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换底公式课件新人教A版必修_图文

时间:2018-08-13

成才之路· 数学
人教A版 ·必修1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第二章
基本初等函数(Ⅰ)

第二章
2.2 对数函数

第二章
2.2.1 对数与对数运算

第二章
第 3 课时 换底公式

课前自主预习 基础巩固训练 方法警示探究 思路方法技巧

能力强化提升
探索延拓创新

课前自主预习

温故知新 1.指数式与对数式的互化:ax=N? logaN=x (a>0,且 a≠1). 2.对数的运算性质:如果 a>0,且 a≠1,M>0,N>0, 那么, (1)loga(M· N)= logaM+logaN ; M (2)loga = N
logaM-logaN



(3)logaMn= nlogaM

(n∈R).

新课引入 通过以前的学习,我们对于对数的基本运算性质已经有 了一定的了解,能应用真数的积、商、幂的对数运算解决一 些问题.平时我们可以遇到这样的化简,如 alogaN,又能在 化简中遇到 logab 与 logba 的化简问题, 这些问题怎么解决呢?

自主预习 1.(1)计算 log48,log42 与 log28 的值,看它们之间有什 么关系?

3 1 log48 [答案] , ,3,log28= . 2 2 log42

(2)计算 log1 000100 的值,看它们与 lg100,lg1 000 的值有 何联系?

lg100 [答案] log1 000100= . lg1 000

logcb 2. 换底公式: logab= (其中 a>0 且 a≠1, c>0 且 c≠1, logca b>0). 3.由换底公式可得: 1 (1)logab=log a(a>0 且 a≠1,b>0 且 b≠1). b n (2)logambn= m logab(其中 a>0 且 a≠1,b>0)

4.利用换底公式求值: 2 (1)log54· log85= 3 . 1 -3 (2)log436· log6 = . 8

[解析]

lg4 lg5 2 (1)原式= · = . lg5 lg8 3

1 lg8 1 lg36 2lg6 -3lg2 (2)log436· log68= lg4 ×lg6=2lg2× lg6 =-3.

思路方法技巧

1

换底公式的应用

学法指导:关于换底公式的用途和本质: (1) 换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对 数或自然对数,然后查表求值,以此来解决对数求值的问题. (2)换底公式的本质是化为同底,这是解决对数问题的基 本方法.

[例 1]

1 1 1 (1)计算 log2 · log3 · log5 . 25 8 9

(2)若 log34· log48· log8m=log42,求 m 的值. [分析] (1)将底统一成以 10 为底的常用对数;(2)等式左

边前一个对数的真数是后面对数的底数,利用换底公式很容 易进行约分求解 m 的值.

[解析]

1 1 1 lg25 lg8 lg9 (1)原式= lg2 · lg3· lg5

?-2lg5?· ?-3lg2?· ?-2lg3? = =-12. lg2lg3lg5 lg4 lg8 lgm lg2 1 (2)由题意,得lg3· lg4· lg8 =lg4=2, 1 1 ∴lgm=2lg3,即 lgm=lg32, ∴m= 3.

规律总结: 换底公式可将不同底的对数换算为常用对数 或自然对数,是对数运算中非常重要的工具.在运用换底公 式时,若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论如 1 n n n logab=log a;logaa =n,logamb =mlogab;lg2+lg5=1 等, b 将会达到事半功倍的效果.

n (1)求证:logamb =mlogab(a<0 且 a≠1,b>0)
n

(2)log927; (3)log89· log2732.

[分析] 结果

原式

换底公式 对数运算 ――→ 同底数的对数式 ――→ 及常用结论 性质

[解析]

n log b nlogab n a n (1)logamb = = = log b. logaam mlogaa m a

lg27 lg33 3lg3 (2)解法一: (换成以 10 为底): log927= lg9 =lg32=2lg3= 3 2. log327 log333 3log33 解法二: (换成以 3 为底): log927= = = log39 log332 2log33 3 =2.

m 3 3 解法三:(利用 loganb = logab):log927=log323 = log33 n 2
m

3 =2. lg9 lg32 lg32 lg25 2lg3 5lg2 10 (3)log89· log2732=lg8· lg27=lg23· lg33=3lg2· 3lg3= 9 .

[例 2] [分析]

已知 log189=a,18b=5,用 a、b 表示 log3645. 本题是不同底数的对数之间的运算, 解答本题可

先利用换底公式化成同底的对数,然后根据对数的运算法则 求解.

[解析]

解法一:log189=a,18b=5,∴log185=b,

log1845 log18?9×5? log189+log185 ∴log3645=log 36= = log18?18×2? 1+log182 18 a+b = 18=2-a. 1+log18 9 a+b

解法二:∵log189=a,18b=5,∴log185=b, log18?9×5? log189+log185 a+b ∴log3645= 18 =2log1818-log189=2-a. log18 9 解法三:∵log189=a,18b=5,∴lg9=alg18,lg5=blg18. lg9+lg5 lg45 lg?9×5? ∴log3645=lg36= 182 = 2lg18-lg9 lg 9 alg18+blg18 a+b = = . 2lg18-alg18 2-a

设 log83=a,log35=b,试用 a,b 表示 log25.

[解析] b· log833=3ab.

log35 解 法 一 : log25 = = b· log23 = b· log2333 = log32

解法二:因为 lg3=alg8,lg5=blg3, lg5 blg3 lg3 所以 log25=lg2=1 =3blg8=3ab. 3lg8

探索延拓创新

2
[例 3] [分析]

附加条件求值问题
a b

2 1 已知 3 =4 =36,求a+b的值. 2 1 1 1 a b 欲求a+b,需想办法由 3 =4 =36 求出a与b,

有两种办法:一种是直接由对数定义将 3a=4b=36,化成对 数式,另一种是 3a=4b=36 中的各等号两边取对数,可以取 以 6 为底,也可以取常用对数.

[解题流程]

[ 解析 ]

解法一:∵ 3a = 4b = 36 ,∴由对数定义得 a =

log336,b=log436. 1 1 由换底公式,得 =log363, =log364, a b 2 1 ∴a+b=2log363+log364=log369+log364=log3636=1.

解法二:对 3a=4b=36 等号两边取以 6 为底的对数, 得 alog63=blog64=log636,即 alog63=2blog62=2, 2 1 2 1 ∴a=log63,b=log62,∴a+b=log63+log62=log66=1. 解法三:对 3a=4b=36 等号两边取常用对数, 得 alg3=blg4=lg36, 1 lg3 1 lg4 ∴a=lg36,b=lg36,
2 2 1 2lg3 lg4 lg?3 ×4? ∴ + = + = =1. a b lg36 lg36 lg36

基础巩固训练

1 . (2012· 全国高考数学文科试题安徽卷 )log29×log34 = ( ) 1 A. 4 1 B. 2 C.2 D.4

[答案]

D

lg9 lg4 2lg3 2lg2 [解析] log29×log34= × = × =4. lg2 lg2 lg2 lg3

2.log34· log48· log8m=log416,那么 m=( 7 A.2 C.-18 B.9 D.27

)

[答案]

B

3. 给出下列 4 个等式: ①log372=2log37; ②log253=5log23; 2 ③log84=3;④log 24=4.其中正确的等式的个数为( A.1 C.3 B.2 D.4 )

[答案] C

x 4.已知 2 =3 ,则 =( y
x y

)

lg2 A.lg3 2 C.lg3

lg3 B.lg2 3 D.lg2

[答案]

B

[解析]

x ∵2 =3 ,∴log22 =log23 ,∴x=ylog23,∴ = y
x y x y

lg3 log23=lg2.故选 B.

1 5 5.计算 lg -lg +lg12.5-log89· log278 的值等于( 2 8 1 A.3 C.3 5 B.3 2 D.-3

)

[答案]

A

[解析]
-1

1 5 因为 lg -lg +lg12.5-log89· log278 2 8

lg9 lg8 =lg2 -(lg5-lg8)+lg25-lg2-lg8· lg27 2lg3 =-lg2-lg5+3lg2+2lg5-lg2-3lg3 2 2 1 =lg5+lg2- =1- = .故选 A. 3 3 3

6.log23· log
[答案]
[解析]

34=________.

4
log23· log31 22=4log23log32=4.
2

7.已知 logax=2,logbx=3,logcx=6,那么式子 logabcx =________.

[答案]
[解析] ∴logabcx=1.

1
1 1 1 logx(abc)=logxa+logxb+logxc=2+3+6=1,

8.已知 log32=a,3b=5,试用 a、b 表示 log3 30.
[解析] ∴log3 根据题意得:b=log35, 1 1 30= log3(3×10)= (1+log310) 2 2

1 1 =2(1+log32+log35)=2(1+a+b).


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