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7.3(1)两直线的位置关系

时间:2012-10-01


7.3 两条直线的位置关系
成都七中

2 垂直 预备知识: 直线的方向向量
y P2 P1

直线过两点P1(x1, y1)、P2(x2, y2)
向量 P1 P2的坐标是(

0

x

x

2

?

x ,y
1

?
2

y)
1

直线上的向量

P1 P2 及与它平行的向量

都称为直线的方向向量
当直线 P1 P2 与轴不垂直时,此时向 且它的坐标是 1 量 1 x 2 ? x1 P1 P2 也是直线 P1 P2的方向向量,

x 2 ? x1

( x 2 ? x1 , y 2 ? y 1 ), 即 (1, k ).

设直线l1和l2的斜率分别是k1 和 k2 , 则直线l1 有方向向量 a =(1, k1), 直线 l2有方向向量 b =(1, k2),则

l

1

?

l

2

? a ? b ? a ? b ? 0 ? 1?1 ?
即 l1 ?

k

1

?k2? 0

l

2

?

k ?k
1

2

? ?1

如果两条直线的斜率分别是k1 和 k2 ,那么,这两条直 线垂直的充要条件是k1? k2= –1。

2.垂直
?

y

?
2

??

0

x

设直线l1和l2的斜率分别是k1 和 k2 , 则直线l1 有方向向量 a =(1, k1), 直线 l2有方向向量 b =(1, k2),则
l1 ? l 2 ? a ? b ? a ? b ? 0 ? 1 ? 1 ? k 1 ? k 2 ? 0

即l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1
如果两条直线的斜率分别是k1 和 k2 ,那么,这两条直线垂直 的充要条件是k1? k2= –1。

两直线垂直的充要条件的几何说明
如图: l1 ? l1,( 不失一般性,

| OA |? 1

l1、 l 2 均过原点 ) y
T1

l1

l1的方向向量 l 2的方向向量
? l1 ? l 2

(1, AT 1 ) (1, AT 2 )
A
O

x
T2

即: k 1 ? AT 1 ? 0 , k 2 ? AT 2 ? 0
? ? T1OT 2 是 Rt ? , ? T1OT 2 ? 90
?

l2
| AT 1 | ? | AT 2 |? | OA |
2

由射影定理:

即 | k 1 | ? | k 2 |? 1

2

? k1 ? ( ? k 2 ) ? 1 ? k1 ? k 2 ? ? 1

2.垂直

设直线l1和l2分别有如下的斜截式方程: l1: y=k1x+b1 , l2: y=k2x+b2 .

l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1

例3 已知两条直线 l1: 2 x-4 y +7=0 , l2: 2x+ y -5=0, 求证 l1⊥l2.
证明:l1的斜率 k 1 ?
? k1k 2 ? 1 2

1 2

, l 2的斜率 k 2 ? ? 2。

? ? ? 2 ? ? ? 1,

? l1 ? l 2 .

2.垂直
能否直接从两条直线的一般式方程中判断它们是否垂直呢? 设两条直线的方程是

l1: A1x+B1 y +C1=0, l2: A2x+B2 y +C2=0.
A1 B 12 ? B1BB2 ? 0. A 2 则l1 ⊥ l2 的充要条件是_________________.
(? A1 ) ? (? A2 ) ? ?1

例3 已知两条直线 l1: 2 x-4 y +7=0 , l2: 2x+ y -5=0, 求证 l1⊥l2. 证明:? 2 ? 2 ? ( ? 4 ) ? 1 ? 0 ,
? l1 ? l 2 .

例4 求过点A(2,1)且与直线 2 x+y -10=0垂直的直线 l 的方程。 解: 直线2 x+y -10=0的斜率是-2,因为直线l
与已知直线垂直,所以它的斜率
k ? ? 1 ?2 ? 1 2 .

由点斜式得直线l 的方程是
y ?1 ? 1 2 ( x ? 2 ),



x ? 2 y ? 0.

例4 求过点A(2,1)且与直线 2 x+y -10=0垂直的直线 l 的方程。
解2:设所求直线l的方程为x-2y+m=0,

因为点A (2,1) 在直线l 上,
? 2 ? 2 ? 1 ? m ? 0,即 m ? 0.
? 所求直线方程为 x ? 2 y ? 0.

一般地,与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为
Bx-Ay+m=0,其中m待定.

两直线平行或垂直的充要条件
前提: 假设两直线l1和l2的斜率都存在,且分别是k1和k2,

直线l1∥l2的充要条件是 k1=k2 且b1≠b2
直线l1⊥l2的充要条件是 k1?k2=-1
思考: 若两直线l1或l2的斜率不存在,在什么 情况下两直线平行或垂直?

例5、已知两直线l1 : x ? ay ? 2a ? 2, l2 : ax ? y ? a ? 1 (1)若l1 // l2 , 求a;(2)若l1 ? l2 , 求a
解:( 1)若直线 l1的斜率不存在,即 a ? 0时

不满足 l1 // l 2
? l1 : y ? ? 1 a x? 2a ? 2 a , l 2 : y ? ? ax ? a ? 1

? l1 // l 2
?? 1 a ? ? a且 a ? 1 ? 2a ? 2 a

所以 a ? 1

例5、已知两直线l1 : x ? ay ? 2a ? 2, l2 : ax ? y ? a ? 1 (1)若l1 // l2 , 求a;(2)若l1 ? l2 , 求a
解:( 2)若直线 l1的斜率不存在,即 a ? 0时

满足 l1 ? l 2

当 a ? 0时, l1 : y ? ?

1 a

x?

2a ? 2 a

, l 2 : y ? ? ax ? a ? 1

? l1 ? l 2
? (? 1 a ) ? ( ? a ) ? ? 1 ? a 无解

所以 a ? 0

3、小结思考
1、两直线平行的充要条件是什么?这个结论是 如何证明的? 2、两直线垂直的充要条件是什么?这个结论是 如何证明的? 3、如何判断两直线平行或垂直?

两直线平行或垂直的充要条件
前提: 假设两直线l1和l2的斜率都存在,且分别是k1和k2,

直线l1∥l2的充要条件是 k1=k2 且b1≠b2
直线l1⊥l2的充要条件是 k1?k2=-1
思考: 若两直线l1或l2的斜率不存在,在什么 情况下两直线平行或垂直?

判断两直线是否平行或垂直的思维框图
直线l1 , l2


k 1 ? k 2 (?)



b1 ? b 2 (?)


k 1 ? k 2 ? ? 1(?)







l1与l2重合

l1 // l2

l1⊥l2

l1 // l2 , l1 ? l2

作业
1.习题7.3 1、2、3、4、5 2.活页作业:课时作业十九

例 5 .平行于直线

2 x ? 5 y ? 1 ? 0的 面

直线 l 与坐标轴围成的三角形 积为 5,求直线 l 的方程。

解:

由题意设

l的方程为 2 x ? 5 y ? m ? 0 .

它与 x , y 轴的交点分别为

(?

m 2

, 0 ), ( 0 , ?

m 5

).

由已知条件得:

1 2

?

m 2

??

m 5

? 5,

? m ? 100 ,
2

? m ? ? 10 .

? 直线 l的方程为 2 x ? 5 y ? 10 ? 0 .


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