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云南省师范大学五华区实验中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析

时间:2016-08-07


云南省师范大学五华区实验中学 2014-2015 学年高二上学期期中 数学试卷
一.选择题(共 10 小题,每小题 3 分,答案写到答题卡上) 1. (3 分)a,b,c∈R,则下列命题正确的是() 2 2 A.若 a >b ,则 a>b B. 若 a<b,则 ac<bc C. 若 a>b,则 2. (3 分)在△ ABC 中,若 a=2, A.60° B.60°或 120° D.若 a>c,b>d,则 a+b>c+d ,A=30°则 B 为() C.30°

D.30°或 150°

3. (3 分)函数 y=2x+ (x>0)的最小值为() A.2 B. 2 C. 4 D.4

4. (3 分)已知{an}是等差数列,且 a2+a3+a10+a11=48,则 a6+a7=() A.12 B.16 C.20 D.24 5. (3 分)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3 成等差数列,则数列{an}的公比 为() A. B. C. D.

6. (3 分)已知正数 x,y 满足 A. B. C.

的最大值为() D.

7. (3 分)下列函数中,最小值等于 2 的函数是() A.y=x+
x
﹣x

B. y=

C. y=e +4e ﹣2

D.y=cosx+

(0



8. (3 分)不等式 y≤3x+b 所表示的区域恰好使点(3,4)不在此区域内,而点(4,4)在此 区域内,则 b 的取值范围是() A.﹣8≤b≤﹣5 B.b≤﹣8 或 b>﹣5 C.﹣8≤b<﹣5 D.b≤﹣8 或 b≥﹣5

9. (3 分)已知实数 m、n 满足不等式组

,则关于 x 的方程 x ﹣(3m+2n)x+6mn=0

2

的两根之和的最大值和最小值分别是() A.6,﹣6 B.8,﹣8

C.4,﹣7

D.7,﹣4

10. (3 分)已知 a,b,c 成等比数列,a,x,b 成等差数列,b,y,c 成等差数列,则 + 的 值等于() A. B. C. 2 D.1

二、填空题(共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分) 11. (3 分)在△ ABC 中,B=45°,C=60°,c=1,则最短边的边长等于. 12. (3 分)锐角△ ABC 中,若 B=2A,则 的取值范围是.

13. (3 分)数列{an}满足 a1=3,a n+1﹣2an=0,数列{bn}的通项公式满足关系式 an?bn=(﹣1) n * (n∈N ) ,则 bn=. 14. (3 分)当 x∈(1,2)时,不等式 x +mx+4<0 恒成立,则 m 的取值范围是.
2

三、解答题(共 5 小题,满分 58 分) 15. (10 分)设△ ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 cosB= ,b=2. (1)当 A= 时,求 a 的值;

(2)当△ ABC 的面积为 3 时,求 a+c 的值. 16. (12 分)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,S3,S2 成等差数列, (1)求{an}的公比 q; (2)求 a1﹣a3=3,求 Sn. 17. (12 分)已知 a∈R,解关于 x 的不等式:x ﹣x﹣a﹣a <0. 18. (12 分)某工厂家具车间造 A、B 型两类桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已 知木工做一张 A、B 型桌子分别需要 1 小时和 2 小时,漆工油漆一张 A、B 型桌子分别需要 3 小时和 1 小时;又知木工、漆工每天工作分别不得超过 8 小时和 9 小时,而工厂造一张 A、B
2 2

型桌子分别获利润 2 千元和 3 千元,试问工厂每天应生产 A、B 型桌子各多少张,才能获得利 润最大? 19. (12 分)已知数列{an}中,Sn 是它的前 n 项和,并且 S n+1=4an+2(n=1,2,…) ,a1=1 (1)设 bn=a n+1﹣2an (n=1,2,…) ,求证{bn}是等比数列; (2)设 cn= (n=1,2,…) ,求证{cn}时等差数列;

(3)求数列{an}的通项公式及前 n 项和公式.

云南省师范大学五华区实验中学 2014-2015 学年高二上学 期期中数学试卷
参考答案与试题解析

一.选择题(共 10 小题,每小题 3 分,答案写到答题卡上) 1. (3 分)a,b,c∈R,则下列命题正确的是() A.若 a >b ,则 a>b C. 若 a>b,则
2 2

B. 若 a<b,则 ac<bc D.若 a>c,b>d,则 a+b>c+d

考点: 不等关系与不等式. 专题: 证明题. 分析: 对于错误的情况,只需举出反例,而对于 D 需应用不等式的可加性这一性质. 2 2 解答: 解:A 选项不正确,当 a=﹣2、b=0 时,满足 a >b ,但 a<b; B 选项不正确,当 c=0 时,有 ac=bc; C 选项不正确,当 b<a<0 时, 无意义; D 选项正确,满足不等式的可加性; 故选:D. 点评: 本题考查不等式的基本性质的应用问题,解题时应用举反例的方法进行排除,容易 得出正确的答案. 2. (3 分)在△ ABC 中,若 a=2, A.60° B.60°或 120° ,A=30°则 B 为() C.30°

D.30°或 150°

考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 利用正弦定理和题设中两边和一个角的值求得 B. 解答: 解:由正弦定理可知 = ,

∴sinB=

=

∵B∈(0,180°) ∴∠B=60°或 120°° 故选 B. 点评: 本题主要考查了正弦定理的应用.正弦定理常用来运用 a:b:c=sinA:sinB:sinC 解决角之间的转换关系.属于基础题.

3. (3 分)函数 y=2x+ (x>0)的最小值为() A.2 B. 2 C. 4 D.4

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用基本不等式的性质即可得出. 解答: 解:∵x>0,∴函数 y=2x+ ∴y=2x+ (x>0)的最小值为 2 . =2 ,当且仅当 x= 时取等号.

故选:B. 点评: 本题考查了基本不等式的性质,属于基础题. 4. (3 分)已知{an}是等差数列,且 a2+a3+a10+a11=48,则 a6+a7=() A.12 B.16 C.20 D.24 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等差数列的性质可得:a2+a11=a3+a10=a6+a7.代入已知即可得出. 解答: 解:∵{an}是等差数列, ∴a2+a11=a3+a10=a6+a7. 又 a2+a3+a10+a11=48, ∴2(a6+a7)=48,解得 a6+a7=24. 故选 D. 点评: 本题考查了等差数列的性质,属于基础题. 5. (3 分)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3 成等差数列,则数列{an}的公比 为() A. B. C. D.

考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 设出等比数列的首项和公比,结合 S1,2S2,3S3 成等差数列列式求解 q 的值.

解答: 解:设等比数列的首项为 a1,公比为 q, 则由 S1,2S2,3S3 成等差数列,得: 4S2=S1+3S3, 即 整理得:3q ﹣q=0,解得 q=0 或 ∵q≠0, ∴q= . 故选:B. 点评: 本题考查等比数列的通项公式,考查等差数列的性质,是基础题.
2

, .

6. (3 分)已知正数 x,y 满足 A. B. C.

的最大值为() D.

考点: 函数的值域. 专题: 计算题. 分析: 将原式子变形为 ,使用基本不等式求最大值.

解答: 解;已知正数 x,y 满足,x +y =1,则 1=x +y ≥2xy,∴ 又 …②

2

2

2

2

…①

①②联立得

,当且仅当①②两式同取等号,即 x=y=

时取到最大值



故选 B. 点评: 本题考查基本不等式的应用,变形是解题的关键,保证等号的取到是难点,也是引 发错误的关键. 7. (3 分)下列函数中,最小值等于 2 的函数是() A.y=x+
x
﹣x

B. y=

C. y=e +4e ﹣2

D.y=cosx+

(0



考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: 由基本不等式求最值逐个选项验证可得. 解答: 解:选项 A,x 正负不定,不能得出最小值等于 2,故错误; 选项 B,可化为 y= 误; 选项 C,y=e +4e ﹣2≥2 正确; 选项 D,当 0 时,0<cosx<1,∴y=cosx+ ≥2,当且仅当 cosx= 即 cosx=1
x
﹣x

+

≥2,当且仅当

=

即 x =﹣1 时取等号,故错

2

﹣2=4﹣2=2,当且仅当 e =4e

x

﹣x

即 x=ln2 时取等号,故

时取等号,故错误. 故选:C 点评: 本题考查基本不等式求最值,注意等号成立的体积是解决问题的关键,属基础题. 8. (3 分)不等式 y≤3x+b 所表示的区域恰好使点(3,4)不在此区域内,而点(4,4)在此 区域内,则 b 的取值范围是() A.﹣8≤b≤﹣5 B.b≤﹣8 或 b>﹣5 C.﹣8≤b<﹣5 D.b≤﹣8 或 b≥﹣5 考点: 二元一次不等式(组)与平面区域. 专题: 计算题. 分析: 根据点与区域的位置关系和不等式之间的联系建立不等式组,解之可求出所求. 解答: 解:∵点(3,4)不在不等式 y≤3x+b 所表示的区域,而点(4,4)在不等式 y≤3x+b 所表示的区域 ∴ 即﹣8≤b<﹣5

故选 C 点评: 本题主要考查了二元一次不等式(组)与平面区域,以及点与区域的位置关系和不 等式之间的联系,属于基础题.

9. (3 分)已知实数 m、n 满足不等式组

,则关于 x 的方程 x ﹣(3m+2n)x+6mn=0

2

的两根之和的最大值和最小值分别是() A.6,﹣6 B.8,﹣8 考点: 简单线性规划. 专题: 计算题.

C.4,﹣7

D.7,﹣4

分析: 先作出不等式组的平面区域,而 z=x1+x2=3m+2n,由 z=3m+2n 可得 n= 则 表示直线 z=3m+2n 在 n 轴上的截距,截距越大,z 越大,结合图形可求.



解答: 解:作出不等式组

的平面区域

则关于 x 的方程 x ﹣(3m+2n)x+6mn=0 的两根之和 z=x1+x2=3m+2n 由 z=3m+2n 可得 n= ,则 表示直线 z=3m+2n 在 n 轴上的截距,截距越大,z 越大

2

作直线 3m+2n=0,向可行域方向平移直线,结合图形可知,当直线经过 B 时,z 最大,当直 线经过点 D 时,z 最小 由 由 故选 D 可得 B(1,2) ,此时 z=7 可得 D(0,﹣2) ,此时 z=﹣4

点评: 本题以方程的根与系数关系的应用为载体,主要考查了线性规划在求解目标函数的 最值中的应用,解题的关键是明确目标函数的几何意义

10. (3 分)已知 a,b,c 成等比数列,a,x,b 成等差数列,b,y,c 成等差数列,则 + 的 值等于() A. B. C. 2 D.1

考点: 等比数列的性质;等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得 b =ac,2x=a+b,2y=b+c,代入要求的式子 + ,化简求得结果. 解答: 解:∵已知 a,b,c 成等比数列,a,x,b 成等差数列,b,y,c 也成等差数列,
2

可得 b =ac,2x=a+b,2y=b+c, ∴ + = =2,

2

故选:C. 点评: 本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质,属于中档题. 二、填空题(共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分) 11. (3 分)在△ ABC 中,B=45°,C=60°,c=1,则最短边的边长等于 .

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由三角形内角和公式可得 A=75°,再根据大角对大边可得 b 为最小边,再根据正弦 定理求得 b 的值. 解答: 解:△ ABC 中,由三角形内角和公式可得 A=75°, 再根据大角对大边可得 b 为最小边. 再根据正弦定理可得 解得 b= 故答案为 , . ,即 = ,

点评: 本题主要考查正弦定理的应用,以及大角对大边,属于中档题. 12. (3 分)锐角△ ABC 中,若 B=2A,则 的取值范围是(



) .

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用倍角公式和正弦定理可得 = 的单调性即可得出. 解答: 解:∵B=2A,∴sinB=sin2A=2sinAcosA,∴ ∴ = =2cosA. , . , =2cosA.再利用 B=2A 及锐角三角形、cosA

∵锐角△ ABC,∴ ∴ ∴ ∴ , . .

∴ 的取值范围是(



) .

故答案为: ( , ) . 点评: 本题考查了倍角公式、正弦定理、锐角三角形、余弦函数的单调性,考查了推理能 力和计算能力,属于难题. 13. (3 分)数列{an}满足 a1=3,a n+1﹣2an=0,数列{bn}的通项公式满足关系式 an?bn=(﹣1)
n

(n∈N ) ,则 bn=

*



考点: 等比关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等比数列的通项公式即可得出. 解答: 解:∵数列{an}满足 a1=3,a n+1﹣2an=0, ∴数列{an}是等比数列, n﹣1 ∴an=3×2 . n * ∵an?bn=(﹣1) (n∈N ) , ∴bn= .

故答案为:



点评: 本题考查了等比数列的通项公式,属于基础题. 14. (3 分)当 x∈(1,2)时,不等式 x +mx+4<0 恒成立,则 m 的取值范围是 m≤﹣5. 考点: 一元二次不等式的应用;函数恒成立问题. 专题: 不等式. 分析: ①构造函数:f(x)=x +mx+4,x∈[1,2].②讨论 对称轴 x=﹣ > 或
2 2

< 时

f(x)的单调性,得 f(1) ,f(2)为两部分的最大值若满足 f(1) ,f(2)都小于等于 0 即能 满足 x∈(1,2)时 f(x)<0,由此则可求出 m 的取值范围 2 解答: 解:法一:根据题意,构造函数:f(x)=x +mx+4,x∈[1,2].由于当 x∈(1,2) 2 时,不等式 x +mx+4<0 恒成立. 则由开口向上的一元二次函数 f(x)图象可知 f(x)=0 必有△ >0, ①当图象对称轴 x=﹣ ≤ 时,f(2)为函数最大值当 f(2)≤0,得 m 解集为空集. ②同理当﹣ > 时,f(1)为函数最大值,当 f(1)≤0 可使 x∈(1,2)时 f(x)<0. 由 f(1)≤0 解得 m≤﹣5.综合①②得 m 范围 m≤﹣5 2 2 法二: 根据题意, 构造函数: f (x) =x +mx+4, x∈[1, 2]. 由于当 x∈ (1, 2) 时, 不等式 x +mx+4 <0 恒成立



解得

即 m≤﹣5

故答案为 m≤﹣5 点评: 本题考查二次函数图象讨论以及单调性问题. 三、解答题(共 5 小题,满分 58 分) 15. (10 分)设△ ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 cosB= ,b=2. (1)当 A= 时,求 a 的值;

(2)当△ ABC 的面积为 3 时,求 a+c 的值. 考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)利用同角三角函数的基本关系式,求出 sinB,利用正弦定理求出 a 即可. (2)通过三角形的面积求出 ac 的值,然后利用余弦定理即可求出 a+c 的值. 解答: 解: (1)∵ 由正弦定理得 ,∴ .…(2 分) .…(4 分)



.…(6 分) ,

(2)∵△ABC 的面积 ∴
2 2 2

.…(8 分)

由余弦定理 b =a +c ﹣2accosB,…(9 分) 得 4=
2 2

,即 a +c =20.…(10 分)

2

2

∴(a+c) ﹣2ac=20, (a+c) =40,…(11 分) ∴ .…(12 分) 点评: 本题考查同角三角函数的基本关系式的应用,正弦定理与余弦定理的应用,考查计 算能力. 16. (12 分)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,S3,S2 成等差数列, (1)求{an}的公比 q; (2)求 a1﹣a3=3,求 Sn. 考点: 等差数列的性质;等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由题意知 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q ) ,由此可知 2q +q=0,从而
2 2



(Ⅱ)由已知可得

,故 a1=4,从而


2

解答: 解: (Ⅰ)依题意有 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q ) 2 由于 a1≠0,故 2q +q=0 又 q≠0,从而 (Ⅱ)由已知可得 故 a1=4

从而

点评: 本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答. 17. (12 分)已知 a∈R,解关于 x 的不等式:x ﹣x﹣a﹣a <0. 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 分类讨论;不等式的解法及应用. 2 2 分析: 把不等式 x ﹣x﹣a﹣a <0 化为(x+a)[x﹣(a+1)]<0,讨论 a 的取值,求出不等 式的解集. 解答: 解:不等式 x ﹣x﹣a﹣a <0 可化为 (x+a)[x﹣(a+1)]<0, 当 a=﹣ 时,﹣a=a+1,不等式的解集是?; 当 a<﹣ 时,﹣a>a+1,不等式的解集是{a|x<a+1,或 x>﹣a}; 当 a>﹣ 时,﹣a<a+1,不等式的解集是{a|x<﹣a,或 x>a+1}; ∴a=﹣ 时,不等式的解集是?, a<﹣ 时,不等式的解集是{a|x<a+1,或 x>﹣a}, a>﹣ 时,不等式的解集是{a|x<﹣a,或 x>a+1}. 点评: 本题考查了求一元二次不等式的解法问题,解题时应对字母 a 进行讨论,是基础题. 18. (12 分)某工厂家具车间造 A、B 型两类桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已 知木工做一张 A、B 型桌子分别需要 1 小时和 2 小时,漆工油漆一张 A、B 型桌子分别需要 3 小时和 1 小时;又知木工、漆工每天工作分别不得超过 8 小时和 9 小时,而工厂造一张 A、B
2 2 2 2

型桌子分别获利润 2 千元和 3 千元,试问工厂每天应生产 A、B 型桌子各多少张,才能获得利 润最大? 考点: 简单线性规划的应用. 专题: 应用题. 分析: 先设每天生产 A 型桌子 x 张, B 型桌子 y 张, 利润总额为 z 千元, 根据题意抽象出 x, y 满足的条件,建立约束条件,作出可行域,再根据目标函数 z═2x+3y,利用截距模型,平 移直线找到最优解,即可. 解答: 解:设每天生产 A 型桌子 x 张,B 型桌子 y 张,利润总额为 z 千元,



目标函数为:z=2x+3y 作出可行域: 把直线 l:2x+3y=0 向右上方平移至 l'的位置时,直线经过可行域上的点 M,且与原点距离最 大,此时 z=2x+3y 取最大值, 解方程 得 M 的坐标为(2,3) .

答:每天应生产 A 型桌子 2 张,B 型桌子 3 张才能获得最大利润.

点评: 本题主要考查用线性规划解决实际问题中的最值问题,基本思路是抽象约束条件, 作出可行域,利用目标函数的类型,找到最优解.属中档题. 19. (12 分)已知数列{an}中,Sn 是它的前 n 项和,并且 S n+1=4an+2(n=1,2,…) ,a1=1 (1)设 bn=a n+1﹣2an (n=1,2,…) ,求证{bn}是等比数列; (2)设 cn= (n=1,2,…) ,求证{cn}时等差数列;

(3)求数列{an}的通项公式及前 n 项和公式. 考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1) 由 Sn+1=4an+2 得当 n≥2 时, Sn=4an﹣1+2, 两式相减得 an+1=4an﹣4an﹣1, 结合 bn=an+1 ﹣2an 代入 化简,

并由条件求出 b1,根据等比数列的定义即可证明; (2)由(1)和等比数列的通项公式得 化简后,由等差数列的定义证明结论; (3)由(2)和等差数列的通项公式求出 cn,再由 cn=
1+2

,即 an+1﹣2an=3?2

n﹣1

,两边同除以 2

n+1

求出 an,再代入当 n≥2 时 Sn=4an﹣

化简,最后验证 n=1 也成立. 解答: 证明: (1)由题意得,Sn+1=4an+2, 所以当 n≥2 时, Sn=4an﹣1+2, 两式相减得,an+1=4an﹣4an﹣1, 又 bn=an+1﹣2an, 所以 = = =2,

由 a1=1,S2=4a1+2 得,a2=5, 所以 b1=a2﹣2a1=3, 则{bn}是公比为 2、首项为 3 的等比数列; (2)由(1)得,
n﹣1


n+1

所以 an+1﹣2an=3?2

,两边同除以 2

,得

= ,

又 cn=

,则 c1=

= ,

所以{cn}是公差为 、首项为 的等差数列; 解: (3)由(2)得,cn= = ,
n﹣2

因为 cn=

,所以

=(3n﹣1)?2



因为 Sn+1=4an+2,所以当 n≥2 时 Sn=4an﹣1+2, n﹣1 则 Sn=(3n﹣4)?2 +2, n﹣1 当 n=1 时,S1=1 也适合上式,故 Sn=(3n﹣4)?2 +2. 点评: 本题考查利用定义法证明等差、等比数列,等差、等比数列的通项公式,以及由数 列 Sn 和 an 的关系式的应用,综合性强,难度大.


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