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高考论坛新课标数学理一轮教师备课课件2.13定积分与微积分基本定理

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抓 住 3 个 基 础 知 识 点 挖 掘 1 大 技 法 第十三节 定积分与微积分基本定理 课 堂 限 时 检 测 掌 握 3 个 核 心 考 向 [考情展望] 1.利用微积分基本定理直接计算定积分的值.2. 利用定积分的几何意义, 考查曲边梯形的面积.3.利用定积分求变 力做功、变速运动的质点的运动路程. 一、定积分的概念与性质 1.定积分的定义 如果函数 f(x) 在区间 [a , b] 上连续,用分点 a = x0<x1<…<xi - 1<xi<…<xn=b 将区间[a,b]等分成 n 个小区间,在每个小区间[xi-1, n n b-a ?f(ξi)Δx= ? n f(ξi) =1 i=1 x ]上任取一点 ξ (i=1,2,…,n),作和式i_____________________ ,当 i i n→∞时, 上述和式无限接近某个常数, 这个常数叫做函数 f(x)在区间 a [a,b]上的定积分,记作___________ ,即 ?b ? ? ? f(x)dx a ?b ? ? ? b -a f(x)dx=linm f(ξi). →∞ ? n i=1 n 2.定积分的几何意义 b =a,x= b(a≠b), (1)当 f(x)≥0 时, 定积分? _______________ ? f(x)dx 表示由直线x ? ? a y=0 和曲线 y=f(x)所围成的曲边梯形的面积. _____ (2)当 f(x)在[a,b]上有正有负时,如图 2-13-1 所示, 图 2-13-1 b 则定积分? 曲线 y=f(x)以及直线 x=a, ? f(x)dx 表示介于 x 轴, ? ? a x=b(a≠b)之间各部分曲边梯形面积的代数和,即 ?b ? ? ? A1+A3-A2-A4 . f(x)dx=__________________ a 3.定积分的基本性质 b k? ? f(x)dx ? b ? ①? .(k 为常数) ? kf(x)dx=_____________ a ? ?b f1(x)dx± ? f2(x)dx ? ?b ? a a ②? [ f ( x )± f ( x )]d x = ____________________ . 1 2 ? ? a ?b ? ? ? f(x)dx b ?b a ③? + ? f(x)dx=___________ ? f(x)dx(其中 a<c<b). ? ? ? ? a ?c ? ? ? a ? c 定积分与曲边梯形的面积 如图,设阴影部分面积为 S. b ① S =? ? f(x)dx; ? ? a b ②S=-? ? f(x)dx; ? ? a c ?b ③ S =? ? f(x)dx-? f(x)dx; ? ? ? a ? c b ?b ?b ④ S =? ? f(x)dx-? g(x)dx=? [f(x)-g(x)]dx. ? ? ? ? a ? a ? a 二、微积分基本定理 一般地,如果 f(x)是在区间[a,b]上的连续函数,且 F′(x) b F(b)-F(a) .这个结论叫做微积分基本 =f(x).那么? ? f(x)dx= ____________ ? ? a 定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式. 其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数. b | F ( x ) a 为了方便,常把 F(b)-F(a)记作_________ ,即 ?b ? ? ? f(x)dx=F(x)| b a=F(b)-F(a). a 三、定积分在物理中的应用 变速 作变速直线运动的物体所经过的路程 s,等于其速度 直线 函数 v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分, a 运动 即__________ . ?b ? ? ? v(t)dt 如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动,并且物 变力 体沿着与 F(x)相同的方向从 x=a 移动到 x=b(a<b), 做功 那么变力 F(x)所做的功为__________. a ?b ? ? ? F(x)dx 1.已知质点的速度 v=10t,则从 t=0 到 t=t0 质点所经过的 路程是( A.10t2 0 10 2 C. t0 3 ) B.5t2 0 52 D. t0 3 2 2 ? S=? ?t0vdt=?t010tdt=5t | t00=5t0. ? ? ? 【解析】 0 ? 0 【答案】 B 2.求曲线 y=x2 与 y=x 所围成图形的面积,其中正确的是 ( ) 1 2 A.S=? ? (x -x)dx ? ? 0 2 1 B.S=? ? (x-x )dx ? ? 0 1 2 C.S=? ? (y -y)dy ? ? 0 1 D.S=? ? (y- y)dy ? ? 0 【解析】 2 ? ?y=x 由? ? ?y=x ? ?x=0 得? ? ?y=0 ? ? x= 1 或? ? ?y=1 , 2 1 ∴S=? ? (x-x )dx,故选 B. ? ? 0 【答案】 B 3.设 2 ? ?x f(x)=? x ? ?2 ?x≥0? ,则? 1-1f(x)dx 的值是( ? ?x<0? x B.? - 12 dx 1 ? x ?1 2 D.? - 12 d x + ? x dx 0 ? ? ? ) 2 A.? - 1 x dx 1 ? 2 ?1 x C.? - 1 x d x + ? 2 dx 0 ? ? ? 0 0 【解析】 由分段函数的定义及积分运算性质, ? x ?1 2 ∴? - 1 f ( x )d x = 1 ?0-12 dx+? x dx. ? ? ? 0 【答案】 D 1 ?2 ?2 4.如果? ? f(x)dx=1,? f(x)dx=-1,则? f(x)dx=________

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