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【数学】 2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)

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第二章 解析几何初步

2.2.1 圆的标准方程

如 设 何 此 写 圆 出 的 此 半 圆 径 的 为 方 程米 ?,

r

一﹑确定圆的条件
圆的定义是什么? 平面内与定点距离等 于定长的点的集合(轨 迹)是圆。 其中的定点是圆心, 定长是半径。

y r (a,b)

O

x

一个圆的圆心位置和半径一旦 确定,这个圆就被确定下来了。

Y

P(x,y)

A (-r,0)

O 0

一、建立适当的 直角坐标系,如 右图所示:以圆 B (r,0) X 心O为原点。
二、取圆上任意一点 P(x,y),则:OP=r
即:

( x ? 0) ? ( y ? 0) ? r
2 2

所以此圆的方程为:

即:x 2 ? y 2 ? r 2

求:圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程 设P(x,y)是圆上任意一点, y

根据定义,点P到圆心C的 距离等于r,由两点间的距离公 式,点P适合的条件可表示为:
∣PC∣=r 即 (x-a) 2 + (y-b) 2 把上式两边平方得: (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 =r
O 说明:

P

r
C x

特点:明确给出了圆心坐标 和半径。

于是我们得到:方程

? x ? a? ? ? y ? b?
2

2

? r ? r ? 0?
2

叫做以(ɑ,b)为圆心, r为半径的 圆的标准方程。

如果圆的方程为: 若圆心为(0,0)时,此方程变为:

x ?y ?r
2 2

2

? r ? 0?

此圆的圆心在原点(0,0),

半径为r。

例1: 求以C(4,-6)为圆心,半径是 3的圆的方程.
解: 将圆心 C(4,-6) ﹑半径等于3代 入圆 的标准方程,可得所求圆 2 的方程为(x-4) ? ( y ? 6) 2 ? 9

练习 1.写出下列圆的方程
x2+y2=9 (1)圆心在原点,半径为3; (2)圆心在(-3、4),半径为 5 。 (x+3)2+(y-4)2=5

(3)圆心为(2,-3),且过原点的圆C 的方程。

解:因为圆C过原点,故圆C的半径

r ? 2 ? ? ?3? ? 13
2 2

因此,所求圆C的方程为:

? x ? 2?

2

? ? y ? 3? ? 13
2

(4)以点A(-4,-1),B(6,-1)为 直径的圆的方程。 (分析:线段AB为直径,则圆心为线段 AB的中点,半径为线段AB的一半。) 解:以中点坐标公式有:圆心坐标 为(1,-1),又以两点距离公式 有:AB ? ? 6 ? 4 ?2 ? ? ?1 ? 1?2 ? 10 所以圆的半径为5 2 2 故圆的方程为: x ? 1 ? y ? 1 ? 25

?

? ?

?

练习2、写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1) (x-1)2+y2=6
(1,0) (-1,2) (-a,0) 6 3 |a|

(2) (x+1)2+(y-2)2=9
(3)(x+a)2+y2=a2

1、求以点C(2,1)为圆心,并且与 Y轴相切的圆的方程。 解:依图知:圆C的半径 Y 为2,则所求圆的标准方 2 2 程: ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 4 ?x

问:若此圆C的圆心为(2,
1),且与X轴相切,它的 方程是什么??
0

C(2,1) C(2,1)

X

? x ? 2?

2

? ? y ? 1? ? 1
2

X

下列方程分别表示什么 图形 ? (1) x 2 ? y 2 ? 0; (3) y ? 1 ? x 2 (2)(x ? 1) 2 ? 8 ? ( y ? 2) 2 (4) x ? 1 ? y 2

例2:已知隧道的截面是半径为4米的半圆, 车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆 宽为2.7米,高为3米的货车能不能驶入 这个隧道? 解:(如右图)建立直角坐 标系,则半圆的方程为:
4 Y

x ? y ? 16 ? y ? 0?
2 2
2

x 车宽为2.7米即: ? 2.7

A

0

2.7

B X

y 则: ? 16 ? 2.7 ? 8.71 ? 3
车高于隧道高度,故货车不能驶入此隧道。

练习:如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m, 拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长 y 度(精确到0.01m)
解:建立如图所示的坐标 系,设圆心坐标是(0,b) 圆的半径是r ,则圆的方程是 x2+(y-b)2=r2 。

x

把P(0,4) B(10,0)代入圆的方程得方程组: 02+(4-b)2= r2 解得:b= -10.5 r2=14.52 2+(0-b)2=r2 10 所以圆的方程是: x2+(y+10.5)2=14.52 把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程,得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m) 答:支柱A2P2的长度约为3.86m。

小结:
(1)、牢记: 圆的标准方程:(x-a)2+(yb)2=r2。

(2)、明确:三个条件a、b、r确定一个圆。 (3)、方法:①待定系数法 ②数形结合法


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