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高考数学竞赛平面几何教案讲义(16)

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第十六章 平面几何 一、常用定理(仅给出定理,证明请读者完成) 梅涅劳斯定理 设 A' , B' , C ' 分别是Δ ABC 的三边 BC, CA, AB 或其延长线上的点, 若 A' , B' , C ' 三点共线,则 BA' CB ' AC ' ? ? ? 1. A' C B' A C ' B 梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上,若 BA' CB ' AC ' ? ? ? 1. 则 A' , B' , C ' 三点共线。 A' C B' A C ' B 塞瓦定理 设 A' , B' , C ' 分别是Δ ABC 的三边 BC, CA, AB 或其延长线上的点, 若 AA' , BB' , CC ' 三线平行或共点, 则 BA' CB ' AC ' ? ? ? 1. A' C B' A C ' B w.w. 塞瓦定理的逆定理 设 A' , B' , C ' 分别是Δ ABC 的三边 BC,CA,AB 或其延长线上的点,若 或互相平行。 角元形式的塞瓦定理 BA' CB ' AC ' ? ? ? 1. 则 AA' , BB' , CC ' 三线共点 A' C B' A C ' B A' , B' , C ' 分别是 Δ ABC 的三边 BC , CA , AB 所在直线上的点,则 sin ?BAA ' sin ?ACC ' sin ?CBB ' ? ? ? 1. sin ?A' AC sin ?C ' CB sin ?B' BA AA' , BB' , CC ' 平行或共点的充要条件是 广义托勒密定理 设 ABCD 为任意凸四边形,则 AB?CD+BC?AD≥AC?BD,当且仅当 A,B,C,D 四点共圆时取等号。 斯特瓦特定理 设 P 为Δ ABC 的边 BC 上任意一点,P 不同于 B,C,则有 AP =AB ? 2 2 PC BP 2 +AC ? -BP?PC. BC BC 西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线,则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线, 则该点在三角形的外接 圆上。 九点圆定理 三角形三条高的垂足、 三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点, 这九 点共圆。 蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。 (到两圆的幂(即切线长)相等的点构成集合为 一条直线,这条直线称根轴) 欧拉定理 Δ ABC 的外心 O,垂心 H,重心 G 三点共线,且 OG ? 二、方法与例题 1.同一法。即不直接去证明,而是作出满足条件的图形或点,然后证明它与已知图形或点 1 GH . 2 重合。 例 1 在Δ ABC 中,∠ABC=70 ,∠ACB=30 ,P,Q 为Δ ABC 内部两点,∠QBC=∠QCB=10 ,∠ PBQ=∠PCB=20 ,求证:A,P,Q 三点共线。 0 0 0 0 2 面积法。 例 2 ◇ABCD 中,E,F 分别是 CD,BC 上的点,且 BE=DF,BE 交 DF 于 P,求证:AP 为∠BPD 的平分线。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3.几何变换。 例3 (蝴蝶定理)AB 是⊙O 的一条弦,M 为 AB 中点,CD,EF 为过 M 的任意弦,CF,DE 分 别交 AB 于 P,Q。求证:PM=MQ。 例 4 平面上每一点都以红、蓝两色之一染色,证明:存在这样的两个相似三角形,它们的 相似比为 1995,而且每个三角形三个顶点同色。 4.三角法。 例 5 设 AD,BE 与 CF 为Δ ABC 的内角平分线

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