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完美版圆锥曲线知识点总结

时间:2015-04-01


圆锥曲线的方程与性质 椭圆 1.到两定点 F1,F2 的距离之 和为定值 2a(2a>|F1F2|)的 点的轨迹 2.与定点和直线的距离之 比为定值 e 的点的轨迹. (0<e<1) 点集:({M||MF1+|MF2| =2a,|F 1F2|<2a}. 双曲线 1. 到两定点 F1,F2 的距离之差的 绝对值为定值 2a(0<2a<|F1F2|) 的点的轨迹 2.与定点和直线的距离之比为 定值 e 的点的轨迹.(e>1) 抛物线

定义

与定点和直线的距离相等的 点的轨迹.

轨迹条件

点集:{M||MF1|-|MF2|. =±2a,|F2F2|>2a}.

点集{M| |MF|=点 M 到直 线 l 的距离}.

图形



标准 方程

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b >0) a2 b2

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0) a2 b2

y 2 ? 2 px

程 范围 中心 ─a?x?a,─b?y?b 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) x 轴,y 轴; 长轴长 2a,短轴长 2b |x| ? a,y?R 原点 O(0,0) x?0

顶点

(a,0), (─a,0) x 轴,y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b.

(0,0)

对称轴

x轴

焦点

F1(c,0), F2(─c,0)

F1(c,0), F2(─c,0)

p F ( ,0) 2 p 2

x=± 准 线

a2 c

x=±

a2 c

x=-

准线垂直于长轴,且在椭圆 外. 焦距 2c (c= a 2 ? b 2 )

准线垂直于实轴, 且在两顶点的 内侧. 2c (c= a 2 ? b 2 )

准线与焦点位于顶点两侧, 且到顶点的距离相等.

离心率

e?

c (0 ? e ? 1) a

e?

c (e ? 1) a

e=1

1

椭圆:

x0 x y0 y x2 y 2 ? 2 ? 1. 1. 若 P 0 的椭圆的切线方程是 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 上,则过 P a2 b a b
2. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 外,则过 P0 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 a 2 b2

x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b
3. 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点 ?F1PF2 ? ? ,则椭圆的焦点角形的 a 2 b2
2

面积为 S ?F1PF2 ? b tan 4. 椭圆

?
2

.

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的焦半径公式 | MF1 |? a ? ex0 , | MF2 |? a ? ex0 ( F1 (?c,0) , F2 (c,0) M ( x0 , y0 ) ). a 2 b2

5. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭 圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 6. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 7. AB 是椭圆 双曲线: 1.等轴双曲线:双曲线 x 2 ? y 2 ? ?a 2 称为等轴双曲线,其渐近线方程为 y ? ? x ,离心率 e ? 2 . 2.共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线.
x2 y2 x2 y2 ? ? 0. 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线: ? ? ? ? a2 b2 a2 b2

b 2 x0 x2 y 2 b2 ? ? 1 k ? k ? ? 的不平行于对称轴的弦, M 为 AB 的中点,则 ,即 。 ( x , y ) K ? ? OM AB 0 0 AB a 2 b2 a2 a 2 y0

x2 y2 ? ?? 与 a2 b2

3.共渐近线的双曲线系方程: 双曲线方程可设为 抛物线:
x a
2 2

x2 a
2

?

y2 b
2

? ? (? ? 0) 的渐近线方程为

x2 a
2

?

y2 b
2

? 0 如果双曲线的渐近线为

x y ? ? 0 时,它的 a b

?

y

2

b2

? ? ( ? ? 0) .

2 1.抛物线 y =2px(p>0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F 的距离 MF ? x0 ?

p 2 ; 抛物线 y =-2px(p>0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F 2

的距离 MF ?

p ? x0 2
2

2.设抛物线的标准方程为 y =2px(p>0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为 距离为 p.

p p ,顶点到准线的距离 ,焦点到准线的 2 2

3.已知过抛物线 y =2px(p>0)焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,则线段 AB 称为焦点弦,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则弦 长 AB = x1 ? x2 +p 或 AB ? 径).
2

2

2p p2 p 2 x x ? , AF ? x1 ? ( AF 叫做焦半 ( α 为直线 AB 的倾斜角 ) , , y y ? ? p 1 2 1 2 2 sin ? 4 2


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