AC

∴ BP ? AC ∴ AA1 ? BP 而 A1 A

AC ? A

∴ BP ? A1P , BP ? AP

∴ ?A1PA 是二面角 A1 ? PB ? A 的平面角,又 BC ? 平面 A1 AB , AB ? BC ? 2 ∴ AP ? 2 ∴ tan ?A1PA ? 20.(本小题 12 分) 已知动点 M ( x, y ) 到直线 l : x ? ?8 的距离是它到点 N ( ?2,0) 的距离的 2 倍. (I)求动点 M ( x, y ) 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 是否存在直线 m 过点 P(0, ?6) 与动点 M 的轨迹交于 A 、B 两点,且 A 是 PB 的中点?若不 存在,请说明理由;若存在求出直线的斜率. 解: (Ⅰ)依题意有
| x ? 8 |? 2 ( x ? 2) 2 ? y 2

AA1 2 3 ? ? 6 AP 2

?????12 分

化简得:

x2 y 2 ? ?1 16 12

∴动点 M 的轨迹 C 的方程

x2 y 2 ? ?1 16 12

?????5 分

(Ⅱ)∵ C 上下顶点坐标分别为 (0, 2 3) 和 (0, ?2 3) 且有

2 3 ?6 ? ?2 3 2
?????6 分

∴直线 m 不经过 C 的上、下顶点,即不与 x 轴垂直

假设存在斜率为 k 的直线 m 满足条件, 其方程为 y ? kx ? 6 , 设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) , 则: 0 ? x2 ? 2x1 , y2 ? 6 ? 2 y1

? x2 y 2 ?1 ? ? 由 ?16 12 得: (3 ? 4k 2 ) x2 ? 48kx ? 96 ? 0 ? y ? kx ? 6 ?
∴ x1 ? x2 ?

?????8 分

48k 96 48k 96 , x1 ? x2 ? ∴ 3x1 ? , 2 x12 ? 2 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 2 16k 2 48 3 ) ? ∴( 解得: k ? ? 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

由于 ? ? (?48k )2 ? 4 ? 96(3 ? 4k 2 ) ? 2k 2 ? 3 ? 0 时,有 k ? ? ∴存在直线 m 满足条件,其斜率为 ? 21. (本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? 1(a ? 0), g ( x) ? x3 ? bx .
3 2

6 6 或k ? 2 2
?????12 分

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x ) 在它们的交点 (1, c) 处有切线,求 a , b 的值. (Ⅱ)当 a 2 ? 4b 时,求函数 f ( x ) ? g ( x ) 的单调区间,并求其在区间 ( ??, ?1] 的最大值 解: (Ⅰ) ∵曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点 (1, c) 处具有公共切线
? 2a ? 3 ? b ? ∴ ?a ? 1 ? c ?b ? 1 ? c ?

∴a ? b ? 3

?????6 分

(Ⅱ)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x)
1 1 ∴ h( x) ? x3 ? ax 2 ? a 2 x ? 1 ∴ h?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? a 2 4 4 a a a a a?0 令 h?( x) ? 0 解得: x1 ? ? , x2 ? ? ∴? ?? 2 6 2 6 a a a a ∴ 函数 h( x) 在 (??, ? ) 单调递增,在 ( ? , ? ) 单调递减,在上 (? , ??) 单调递 2 2 6 6 增 ?????8 分

a2 ? 4b

a 1 ,即 a ? 2 时,最大值为 h(?1) ? a ? a 2 ; 2 4 a a a a ②若 ? ? ?1 ? ? ,即 2 ? a ? 6 时,最大值为 h(? ) ? 1 ;因为 h( ? ) ? h( ?1) 2 6 2 2 a a ③若 ?1 ? ? 时,即 a ? 6 时,最大值为 h(? ) ? 1 . 6 2 1 综上所述:当 a ? (0, 2) 时,最大值为 h(?1) ? a ? a 2 ; 4 a 当 a ?[2, ??) 时,最大值为 h(? ) ? 1 .?????12 分 2 请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请 写清楚题号.

①若 ?1 ? ?

22. (本小题 12 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是 ⊙O 的一条切线,切点为 B ,直线 ADE , CFD , CGE 都是 ⊙O 的割线, 已知 AC ? AB . C (Ⅰ)求证: FG ∥ AC DE G (Ⅱ)若 CG ? 1 , CD ? 4 ,求 的值. F GF A 解:(Ⅰ)因为 AB 为切线, AE 为割线, 所以 AB 2 ? AD ? AE , 又因为 AC ? AB ,所以 AC 2 ? AD ? AE . 所以
AD AC ? ,又因为 ?EAC ? ?DAC , AC AE

D ·O E B

所以 △ ADC ∽ △ ACE , 所以 ?ADC ? ?ACE ,又因为 ?ADC ? ?EGF ,所以 ?EGF ? ?ACE , 所以 FG // AC . ?????5 分

(Ⅱ)由题意可得: G, E , D, F 四点共圆,∴ ?CGF ? ?CDE , ?CFG ? ?CED ∴ ?CGF ∽ ?CDE ∴
DE CD ? GF CG DE ? 4 ?????10 分 ∵ CG ? 1 , CD ? 4 ∴ GF

23. (本小题 12 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程

? 2 x ? 3? t ? ? 2 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数). ?y ? 5 ? 2 t ? ? 2
以直角坐标系 xoy 中原点为极点,以 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中.圆 C 的方程为 ? ? 2 5sin ?

(Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程;

(Ⅱ)已知点 P(3, 5) ,圆 C 与直线 l 交于 A, B 两点,求 PA ? PB .
解:(Ⅰ)由 ? ? 2 5 sin ? ,得 x2 ? y 2 ? 2 5 y ? 0 (Ⅱ)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程, 得 (3 ? 即 x ? ( y ? 5) ? 5
2 2

?????5 分

2 2 2 2 t) ? ( t) ? 5 2 2
2

即 t 2 ? 3 2t ? 4 ? 0

由于 ? ? (3 2) ? 4 ? 4 ? 2 ? 0 ,故可设 t1 , t 2 是上述方程的两实根, 则有

t1 ? t2 ? 3 2 ,

t1 ? t2 ? 4

又直线 l 过点 P(3, 5)

∴ | PA | ? | PB |?| t1 | ? | t2 |? 3 2

?????10 分

24. (本小题 10 分)选修 4-5:不等式选讲 3 1 设不等式 x ? 2 ? a(a ? N * ) 的解集为 A ,且 ? A , ? A . 2 2 (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 的最小值.
3 1 3 1 解:(Ⅰ)因为 ? A ,且 ? A ,所以 ? 2 ? a ,且 ? 2 ? a 2 2 2 2

解得

1 3 ? a ? ,又因为 a ? N * ,所以 a ? 1 2 2

?????5 分

(Ⅱ)因为 | x ? 1| ? | x ? 2 |?| ( x ? 1) ? ( x ? 2) |? 3 当且仅当 ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 ,即 ?1 ? x ? 2 时取得等号,所以 f ( x) 的最小值为 3 ?????10 分


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