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高中数学 第一章 1.1.1正弦定理(二)导学案新人教A版必修5

时间:2015-08-29


1.1.1

正弦定理(二)

课时目标 1.熟记正弦定理的有关变形公式; 2.能够运用正弦定理进行简单的推理与证明.

1.正弦定理: = = =2R 的常见变形: sin A sin B sin C (1)sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c; a b c a+b+c (2) = = = =2R; sin A sin B sin C sin A+sin B+sin C (3)a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C; (4)sin A= ,sin B= ,sin C= . 2R 2R 2R 1 1 1 2.三角形面积公式:S= absin C= bcsin A= casin B. 2 2 2

a

b

c

a

b

c

一、选择题 1.在△ABC 中,sin A=sin B,则△ABC 是( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 答案 D

)

2.在△ABC 中,若 = = ,则△ABC 是( ) cos A cos B cos C A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 答案 B sin A sin B sin C 解析 由正弦定理知: = = , cos A cos B cos C ∴tan A=tan B=tan C,∴A=B=C. 3 3.在△ABC 中,sin A= ,a=10,则边长 c 的取值范围是( 4 ?15 ? A.? ,+∞? B.(10,+∞) ?2 ? ? 40? C.(0,10) D.?0, ? 3? ? 答案 D c a 40 40 解析 ∵ = = ,∴c= sin C. sin C sin A 3 3 40 ∴0<c≤ . 3 4.在△ABC 中,a=2bcos C,则这个三角形一定是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 答案 A

a

b

c

)

解析 由 a=2bcos C 得,sin A=2sin Bcos C, ∴sin(B+C)=2sin Bcos C, ∴sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C, ∴sin(B-C)=0,∴B=C. 5.在△ABC 中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,则 sin A∶sin B∶sin C 等 于( ) A.6∶5∶4 B.7∶5∶3 C.3∶5∶7 D.4∶5∶6 答案 B 解析 ∵(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6, b+c c+a a+b ∴ = = . 4 5 6 b+c c+a a+b 令 = = =k (k>0), 4 5 6

b+c=4k ? ? 则?c+a=5k ? ?a+b=6k

? ? 5 ,解得?b= k 2 3 ? ?c=2k
a= k
7 2

.

∴sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=7∶5∶3. 1 6.已知三角形面积为 ,外接圆面积为 π ,则这个三角形的三边之积为( 4 A.1 B.2 1 C. D.4 2 答案 A 2 解析 设三角形外接圆半径为 R,则由 π R =π , 1 abc abc 1 得 R=1,由 S△= absin C= = = ,∴abc=1. 2 4R 4 4 二、填空题 1 7.在△ABC 中,已知 a=3 2,cos C= ,S△ABC=4 3,则 b=________. 3 答案 解析 2 3 1 2 2 ∵cos C= ,∴sin C= , 3 3

)

1 ∴ absin C=4 3,∴b=2 3. 2 8.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 A=60°,a= 3,b=1,则 c=________. 答案 解析 2 由正弦定理

a b 3 1 = ,得 = , sin A sin B sin 60° sin B

1 ∴sin B= ,故 B=30°或 150°.由 a>b, 2 得 A>B,∴B=30°,故 C=90°, 由勾股定理得 c=2.

a b 2c 9. 在单位圆上有三点 A, B, C, 设△ABC 三边长分别为 a, b, c, 则 + + sin A 2sin B sin C =________. 答案 7 解析 ∵△ABC 的外接圆直径为 2R=2,
= = =2R=2, sin A sin B sin C a b 2c ∴ + + =2+1+4=7. sin A 2sin B sin C ∴

a

b

c

a+b+c 10.在△ABC 中,A=60°,a=6 3,b=12,S△ABC=18 3,则 = sin A+sin B+sin C ________,c=________. 答案 12 6 a+b+c a 6 3 解析 = = =12. sin A+sin B+sin C sin A 3
2 1 1 ∵S△ABC= absin C= ×6 3×12sin C=18 3, 2 2 1 c a ∴sin C= ,∴ = =12,∴c=6. 2 sin C sin A 三、解答题 a-ccos B sin B 11.在△ABC 中,求证: = . b-ccos A sin A 因为在△ABC 中, = = =2R, sin A sin B sin C 2Rsin A-2Rsin Ccos B 所以左边= 2Rsin B-2Rsin Ccos A sin?B+C?-sin Ccos B sin Bcos C sin B = = = =右边. sin?A+C?-sin Ccos A sin Acos C sin A a-ccos B sin B 所以等式成立,即 = . b-ccos A sin A 2 2 12.在△ABC 中,已知 a tan B=b tan A,试判断△ABC 的形状. 2 2 解 设三角形外接圆半径为 R,则 a tan B=b tan A 2 2 a sin B b sin A ? = cos B cos A 2 2 2 2 4R sin Asin B 4R sin Bsin A ? = cos B cos A ?sin Acos A=sin Bcos B ?sin 2A=sin 2B ?2A=2B 或 2A+2B=π π ?A=B 或 A+B= . 2 ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 能力提升 13.在△ABC 中,B=60°,最大边与最小边之比为( 3+1)∶2,则最大角为( A.45° B.60° C.75° D.90° 答案 C 解析 设 C 为最大角,则 A 为最小角,则 A+C=120°, 证明

a

b

c

)

∴ = =

sin sin sin

C sin(120°-A) = A sin A 120° cos A-cos 120°sin A sin A

3 1 3+1 3 1 + = = + , 2tan A 2 2 2 2 ∴tan A=1,A=45°,C=75°. π 14.在△ABC 中,a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边,若 a=2,C= , 4

B 2 5 cos = ,求△ABC 的面积 S. 2 5 3 2 B 解 cos B=2cos -1= , 2 5 4 故 B 为锐角,sin B= . 5
所以 sin A=sin(π -B-C)=sin? 由正弦定理得 c=

?3π -B?=7 2. ? 10 ? 4 ?

asin C 10 = , sin A 7

1 1 10 4 8 所以 S△ABC= acsin B= ×2× × = . 2 2 7 5 7 1.在△ABC 中,有以下结论: (1)A+B+C=π ; (2)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C; A+B C π (3) + = ; 2 2 2 A+B C A+B C A+B 1 (4)sin =cos ,cos =sin ,tan = . 2 2 2 2 2 C tan 2 2.借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化,从而进行三角形形状的判断、三 角恒等式的证明.


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