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历年高考数学试题(圆锥曲线)

时间:2013-09-20


圆锥曲线
一、选择题,在每小题给出的四个选择项只有一项是符合题目要求的。

x2 y 2 1.设 P 椭圆 ? ? 1 上的点.若 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,则 | PF1 | ? | PF2 | 等于( 25 16
A.4 2.设椭圆 的距离为( B.5 C.8 D.10



x2 y2 ? 2 ? 1?m ? 1? 上一点 P 到其左焦点的距离为 3,到右焦点的距离为 1,则 P 点到右准线 m2 m ?1


A.6

B.2

C.

1 2

D.

2 7 7

3.设椭圆 C1 的离心率为

5 ,焦点在 X 轴上且长轴长为 26,若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的 13
) (C)

差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为( (A)

x2 y2 ? ?1 4 2 32

(B)

x2 y2 ? 2 ?1 13 2 5

x2 y2 ? ?1 32 4 2

(D)

x2 y2 ? 2 ?1 13 2 12

4.已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a>b>0) 的离心率为 ,过右焦点 F 且斜率为 k (k>0) 的直线与 C 相交于 2 2 a b
) (C) 3 (D)2 )

??? ? ??? ? A、B 两点.若 AF ? 3FB ,则 k ? (
(A)1 (B) 2

5.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( A.
4 5

B.

3 5

C.

2 5

D.

1 5

6.椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? ?) 的右焦点 F ,其右准线与 x 轴的交点为 A,在椭圆上存在点 P 满足线段 AP a 2 b2
) (D) ? ,1? ? ?
1 ?2 ?

的垂直平分线过点 F ,则椭圆离心率的取值范围是( (A) ? 0, ?
? ? 2? ? 2 ?

1 (B) ? 0, ? ? ? ? 2?

(C) ? 2 ?1,1? ?

7.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,右顶点为 A ,点 B 在椭圆上,且 BF ? x 轴,直线 AB a 2 b2

交 y 轴于点 P .若 AP ? 2 PB ,则椭圆的离心率是(

??? ?

??? ?



w.w.w.k.s.5.u. c.o.m

1

A.

3 2

B.

2 2

C.

1 3

D.

1 2

8.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点.满足 MF1 ? MF2 =0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围 是( )

A.(0,1)

B.(0,

1 ] 2

C.(0,
2

2 ) 2

D.[

2 ,1) 2
? ?

9.若点 O 和点 F 分别为椭圆 为( A.2 ) B.3 C.6

x

2

4

?

y

3

? 1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上点的任意一点,则 OP? FP 的最大值

D.8

??? ? ??? ? x2 10.已知椭圆 C : ? y 2 ? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,点 A ? l ,线段 AF 交 C 于点 B ,若 FA ? 3FB , 2
则 | AF | =( (A). 2

???? ?

) (B).2 (C). 3 (D).3

11.设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 关于原点对称的直线为 l ? ,若 l ? 与椭圆 x ?
2

y2 ,点 ? 1 的交点为 A、B、 P 为椭 4

圆上的动点,则使 ?PAB 的面积为 (A)1 12.设椭圆

1 的点 P 的个数为( 2

) (D)4

(B)2

(C)3

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? ,右焦点为 F (c, ,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两个实根 0) 2 a b 2

2 2

分别为 x1 和 x2 ,则点 P( x1,x2 ) ( A.必在圆 x ? y ? 2 上
2 2

B.必在圆 x ? y ? 2 外 D.以上三种情形都有可能

C.必在圆 x ? y ? 2 内
2 2

13.如图所示, “嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道 I 绕月飞行,之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行, 最终卫星在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用 2c1 和 2c2 分别表示椭圆轨道 I 和Ⅱ的 焦距, 2a1 和 2a2 分别表示椭圆轨道 I 和Ⅱ的长轴的长, 用 给出下列式子: a1 ? c1 ? a2 ? c2 ; ② a1 ? c1 ? a2 ? c2 ; ①

2

③ c1a2 ? a1c2 ; ④ A.①③

c1 c2 ? . 其中正确式子的序号是( a1 a2
B.②③



C.①④

D.②④

14. 15.双曲线 2 x ? y ? 8 的实轴长是(
2 2

) (D) 4 2 )

(A)2

(B) 2 2

(C)4

16.设双曲线 A.4

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则 a 的值为( a2 9
C.2 D.1

B.3

x2 y 2 2 17.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y= 3x ,它的一个焦点在抛物线 y ? 24 x 的 a b
准线上,则双曲线的方程为( (A) )

x2 y 2 ? ?1 36 108

(B)

x2 y2 ? ?1 9 27

(C)

x2 y 2 ? ?1 108 36

(D)

x2 y 2 ? ?1 27 9

18.已知双曲线 E 的中心为原点, F (3,0) 是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点 为 N (?12, ?15) ,则 E 的方程为( )

(A)

x2 y 2 ? ?1 3 6

(B)

x2 y 2 ? ?1 4 5

(C)

x2 y 2 ? ?1 6 3

(D)

x2 y 2 ? ?1 5 4

19.设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点, AB 为 C 的实轴长 的 2 倍,则 C 的离心率为( (A) 2 ) (C)2 (D)3

(B) 3

3

20.已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左顶点与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点的距离为 4,且双曲 2 a b


线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点坐标为(-2,-1) ,则双曲线的焦距为( A. 2 3 B. 2 5 C. 4 3 D. 4 5

21.设双曲线的左准线与两条渐近线交于 A, B 两点,左焦点在以 AB 为直径的圆内,则该双曲线的离心率 的取值范围为( A. (0, 2) ) B. (1, 2) C. (
2

2 ,1) 2

D. ( 2 , ?? )

22.已知 F 1、F 2 为双曲线 C: 2 ? y ? 1 的左、右焦点,点 p 在 C 上, ? F 1 P F 2 ? 600 ,则 P 到 x 轴的距离 x 为( ) (A)
3 2

(B)

6 2

(C) 3

(D) 6

23.若点 O 和点 F(-2,0)分别为双曲线
? ?

x2 ? y 2 ? 1(a>0)的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任意 2 a

一点,则 OP? FP 的取值范围为( A.[3- 2 3 , ?? )



B.[3+ 2 3 , ?? ) C.[ ?

7 7 , ?? ) D.[ , ?? ) 4 4

24.设双曲线的—个焦点为 F;虚轴的—个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双 曲线的离心率为( ) (A)

2

(B) 3

(C)

3 ?1 2

(D)

5 ?1 2

25.设 F1,F2 分别为双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点。若在双曲线右支上存在点 P,满足 a2 b2


| PF2 |?| F1 F2 | ,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲的渐近线方程为(
(A) 3x ? 4 y ? 0 (B) 3x ? 5 y ? 0
2 2

(C) 4 x ? 3 y ? 0

(D) 5 x ? 4 y ? 0
0

| 26. 已知 F1 、F2 为双曲线 C: x ? y ? 1的左、 右焦点, P 在 C 上, F1 P F2 = 60 , | PF1 |? PF2 |? 点 ∠ 则 (
(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8 27.中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2) ,则它的离心率为( (A) 6 (B) 5 (C) )



6 2

(D)

5 2

28.设 O 为坐标原点,F1,F2 是双曲线

x2 y2 - 2 =1(a>0,b>0)的焦点,若在双曲线上存在点 P,满足 a2 b
4

∠F1P F2=60°, OP = 7 a, 则该双曲线的渐近线方程为( (A)x± 3 y=0 (B) 3 x±y=0 (C) x± 2 y=0 )

) (D) 2 x±y=0

29.下列曲线中离心率为 6 的是(
2

(A)

x2 y 2 ? ?1 2 4

(B)

x2 y 2 ? ?1 4 2

2 2 (C) x ? y ? 1

4

6

2 2 (D) x ? y ? 1

4

10

30.已知双曲线 充要条件是( A. K ? ? ? )

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 的准线过椭圆 ? 2 ? 1 的焦点,则直线 y ? kx ? 2 与椭圆至多有一个交点的 2 2 4 b
? ? ? ? 2? ? 2 , ?? ? ??? ? 2 ? ? 2 ?

? 2 2? 1? ?1 ? 1 1? ? ? , , ? B. K ? ? ??, ? ? ? ? , ?? ? C. K ? ? ? ? 2? ?2 ? 2 2? ? ? ? 2 2 ?

D. K ? ? ??, ?

x2 y 2 31. 已知双曲线 C: 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点为 F ,过 F 且斜率为 3 的直线交 C 于 A、B 两点, 若 a b
AF ? 4 FB ,则 C 的离心率为(
A. ) C.

6 5

B.

7 5

5 8

D.

9 5

32. 过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交 a 2 b2

点分别为 B, C .若 AB ? A. 2

??? ?

? 1 ??? BC ,则双曲线的离心率是( 2
B. 3 C. 5

)

w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

D. 10

33.若双曲线 A.2

x2 y 2 ? ? 1? a ? o ? 的离心率为 2,则 a 等于( a 2 32
C.



B. 3

3 2

D.1

34.已知双曲线

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 的准线经过椭圆 ? 2 ? 1 (b>0)的焦点,则 b=( ) 2 2 4 b
C. 3 D. 2

A.3

B. 5

35.设双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则双曲线的渐近线方程为( ) a2 b2
B y ? ?2 x C y??

A. y ? ? 2 x

2 x 2

Dy??

1 x 2

5

36.设 a ? 1 ,则双曲线

x2 y2 ? ? 1 的离心率 e 的取值范围是( a 2 (a ? 1) 2
C. (2, 5) D. (2,5)
?



A. ( 2, 2)

B. ( 2,5)

37.设 △ABC 是等腰三角形, ?ABC ? 120 ,则以 A,B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率为(



A.

1? 2 2

B.

1? 3 2

C. 1? 2

D. 1? 3

38.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a>0,b>0)的一条渐近线为 y=kx(k>0),离心率 e= 5k ,则双曲线方程为( ) a 2 b2
(B)

(A)

x2 y2 - =1 a 2 4a 2

x2 y 2 ? ?1 a 2 5a 2

(C)

x2 y 2 ? ?1 4b 2 b 2

(D)

x2 y 2 ? ?1 5b 2 b 2


x2 y2 39.若双曲线 2 ? 2 ? 1 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3:2,则双曲线的离心率是( a b
(A)3 40.双曲线
x2 a2

(B)5
? y2 b2

(C) 3

(D) 5

? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心

率的取值范围为( A.(1,3)

) C.(3,+ ? ) D. ?3, ?? ?

B. ?1, 3?

x2 y2 3a 41.若双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上横坐标为 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双 a b 2
曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2) B.(2,+ ? ) C.(1,5) 42.双曲线 D.(5,+ ? )

x2 y2 ? ? 1( a ? 0 , b ? 0 )的左、右焦点分别是 F1,F2 ,过 F1 作倾斜角为 30? 的直线交双曲 a 2 b2


线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为(

A. 6

B. 3

C. 2

D.

3 3

43.若点 P(2,0) 到双曲线

x2 y2 ? ? 1 的一条渐近线的距离为 2 ,则双曲线的离心率为( ) a 2 b2
(C) 2 2 (D) 2 3 )

(A) 2

(B) 3

x 2 16 y 2 ? 2 ? 1 的左焦点在抛物线 y2=2px 的准线上,则 p 的值为( 44.若双曲线 3 p
6

(A)2

(B)3

(C)4

(D)4 2

45.若双曲线

x2 a2

?

y2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右支上存在一点,它到右焦点及左准线的距离相等,则双曲线离 b2
) B. [ 2, ??) C. (1, 2 ? 1] D. [ 2 ? 1, ??)

心率的取值范围是( A. (1, 2] 46.已知双曲线 C : 面积为( A.24 )

x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1、F2 , P 为 C 的右支上一点,且 | PF2 |?| F1 F2 | ,则 ?PF1 F2 的 9 16

B.36

C.48

D.96

73.P 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右支上一点,M、N 分别是圆 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 4 和 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 1 上的点, 9 16
D.9

则|PM|-|PN|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8
2

2. 将两个顶点在抛物线 y ? 2 px? p ? 0? 上, 另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为 n , ( ) 则 A. n ? 0 B. n ? 1 C. n ? 2 D. n ? 3

4.设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 r 上存在点 P 满足 PF1 : F1 F2 : PF2 =4:3:2,则曲线 r 的 离心率等于( A. 或 ) B.
2 2

1 2

3 2

2 或2 3

C.

1 或2 2

D. 或

2 3

3 2

6.若曲线 C1:x ? y ? 2 x ? 0 与曲线 C2:y ( y ? mx ? m) ? 0 有四个不同的交点,则实数 m 的取值范围是 ( ) A. (?

3 3 , ) 3 3

B. (?

3 3 ,0) ? (0, ) 3 3

C. [?

3 3 , ] 3 3

D. (??,?

3 3 ) ? ( ,??) 3 3

7.如右图,一个直径为 1 的小圆沿着直径为 2 的大圆内壁的逆时针方向滚动,M 和 N 是小圆的一条固定直 径的两个端点.那么,当小圆这样滚过大圆内壁的一周,点 M,N 在大圆内所绘出的图形大致是( )

答案:A 解析:根据小圆与大圆半径 1:2 的关系,找上下左右四个点,根据这四个点的位置,小圆转半圈,刚好是 大圆的四分之一,因此 M 点的轨迹是个大圆,而 N 点的轨迹是四条线,刚好是 M 产生的大圆的半径。
7

8.已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点, AF ? BF =3 ,则线段 AB 的中点到 y 轴的 距离为( A. ) B.1 C.
2

3 4

5 4

D.

7 4


9.已知抛物线 C: y ? 4 x 的焦点为 F,直线 y ? 2 x ? 4 与 C 交于 A,B 两点.则 cos ?AFB =( (A)

10.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? ?2 ,则抛物线的方程是 (A) y ? ?8 x
2

4 5

(B)

3 5

(C) ?

3 5

(D) ?

4 5

( )

(B) y ? 8 x
2

(C) y ? ?4 x
2

(D) y ? 4 x
2

11.在抛物线 y ? x2 ? ax ? 5(a ? 0) 上取横坐标为 x1 ? ?4 , x ? 2 的两点,过这两点引一条割线,有平行于
2

该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5 x ? 5 y ? 36 相切,则抛物线顶点的坐标为(
2 2



(A) (?2, ?9)

(B) (0, ?5)

(C) (2, ?9)

(D) (1, ?6)

13 知椭圆 C1 :

x2 y 2 y2 ? 2 ? 1(a>b>0) 与双曲线 C1 : x 2 ? ? 1 有公共的焦点, C1 的一条渐近线与以 C1 的长 a2 b 4

轴为直径的圆相交于 A, B 两点,若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则( ) A. a 2 ?

13 2

B. a 2 ? 13

C. b 2 ?

1 2

D. b2 ? 2

14. 15.设圆 C 与圆 x2+(y-3)2=1 外切,与直线 y =0 相切,则 C 的圆心轨迹为( A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆 )

16.已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直。l 与 C 交于 A,B 两点, AB =12,P 为 C 的准线上 一点,则 ? ABP 的面积为( ) (A)18 (B)24

(C)36

(D)48

2 17.设 M( x0 , y0 )为抛物线 C: x ? 8 y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心、 FM 为半径的圆

和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是( A. (0,2) B.[0,2] (2,+∞)

) D.[2,+∞)

21.已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为俩切点,那么 PA ? PB 的最小值为( (A) ?4 ? 2
2

??? ??? ? ?



(B) ?3 ? 2

(C) ?4 ? 2 2

(D) ?3 ? 2 2

22.以抛物线 y =4x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 A.x +y +2x=0 B.x +y +x=0 C.x +y -x=0 D.x +y -2x=0
8

24.若直线 y=x+b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 有公共点,则 b 的取值范围是( )
2

A. ? ?1,1 ? 2 2 ?

?

?

B. ?1 ? 2 2,1 ? 2 2 ?

?

?

C. ?1 ? 2 2, 3?

?

?

D. ?1 ? 2,3 ?

?

?


25.直线 y ? kx ? 3 与圆 ? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 4 相交于 M,N 两点,若 MN ? 2 3 ,则 k 的取值范围是(
2 2

? 3 ? 0 ? ? ,? A. ? 4 ?

3? ? ? ? ? ??, 4 ? ? ? 0, ? ? ? B. ?

? 3 3? , ? ?? ? 3 3 ? C.

? 2 ? 0 ? ? ,? D. ? 3 ?

26.设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足.如果直线 AF 的斜率为 - 3 ,那 么|PF|=( (A) 4 3 ) (B)8
2

(C) 8 3

(D)16
2 2

29.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的准线与圆 x ? y ? 6 x ? 7 ? 0 相切,则 p 的值为( A.



1 2

B.1

C.2

D.4 )

36.设抛物线 y2=8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线的焦点的距离是( A.4 B.6 C.8 D.12
2

38.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) ,过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A, B 两点,若线段 AB 的中点 的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( ) (A) x ? 1 (B) x ? ?1 (C) x ? 2 (D) x ? ?2
2

42. P 在直线 l : y ? x ? 1 上,若存在过 P 的直线交抛物线 y ? x 于 A, B 两点, | PA ?| AB | ,则称点 P 点 且 为“ 点” ,那么下列结论中正确的是( 点” 点” ”点 点” )

A.直线 l 上的所有点都是“ B.直线 l 上仅有有限个点是“ C.直线上所有的点都不是“

D.直线 l 上有无穷多个点(但不是所有的点)是“

2 45 . 已 知 直 线 y ? k ? x ? 2 ?? k ? 0 ? 与 抛 物 线 C : y ? 8 x 相 交 于 A、B 两 点 , F 为 C 的 焦 点 , 若

| F A |? 2 | F B,则 k ? ( ) |

A.

1 3

B.

2 3

C.

2 3

D.

2 2 3

2 47.设抛物线 y ? 2 x 的焦点为 F,过点 M( 3 ,0)的直线与抛物线相交于 A,B 两点,与抛物线的准线相

9

交于 C, BF =2,则 ? BCF 与 ? ACF 的面积之比

S ?BCF =( S ?ACF



(A)

4 5

(B)

2 3

(C)

4 7

(D)

1 2


59.若点 P 到直线 x ? ?1 的距离比它到点 (2, 的距离小 1,则点 P 的轨迹为( 0) A.圆 B.椭圆 C.双曲线
2

D.抛物线

62.已知点 P 是抛物线 y ? 2 x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和 的最小值为( A. ) B. 3 C. 5 D.

17 2

9 2
2 AF , ?AFK 则

2 64. 已知抛物线 C : y ? 8 x 的焦点为 F , 准线与 x 轴的交点为 K , A 在 C 上且 AK ? 点

的面积为( ) (A) 4

(B) 8
2

(C) 16

(D) 32

, , 71.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 P ( x1 y1) P2 ( x, y2) , P ( x3,y3 ) 在抛物线上,且 1 2 3 2x2 ? x1 ? x3 , 则有(
A. FP ? FP2 ? FP 1 3 C. 2 FP2 ? FP ? FP 1 3 ) B. FP ? FP2 1
2 2

? FP3

2

D. FP2

2

? FP· FP3 1


76.已知定点 A、B 且|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是(

1 A. 2

3 B. 2

7 C. 2

D.5

77.已知两定点 A ? ?2, 0 ? , B ?1, 0 ? ,如果动点 P 满足 PA ? 2 PB ,则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于 ( ) (A) ? (B) 4?
2

(C) 8?

(D) 9?

78. 直线 y ? x ? 3 与抛物线 y ? 4 x 交于 A, B 两点, A, B 两点向抛物线的准线作垂线, 过 垂足分别为 P, Q , 则梯形 APQB 的面积为( (A)48 二、填空题 ) (B)56 (C)64 (D)72

79.已知 F1、F2 为椭圆 |AB|= 80.过椭圆 。

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点若|F2A|+|F2B|=12,则 25 9

x2 y2 ? ? 1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A、B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 5 4
10

的面积为______________

81.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 的离心率是 3 。则 n = n 12 ? n
2

82.已知抛物线 y ? ax ? 1 的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积 为 .

x2 y 2 83.过双曲线 ? ? 1 的右顶点为 A,右焦点为 F。过点 F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于 9 16
点 B,则△AFB 的面积为______________ 84.已知椭圆

x2 y 2 5 . 过顶点 A(0,b)作 AM ? l,垂 ? 2 ? 1(a>b>0)的右焦点为 F,右准线为 l,离心率 e= 2 5 a b

足为 M,则直线 FM 的斜率等于 。. 2 85.过抛物线 x =2py(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 30°的直线,与抛物线分别交于 A、B 两点(点 A 在 y 轴左侧), 则

AF = FB



2 86. 已知 F 是抛物线 C:y ? 4 x 的焦点, F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A,B 两点. FA ? FB , FA 过 设 则

与 FB 的比值等于



87.已知 F、F2 是椭圆 C : 1

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点, p 为椭圆 C 上的一点,且 PF1 ? PF2 。若 a 2 b2
.

?PF1 F2 的面积为 9,则 b ?

2 88.已知抛物线 C : y ? 2 px( p>0) 的准线为 l ,过 M (1,0) 且斜率为 3 的直线与 l 相交于点 A ,与 C 的一

个交点为 B .若 AM ? MB ,则 p ?

???? ?

????



89.过双曲线 C:

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的一个焦点作圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的两条切线,切点分别为 A.B,若 a 2 b2


,则双曲线线 C 的离心率为 ?AOB ? 120? (O 是坐标原点)

90. 已知抛物线 C 的顶点坐标为原点, 焦点在 x 轴上, 直线 y=x 与抛物线 C 交于 A, 两点, P ? 2, 2 ? 为 AB B 若 的中点,则抛物线 C 的方程为 91. 已知双曲线 。

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1 (?c, 0), F2 (c, 0) , 若双曲线上存在一点 P 使 a 2 b2


sin PF1 F2 a ? ,则该双曲线的离心率的取值范围是 sin PF2 F1 c

11

92.椭圆 为 .

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 | PF1 |? 4 ,则 | PF2 |? 9 2

; ?F1 PF2 的大小

93.已知 F 是双曲线 为 。

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点, A(1, 4), P 是双曲线右支上的动点,则 PF ? PA 的最小值 4 12

94.已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中有一个内角为 60 ,则双曲线 C 的离心 率 。 95.过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为 45 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的长为 8,
2

?

?

则 p ? ______。 96.巳知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 为 12,则椭圆 G 的方程为 . 。

3 ,且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和 2

2 97.已知过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A 、 B 两点, AF ? 2 ,则 BF ? _

98. 已知双曲线

x2 y 2 2 它的一个焦点与抛物线 y ? 16 x 的 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y ? 3 x , 2 a b


焦点相同。则双曲线的方程为 99.点 A( x0 , y0 ) 在双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右支上,若点 A 到右焦点的距离等于 2x0 ,则 x0 ? 4 32



100.已知椭圆 c : 围为_______,直线
2

x2 x2 2 ? y 2 ? 1 的两焦点为 F1 , F2 ,点 P( x0 , y0 ) 满足 0 ? 0 ? y0 ? 1 ,则| PF1 |+ PF2 |的取值范 2 2

x0 x ? y0 y ? 1 与椭圆 C 的公共点个数_____。 2

101.抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,点 A(0,2) 。若线段 FA 的中点 B 在抛物线上,则 B 到该抛物线 准线的距离为 。

2 102.已知 F 为焦点的抛物线 y ? 4 x 上的两点 A、B 满足 AF ? 3FB ,则弦 AB 的中点到准线的距离为

_______. 103.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x ? y ? 4 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实
2 2

数 c 的取值范围是________ 104.已知双曲线 为

x2 y2 x2 y 2 ? 1 的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标 ? 2 ? 1 的离心率为 2,焦点与椭圆 ? 25 9 a2 b

2 2

;渐近线方程为

?? 105.直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 与圆 x ? y ? 8 相交于 A、B 两点,则?AB ________.
12

106.动点 P 到点 F (2,0) 的距离与它到直线 x ? 2 ? 0 的距离相等,则 P 的轨迹方程为 107.圆 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 的圆心到直线 l: 3x ? 4 y ? 4 ? 0 的距离 d ?
2 2

。 。

108.若椭圆

x2 y2 1 ? 2 ? 1 的焦点在 x 轴上,过点 (1, ) 作圆 x 2 ? y 2 ? 1 的切线,切点分别为 A,B,直线 AB 2 a b 2
. .
2 2

恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是

y x 109. 已知点 (2, 在双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上, 的焦距为 4, 3) C 则它的离心率为 a b
110.已知 F1、F2 分别为双曲线 C: 的平分线.则|AF2| = .

x2 y2 =1 的左、右焦点,点 A∈C,点 M 的坐标为(2,0),AM 为∠F1AF2 9 27

111.设 m 为常数,若点 F (0,5) 是双曲线

y 2 x2 ? ? 1 的一个焦点,则 m ? m 9



112.双曲线

x 2 y2 ? =1上一点P到双曲线右焦点的距离是4,那么点 P 到左准线的距离是 64 36

.

113.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心率为

2 。过 F 1 的直线 2

l 交 C 于 A, B 两点,且 ? ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为



???? ???? ? x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点,点 A, B 在椭圆上,若 F1 A ? 5F2 B ;则点 A 的坐标 114.设 F1 , F2 分别为椭圆 3
是 . 115.设圆 C 位于抛物线 y ? 2 x 与直线 x=3 所围成的封闭区域(包含边界)内,则椭圆半径能取到的最大
2

值____。

uu r uur F 是椭圆 C 的一个焦点, B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D ,且 BF ? 2FD , 116.已知
则 C 的离心率为 .

x2 y 2 x 2 y2 ? =1 有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离 117.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0) 和椭圆 a b 16 9
心率的两倍,则双曲线的方程为
2 2



118.过原点的直线与圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 相交所得弦的长为 2,则该直线的方程为 119.如图,直角坐标系 xOy 所在的平面为 ? ,直角坐标系 x Oy (其中 y 轴一与 y 轴
' ' '

重合)所在的平面为 ? , ?xOx ? 45? 。
'

13

(Ⅰ)已知平面 ? 内有一点 P (2 2, 2) ,则点 P ' 在平面 ? 内的射影 P 的坐标为
' ' 2 '2



(Ⅱ)已知平面 ? 内的曲线 C ' 的方程是 ( x ? 2) ? 2 y ? 2 ? 0 ,则曲线 C ' 在平面 ? 内的射影 C 的方程 是 。 120.曲线 C 是平面内与两个定点 F1(-1,0)和 F?2(1,0)的距离的积等于常数 a (a ? 1) 的点的轨迹.给
2

出下列三个结论: ①曲线 C 过坐标原点; ②曲线 C 关于坐标原点对称; ③若点 P 在曲线 C 上,则△ F 1 PF 2 的面积大于 其中,所有正确结论的序号是
2

1 2 a 。 2



121.过抛物线 x ? 2 py ( p>0) 的焦点作斜率为 1 的直线与该抛物线交于 A, B 两点, A, B 在 x 轴上的正射 影分别为 D, C .若梯形 ABCD 的面积为 12 2 ,则 p ? 122.以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数, | PA | ? | PB |? k ,则动点 P 的轨迹为双曲线; ②过定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB,O 为坐标原点,若 OP ? .

1 (OA ? OB), 则动点 P 的轨迹为椭圆; 2

③方程 2 x 2 ? 5x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;

④双曲线

x2 y2 x2 ? ? 1与椭圆 ? y 2 ? 1 有相同的焦点. 25 9 35
(写出所有真命题的序号)

其中真命题的序号为 三、解答题

123. (2011 年广东文)设圆 C 与两圆 ( x ? 5) ? y ? 4, ( x ? 5) ? y ? 4 中的一个内切,另一个外切。
2 2 2 2

(1)求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程; (2)已知点 M (

3 5 4 5 , ), F ( 5, 0) ,且 P 为 L 上动点,求 MP ? FP 的最大值及此时点 P 的坐标. 5 5

14

124. (2011 年上海文)已知椭圆 C : 的坐标为 (2, 0) 。

x2 ,点 ? y 2 ? 1(常数 m ? 1) P 是 C 上的动点, M 是右顶点,定点 A 2 m

⑴若 M 与 A 重合,求 C 的焦点坐标; ⑵若 m ? 3 ,求 | PA | 的最大值与最小值; ⑶若 | PA | 的最小值为 | MA | ,求 m 的取值范围。

125. (2011 年安徽理) ? ? 0 , A 的坐标为 设 点 (1,1) 点 B 在抛物线 y ? x 上运动, Q 满足 BQ ? ? QA , , 点
2

经过点 Q 与 x 轴垂直的直线交抛物线于点 M,点 P 满足 QM ? ? MP ,求点 P 的轨迹方程。

15

126. (2011.北京理)已知椭圆 G :

x2 ? y 2 ? 1 .过点(m,0)作圆 x 2 ? y 2 ? 1的切线 I 交椭圆 G 于 A,B 两点. 4

(I)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (II)将 AB 表示为 m 的函数,并求 AB 的最大值.

127.已知直线 l:y=x+m,m∈R。 (I)若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切与点 P,且点 P 在 y 轴上,求该圆的方程; (II)若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l ? ,问直线 l ? 与抛物线 C:x2=4y 是否相切?说明理由。

16

128.(2011.湖北理)平面内与两定点 A1(?a,0) , A2(a, 0) (a ? 0) 连续的斜 2 率之积等于非零常数 m 的点的 轨迹,加上 A1 、 A2 两点所成的曲线 C 可以是圆、椭圆成双曲线. (Ⅰ)求曲线 C 的方程,并讨论 C 的形状与 m 值得关系; (Ⅱ)当 m ? ?1 时,对应的曲线为 C1 ;对给定的 m ? ??1,0? ? ?0,??? ,对应的曲线为 C2 ,设 F1 、 F2 是 C2 的 两个焦点。试问:在 C1 上是否存在点 N ,使得 ? F 1 N F 2 的面积 S ? m 存在,请说明理由。
2 a 。若存在,求 tan F 1 N F 2 的值;若不

129. (2011.湖南)如图 7,椭圆 C1 : 得的线段长等于 C1 的长半轴长。 (Ⅰ)求 C1 , C2 的方程;

x2 y 2 3 x 2 , 轴被曲线 C2 : y ? x ? b 截 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

(Ⅱ) C2 与 y 轴的交点为 M, 设 过坐标原点 O 的直线 l 与 C2 相交于点 A,B,直线 MA,MB 分别与 C1 相交与 D,E. (i)证明: MD ? ME ; (ii)记△MAB,△MDE 的面积分别是 S1 , S 2 .问:是否存在直线 l ,使得

S1 17 = ?请说明理由。 S 2 32

17

2 y 130.(2011?江西理)P(x0,y0) 0≠±a)是双曲线 E: x 2 ? 2 (x a b

2

? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点,M,N 分别是双曲

1 线 E 的左右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为 . 5

(1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标原点,C 为双曲线上一点, 满足 OC ? ? OA? OB ,求 λ 的值.
? ? ?

131. (2011 年天津理)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P( a, b) (a ? b ? 0) 为动点, F1 , F2 分别为椭圆

x y2 ? 2 ? 1的左右焦点.已知△ F1 PF2 为等腰三角形. a2 b (Ⅰ)求椭圆的离心率 e ; ???? ???? ? ? (Ⅱ)设直线 PF2 与椭圆相交于 A, B 两点, M 是直线 PF2 上的点,满足 AM ? BM ? ?2 ,求点 M 的轨迹
方程.

2

18

132. (2011 年全国理新课标)在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y=-3 上,M 点满足
MB // OA , MA? AB ? MB ? BA , M 点的轨迹为曲线 C。

(Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点, l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值。

133.(2011 浙江文)已知抛物线 C1:x2=y,圆 C2:x2+(y-4)2=1 的圆心为点 M。 (Ⅰ)求点 M 到抛物线 C1 的准线的距离; (Ⅱ)已知点 P 是抛物线 C1 上一点(异于原点),过点 P 作圆 C2 的两条切线,交抛物线 C1 于 A,B 两点, 若过 M,P 两点的直线 l 垂直于 AB,求直线 l 的方程.

19

134. (2011 年重庆文)如题(20)图,椭圆的中心为原点 O ,离心率 e ? (Ⅰ)求该椭圆的标准方程;

? ,一条准线的方程为 x ? ? ? ?

(Ⅱ)设动点 P 满足: OP ? OM ? ?ON ,其中 M , N 是椭圆上的点,直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ? 问:是否存在两个定点 F? , F? ,使得 PF? ? PF? 为定值?若存在,求 F? , F? 的坐标;若不存在,说明理由.

uur u

uuur

uuu r

? , ?

135.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于 4 2

P、A 两点,其中 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C,连接 AC,并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜 率为 k。 (1)当直线 PA 平分线段 MN ,求 k 的值; (2)当 k ? 2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d ; (3)对任意 k ? 0 ,求证: PA ? PB 。 y

P B M A N C x

20

136. (2011 年安徽文)设直线 l1 : y ? k1 x ? 1, l 2 : y ? k 2 x ? 1, 其中实数k1 , k 2 满足k1k 2 ? 2 ? 0. (I)证明 l1 与 l 2 相交; (II)证明 l1 与 l 2 的交点在椭圆 2x +y =1上.
2 2

137. (2011 北京文)已知椭圆 G :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦点为( 2 2 ,0) ,斜率为 I 2 3 a b

的直线 l 与椭圆 G 交与 A、B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (I)求椭圆 G 的方程; (II)求 ?PAB 的面积.

138. (2011.福建文)如图,直线 l :y=x+b 与抛物线 C:x2=4y 相切于点 A。 (1)求实数 b 的值; (2)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程.

21

139. (2011 年广东文)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l : x ? ?2 交 x 轴于点 A,设 P 是 l 上一点,M 是线 段 OP 的垂直平分线上一点,且满足 ∠MPO=∠AOP (1)当点 P 在 l 上运动时,求点 M 的轨迹 E 的方程; (2)已知 T(1,-1) ,设 H 是 E 上动点,求 HO + HT 的最小值,并给出此时点 H 的坐标; (3)过点 T(1,-1)且不平行与 y 轴的直线 l1 与轨迹 E 有且只有两个不同的交点,求直线 l1 的斜率 k 的取 值范围。

140. (2011.湖南文)已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1. (I)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (II)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1 , l2 ,设 l1 与轨迹 C 相交于点 A, B , l 2 与轨迹 C 相交于点

D, E ,求 AD? EB 的最小值.

?

?

22

141.(2011?江西)已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,斜率为 B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9。 (1)求该抛物线的方程;
? ? ?

的直线交抛物线于 A(x1,y1)和

(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若 OC ? OA? ? OB ,求 λ 的值.

142.(2011 年辽宁)如图,已知椭圆 C1 的中心在原点 O,长轴左、右端点 M,N 在 x 轴上.椭圆 C2 的 短轴为 MN,且 C1,C2 的离心率都为 e.直线 l⊥MN.l 与 C1 交于两点,与 C2 交于两点,这四点按纵坐标从大 到小依次为 A、B、C、D. (Ⅰ)e= ,求|BC|与|AD|的比值; (Ⅱ)当 e 变化时,是否存在直线 l,使得 BO∥AN,并说明理由.

23

143. (2011 年全国理)已知 O 为坐标原点,F 为椭圆 C : x ?
2

y2 ? 1 在 y 轴正半轴上的焦点,过 F 且斜率为 2

??? ??? ??? ? ? ? - 2 的直线 l 与 C 交与 A、B 两点,点 P 满足 OA ? OB ? OP ? 0.
(Ⅰ)证明:点 P 在 C 上; (Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四点在同一圆上.

144. (2011 年山东文)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 .如图所示,斜率为 k (k>0) 且 3

不过原点的直线 l 交椭圆 C 于 A , B 两点,线段 AB 的中点为 E ,射线 OE 交椭圆 C 于点 G ,交直线 x ? ?3 于 点 D(?3, m) . (Ⅰ)求 m2 ? k 2 的最小值; (Ⅱ)若 OG ? OD ? OE ,
2

(i)求证:直线 l 过定点; (ii)试问点 B , G 能否关于 x 轴对称?若能,求出此时 ? ABG 的外接圆方程;若不能,请说明理由.

24

145. (2011 年陕西文)设椭圆 C: (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为

x2 y 2 3 ,离心率为 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点(0,4) 2 a b 5。

4 的直线被 C 所截线段的中点坐标。 5

x2 y 2 3 , 椭圆与 x 轴交于两点 A(a,0) 、 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 a 2 b2 A(?a,0) ,过点 C 的直线 l 与椭圆交于另一点 D,并与 x 轴交于点 P,直线 AC 与直线 BD 交于点 Q. (I)当直线 l 过椭圆右焦点时,求线段 CD 的长; ??? ???? ? (Ⅱ)当点 P 异于点 B 时,求证: OP ? OQ 为定值.

146. 2011 年四川文) ( 过点 C(0, 1)的椭圆

25

147. (2011 年天津文)设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 ,F2 。点 P( a, b) 满足 a 2 b2

| PF2 |? | F F2 | . 1
(Ⅰ)求椭圆的离心率 e ; (Ⅱ)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点,若直线 PF2 与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 16 相交于 M,N 两点,
2 2

且 | MN |?

5 | AB | ,求椭圆的方程。 8

148. (2011 年全国文)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y ? x ? 6 x ? 1 与坐标轴的交点都在圆 C 上.
2

(I)求圆 C 的方程; (II)若圆 C 与直线 x ? y ? a ? 0 交于 A,B 两点,且 OA ? OB, 求 a 的值.

26

2 149. (2011 年浙江文)如图,设 P 是抛物线 C1 : x ? y 上的动点。过点 P 做圆 C2 : x ? ( y ? 3) ? 1 的两

2

2

条切线,交直线 l : y ? ?3 于 A, B 两点。 (Ⅰ)求 C2 的圆心 M 到抛物线 C1 准线的距离。 (Ⅱ)是否存在点 P ,使线段 AB 被抛物线 C1 在点 P 处得切线平分,若存在,求出点 P 的坐标;若不存在, 请说明理由。

150. (2011 年重庆理)如题(21)图,椭圆的中心为原点 0,离心率 e= (Ⅰ)求该椭圆的标准方程;

2 ,一条准线的方程是 x ? 2 2 。 2

(Ⅱ)设动点 P 满足: OP ? OM ? 2ON ,其中 M、N 是椭圆上的点,直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ?

??? ?

???? ?

????

1 , 2

问:是否存在定点 F,使得 PF 与点 P 到直线 l: x ? 2 10 的距离之比为定值;若存在,求 F 的坐标,若不存在, 说明理由。

27

151. (2011 年广东理) 在平面直角坐标系 xoy 上, 给定抛物线 l : y ? 是方程 x2 ? px ? q ? 0 的两根,记 ? ( p, q) ? max?x1 , (1)过点 A( p0 ,
? ( p, q ) ?
1 4

1 2 x .实数 p, q 满足 4

p

2

? 4q ? 0 ,x1 , x2

x2 ? .

2 p0)( p0 ? 0) ,作 l 的切线交 y 轴于点 B.证明:对线段 AB 上的任一点 Q(p,q),有

p0
2



(2)设 M (a, b) 是定点,其中 a, b 满足 a2 ? 4b ? 0, a ? 0 .过 M (a, b) 作 l 的两条切线 l1 , l 2 ,切点分别为
1 ? E ? p1 , 4 ?
2? 1 2 p1 ? , E ' ( p2 , p2) , l1 , l 2 与 y 轴分别交于 F , F ' .线段 EF 上异于两端点的点集记为 X .证明:

?

4

M ( a , b) ? X ?

p1 ? p2
? ?

? ? ( a, b ) ?

p1
2



(3)设 D ? ?( x, y) y ? x ? 1, y ? 大值(记为 φmax)

1 2 5? ( x ?1) ? ? .当点 ( p, q) 取遍 D 时,求 ? ( p, q) 的最小值 (记为 φmin)和最 4 4?

152. (2011 年上海理)已知平面上的线段 l 及点 P ,在 l 上任取一点 Q ,线段 PQ 长度的最小值称为点 P 到 线段 l 的距离,记作 d ( P, l ) 。 ⑴求点 P(1,1) 到线段 l : x ? y ? 3 ? 0(3 ? x ? 5) 的距离 d ( P, l ) ; ⑵设 l 是长为 2 的线段,求点集 D ? {P | d ( P, l ) ? 1} 所表示图形的面积; ⑶写出到两条线段 l1 , l2 距离相等的点的集合 ? ? {P | d ( P, l1 ) ? d ( P, l2 )} ,其中 l1 ? AB, l2 ? CD ,

A, B, C, D 是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种,满分分别是①2 分,②6 分,③8 分;若选
择了多于一种的情形,则按照序号较小的解答计分。 ① A(1,3), B(1,0), C (?1,3), D(?1,0) 。 ② A(1,3), B(1,0), C (?1,3), D(?1, ?2) 。 ③ A(0,1), B(0,0), C (0,0), D(2,0) 。
28

参考答案 一、选择题

二、填空题

三、解答题 123. (2011 年广东文) 解 : 1 ) 两 圆 半 径 都 为 2 , 设 圆 C 的 半 径 为 R , 两 圆 心 为 F1 ( ? 5, 0) 、 F2 ( 5, 0) , 由 题 意 得 (

R ?| CF1 | ?2 ?| CF2 | ?2 或 R ?| CF2 | ?2 ?| CF1 | ?2 ,?|| CF1 | ? | CF2 ||? 4 ? 2 5 ?| F1F2 | ,可知圆心 C 的轨迹
是以 F1 , F2 为焦点的双曲线,设方程为 L 的方程为

x2 y 2 , 1 ? 2 ? 1 ,则 2a ? 4, a ?2, c ? 5, b 2? c 2?a 2?1 b ? 2 a b

,所以轨迹

x2 ? y 2 ? 1. 4

(2)∵ || MP | ? | FP ||?| MF |? 2 ,仅当 PM ? ? PF (? ? 0) 时,取"=",由 kMF ? ?2 知直线

???? ?

??? ?

lMF : y ? ?2( x ? 5) ,联立
时 P(

x2 6 5 14 5 (舍去) ? y 2 ? 1 并整理得 15x 2 ? 32 5x ? 9 ? 0 解得 x ? 或x? ,此 15 5 4

6 5 2 5 6 5 2 5 ,) 。所以 || MP | ? | FP || 最大值等于 2,此时 P( ,). 5 5 5 5

124. (2011 年上海文) 解:⑴ m ? 2 ,椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1, c ? 4 ? 1 ? 3 4

∴左、右焦点坐标为 (? 3, 0), ( 3, 0) 。

⑵ m ? 3 ,椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,设 P( x, y ) ,则 9
2

x2 8 9 1 | PA | ? ( x ? 2) ? y ? ( x ? 2) ? 1 ? ? ( x ? ) 2 ? (?3 ? x ? 3) 9 9 4 2
2 2 2

∴ x?

2 9 时 | PA |min ? ; 2 4

x ? ?3 时 | PA |max ? 5 。

⑶设动点 P( x, y ) ,则

| PA |2 ? ( x ? 2)2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? 1 ?

x 2 m2 ? 1 2m 2 4m 2 ? ( x ? 2 )2 ? 2 ? 5(?m ? x ? m) m m2 m ?1 m ?1
29

∵ 当 x ? m 时, | PA | 取最小值,且

m2 ? 1 ? 0 ,∴ m2

2m 2 ? m 且 m ? 1,解得 1 ? m ? 1 ? 2 。 m2 ? 1

125. (2011 年安徽理) 解 : 由 QM ? ? MP 知 Q,M,P 三 点 在 同 一 条 垂 直 于 x 轴 的 直 线 上 , 故 可 设 P(x,y),Q(x,y0),M(x,x2), 则

x 2 ? y0 ? ? ( y ? x 2 ) ,即 y0 ? (1 ? ? ) x 2 ? ?y ①
再设 B( x1 , y1 ) ,由 BQ ? ? QA ,即 ( x ? x1 , y0 ? y1 ) ? ? (1 ? x,1 ? y0 ) ,解得 ?

? x1 ? (1 ? ? ) x ? ? , ② ? y1 ? (1 ? ? ) y0 ? ?.

将①式代入②式,消去 y0 ,得 ?
2

? x1 ? (1 ? ? ) x ? ? ,
2 2 ? y1 ? (1 ? ? ) x ? ? (1 ? ? ) y ? ?.
2



又点 B 在抛物线 y ? x 上,所以 y1 ? x1 ,再将③式代入 y1 ? x1 ,得
2

(1 ? ? )2 x 2 ? ? (1 ? ? ) y ? ? ? ((1 ? ? ) x ? ? )2 , 整理得 2? (1 ? ? ) x ? ? (1 ? ? ) y ? ? (1 ? ? ) ? 0 ,因 ? ? 0 ,两边同
除以 ? (1 ? ? ) ,得 2 x ? y ? 1 ? 0 。故所求点 P 的轨迹方程为 y ? 2 x ? 1 。

126. (2011 年北京理)解: (Ⅰ)由已知得 a ? 2, b ? 1, 所以 c ? 标为 (? 3,0), ( 3,0) 离心率为 e ?


a 2 ? b 2 ? 3. 所以椭圆 G 的焦点坐

c 3 ? . a 2

(Ⅱ)由题意知, | m |? 1 .

当 m ? 1 时,切线 l 的方程 x ? 1,点 A、B 的坐标分别为 (1, 当 m=-1 时,同理可得 | AB |?

3 3 ), (1,? ), 此时 | AB |? 3 2 2

3

当 | m |? 1 时,设切线 l 的方程为 y ? k ( x ? m),

? y ? k ( x ? m), ? 得(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 mx ? 4k 2 m 2 ? 4 ? 0 由 ? x2 2 ? ? y ? 1. ?4
设 A、B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 )( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? 又由 l 与圆 x ? y ? 1相切, 得
2 2

8k 2 m 1 ? 4k 2

, x1 x 2 ?

4k 2 m 2 ? 4 1 ? 4k 2

| km| k ?1
2

? 1, 即m 2 k 2 ? k 2 ? 1.

30

所以 | AB |?

( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? (1 ? k 2 )[

64 k 4 m ? 4 ( 4 k 2 m 2 ? 4) ? 4 3 | m | . ? ] m2 ? 3 (1 ? 4k 2 ) 2 1 ? 4k 2

由于当 m ? ?3 时, | AB |? 所以 | AB |?

3,

4 3|m| , m ? (??,?1] ? [1,??) . m2 ? 3

因为 | AB |?

4 3|m| ? m2 ? 3

4 3 3 |m|? |m|

? 2, 且当 m ? ? 3 时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为 2.

127. (略) 128 . 2011 年 湖 北 理 ) 解 : Ⅰ ) 设 动 点 为 M , 其 坐 标 为 ? x, y ? , 当 x ? ?a 时 , 由 条 件 可 得 : ( (

kMA1 ?kMA2
2

y y y2 ? ? ? 2 ? m ,即 mx 2 ? y 2 ? ma 2 ? x ? ? a ? ,又 A1 ? ?a, 0 ?、A2 ? a, 0 ?? a ? 0 ? 的坐标 2 x?a x?a x ?a
2 2 2 2 2

满足 mx ? y ? ma ,故依题意:曲线 C 的方程为 mx ? y ? ma 。 当 m ? ?1 时,曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 ,C 是焦点在 y 轴上的椭圆; a 2 ?ma 2
2 2 2

当 m ? ?1 时,曲线 C 的方程为 x ? y ? a ,C 是圆心在原点的圆;

x2 y2 当 ?1 ? m ? 0 时,曲线 C 的方程为 2 ? ? 1 ,C 是焦点在 x 轴上的椭圆; a ?ma 2
当 m ? 0 时,曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 ,C 是焦点在 x 轴上的双曲线; a 2 ma 2
2 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 m ? ?1 时,曲线 C1 的方程为 x ? y ? a , 当 m ? ? ?1, 0 ? ? ? 0, ?? ? 时, C2 的两个焦点分别为 F1 ? a m ? 1, 0 、F2 a m ? 1, 0
2

?

?

?

?

对于给定的 m ? ? ?1, 0 ? ? ? 0, ?? ? , C1 上存在点 N ? x0 , y0 ?? y0 ? 0 ? ,使得 S ? m a 的充要条件是
2 2 ? x0 ? y0 ? a 2 , y0 ? 0, ① ? ?1 2 ? ?2a m ? 1 y0 ? m a ② ?2

由①的 0 ? y0 ? a ,由②得, y0 ?

ma m ?1



31

当0 ?

ma m ?1

? a ,即

1? 5 1? 5 2 时,存在点 N 使得, S ? m a ; ? m ? 0, 或 0 ? m ? 2 2 1? 5 1? 5 或m ? 时, 2 2



ma

m ?1 ???? ???? ? ???? ???? ? 2 2 2 2 NF 由 NF1 ? ? a m ? 1 ? x0 , ? y0 , 2 ? a m ? 1 ? x0 , ? y0 , 可得 NF1 ?NF2 ? x0 ? ?1 ? m ? a ? y 0 ? ?ma

? a ,即 ?1 ? m ?

?

?

?

?

2 令 NF1 ? s , NF2 ? t , ?F1 NF2 ? ? , 则 由 NF1 ?NF2 ? st cos ? ? ?ma 可 得 st ?

????

???? ?

???? ???? ?

? ma 2 ,从而 c o? s

S?

1 ?ma 2 s i?n 1 st s i ? ? n ? ? ma 2 2 2 c? s o 2
综上可得:当 m ? ?

?2 m 1 2 于是由 S ? m a , 可得: ma 2 tan ? ? m a 2 , a ? ? 即n t?a, n t ? m 2

?1 ? 5 ? , 0 ? 时,在 C1 上,存在点 N,使得 ?F1 NF2 的面积 S ? m a 2 ,且 tan ?F1 NF2 ? 2 ? ? 2 ?

当 m ? ? 0,

? 1? 5 ? 2 ? 时,在 C1 上,存在点 N,使得 ?F1 NF2 的面积 S ? m a ,且 tan ?F1 NF2 ? ?2 ? 2 ? ? ? ? ? ? 1? 5 ? ? 1? 5 , ?? ? 时,在 C1 上,不存在满足条件的点 N。 ??? ? 2 ? ? 2 ? ? ?

当 m ? ? ?1,

129. (2011 年湖南理)解析: (I)由题意知 e ?

c 3 ? ,从而 a ? 2b ,又 2 b ? a ,解得 a ? 2, b ? 1 。 a 2



C1



C2

的方程分别为

x2 ? y 2 ? 1, y ? x 2 ? 1 。 4

(II) (i)由题意知,直线 l 的斜率存在,设为 k ,则直线 l 的方程为 y ? kx . 由?

? y ? kx ? y ? x ?1
2

得 x ? kx ? 1 ? 0 ,
2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 , x2 是上述方程的两个实根,于是 x1 ? x2 ? k , x1 x2 ? ?1 。 又点 M 的坐标为 (0, ?1) ,所以

kMA ? kMB ?

y1 ? 1 y2 ? 1 (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) k 2 x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ?k 2 ? k 2 ? 1 ? ? ? ? ? ?1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 ?1

故 MA ? MB ,即 MD ? ME 。 (ii)设直线的斜率为 k1 ,则直线的方程为 y ? k1 x ? 1 ,由 ?
32

? y ? k1 x ? 1
2 ? y ? x ?1

解得 ?

? x ? k1 ?x ? 0 或? ,则点 2 ? y ? ?1 ? y ? k1 ? 1

的坐标为 ( k1 , k1 ? 1) 。
2

又直线 MB 的斜率为 ?

1 1 1 ,同理可得点 B 的坐标为 (? , 2 ? 1) . k1 k1 k1

于是 S1 ?

1 1 1 1 1 ? k12 | MA | ? | MB |? 1 ? k12 ? | k1 | ? 1 ? 2 ? | ? |? . 2 2 k1 k1 2 | k1 |
得 (1 ? 4k1 ) x ? 8k1 x ? 0 ,
2 2

由?

? y ? k1 x ? 1
2 2 ?x ? 4 y ? 4 ? 0

8k1 ? ? x ? 1 ? 4k 2 ?x ? 0 8k1 4k12 ? 1 ? 1 , ); 解得 ? 或? ,则点 D 的坐标为 ( 2 1 ? 4k12 1 ? 4k12 ? y ? ?1 ? y ? 4k1 ? 1 ? 1 ? 4k12 ?
又直线的斜率为 ?

?8k1 4 ? k12 1 , ) ,同理可得点 E 的坐标 ( 4 ? k12 4 ? k12 k1

于是 S 2 ?

32(1 ? k12 )? | k1 | 1 S 1 1 | MD | ? | ME |? (4k12 ? 2 ? 17) ,因此 1 ? 2 2 2 (1 ? 4k1 )(4 ? k1 ) S2 64 k1

由题意知,

1 1 17 1 2 2 (4k12 ? 2 ? 17) ? 解得 k1 ? 4 或 k1 ? 。 64 k1 32 4

1 k12 1 3 ? k1 ? ,所以 k ? ? . 故满足条件的直线 l 存在,且有两条,其方 又由点 A, B 的坐标可知, k ? 1 k1 2 k1 ? k1 k12 ?
程分别为 y ?

3 3 x和 y ? ? x。 2 2
x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? , P?x0 , y0 ? 在双曲线上,M,N a 2 b2

130. (2011 年江西理)解: (1)已知双曲线 E:

分别为双曲线 E 的左右顶点,所以 M ?? a,0? , N ?a,0? ,直线 PM,PN 斜率之积为

K PM ? K PN ?
2 2

y0 y0 y x 5 y0 1 ? ? 2 0 2 ? ? 02 ? 2 ? 1 x0 ? a x0 ? a x0 ? a 5 a a

2

2

2



x0 y 1 6 c 30 ? 02 ? 1 ,比较得 b 2 ? a 2 ? c 2 ? a 2 ? b 2 ? a 2 ? e ? ? 2 a b 5 5 a 5

(2) 设过右焦点且斜率为 1 的直线 L: y ? x ? c , 交双曲线 E 于 A, 两点, B 则不妨设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ? ,
33

又 OC ? ? OA ? OB ? ??x1 ? x2 , ?y1 ? y 2 ? ,点 C 在双曲线 E 上:

??x1 ? x2 ?2 ? 5??y1 ? y2 ?2 ? a 2 ? ?2 ?x12 ? 5 y12 ? ? 2?x1 x2 ? 10?y1 y2 ? ?x2 2 ? 5 y2 2 ? ? a 2 *(1)
又联立直线 L 和双曲线 E 方程消去 y 得: 4 x ? 10cx ? 5c ? a ? 0
2 2 2

5c 2 ? a 2 5c 2 ? a 2 5c 2 2 由韦达定理得: x1 x2 ? , y1 y 2 ? x1 x2 ? c?x1 ? x2 ? ? c ? ? ? c 2 代入(1)式得: 4 4 2

?2 a 2 ? ? a 2 ?

7 2

71 2 ?a ? a 2 ? a 2 ? ? ? 0,或? ? -4 2

131. (2011 年天津理) 解: F1 (?c,0), F 2 (c,0)(c ? 0) , (1) 设 由题意, 可得

PF 2 ? F 1 F 2



(a ? c) 2 ? b 2 ? 2c.

c c c c 1 1 2( )2 ? ? 1 ? 0, 得 ? ?1 ? . e? . a a 2 整理得 a (舍) ,或 a 2 所以
(II)解:由(I)知 a ? 2c, b ? 3c, 可得椭圆方程为 3x ? 4 y ? 12c , 直线 PF2 方程为 y ? 3( x ? c).
2 2 2

?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12c 2 , 8 ? 2 A,B 两点的坐标满足方程组 ? 消去 y 并整理,得 5 x ? 8cx ? 0. 解得 x 1 ? 0, x2 ? c. 5 ? y ? 3( x ? c ). ?

8 ? x2 ? c, ? ? x1 ? 0, 5 ? ? 得方程组的解 ? ? 3 3 ? y1 ? ? 3c, ? ? y2 ? c. ? 5 ?
不妨设 A( c,

8 5

3 3 c), B(0, ? 3c) 5 ???? ? 8 5 ? 3 3 ???? c), BM ? ( x, y ? 3c) , 5

设点 M 的坐标为 ( x, y ), 则 AM ? ( x ? c, y ?

由 y ? 3( x ? c), 得c ? x ?

???? ? 8 3 3 3 8 3 3 y. 于是 AM ? ( y ? x, y ? x), 3 15 5 5 5

???? ? ???? ???? ? ? 8 3 3 8 3 3 BM ? ( x, 3x). 由 AM ? BM ? ?2, 即 ( y ? x) ? x ? ( y ? x) ? 3x ? ?2 , 15 5 5 5
化简得 18 x ? 16 3xy ? 15 ? 0.
2

将y?

18 x 2 ? 15 3 10 x 2 ? 5 代入c ? x ? y, 得c ? ? 0. 所以 x ? 0. 3 16 x 16 3 x
2

因此,点 M 的轨迹方程是 18 x ? 16 3xy ? 15 ? 0( x ? 0).

34

132. (2011 年全国新课标) 解:(Ⅰ)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).所以 MA =(-x,-1-y), MB =(0,-3-y), AB =(x,-2).再 由愿意得知( MA + MB )? AB =0,即(-x,-4-2y)? (x,-2)=0.所以曲线 C 的方程式为 y= (Ⅱ)设 P(x 0 ,y 0 )为曲线 C:y= 因此直线 l 的方程为 y ? y0 ?

????

????

??? ?

???? ????

??? ?

1 2 x -2. 4

1 2 1 1 x -2 上一点,因为 y ' = x,所以 l 的斜率为 x 0 4 2 2 。

1 x0 ( x ? x0 ) ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? x 2 ? 0 。 2

则 O 点到 l 的距离 d ?

2 | 2 y0 ? x0 |

1 2 x0 ? 4 1 4 1 2 2 2 ? ( x0 ? 4 ? ) ? 2, .又 y0 ? x0 ? 2 ,所以 d ? 2 2 2 4 x0 ? 4 x0 ? 4 2 x0 ? 4

当 x0 =0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.

2

133. (2011 年浙江理) (I)解:由题意可知,抛物线的准线方程为: y ? ? 的距离是

1 , 所以圆心 M(0,4)到准线 4

17 . 4
2 2 2

(II)解:设 P( x0 , x0 ), A( x1 , x1 ), B( x2 , x2 ) ,则题意得 x0 ? 0, x0 ? ?1, x1 ? x2 , 设过点 P 的圆 C2 的切线方程为 y ? x0 ? k ( x ? x0 ) ,即 y ? kx ? kx0 ? x0
2
2





2 | kx0 ? 4 ? x0 |

1? k

2

2 2 2 ? 1, 即 ( x0 ? 1)k 2 ? 2 x0 (4 ? x0 )k ? ( x0 ? 4) 2 ? 1 ? 0 ,

设 PA,PB 的斜率为 k1 , k2 (k1 ? k2 ) ,则 k1 , k 2 是上述方程的两根,所以
2 2 2 x0 ( x0 ? 4) ( x0 ? 4) 2 ? 1 k1 ? k2 ? , k1k2 ? . 2 2 x0 ? 1 x0 ? 1

将①代入 y ? x 得x ? kx ? kx0 ? x0 ? 0, 由于 x0 是此方程的根,故 x1 ? k1 ? x0 , x2 ? k2 ? x0 ,所以
2 2 2

k AB ?

2 2 x ( x 2 ? 4) x2 ? 4 x12 ? x2 ? x1 ? x2 ? k1 ? k2 ? 2 x0 ? 0 2 0 ? 2 x0 , k MP ? 0 . x1 ? x2 x0 ? 1 x0 2 2 x0 ( x0 ? 4) x2 ? 4 23 2 ? 2 x0 ) ? ( 0 ? ?1) ,解得 x0 ? , 2 x0 ? 1 x0 5

由 MP ? AB ,得 k AB ? kMP ? (

即点 P 的坐标为 ( ? 134. (略)

23 23 3 115 , ) ,所以直线 l 的方程为 y ? ? x ? 4. 5 5 115

35

135. (略) 136. (2011 年安徽文) 证明: (I)反证法,假设是 l1 与 l2 不相交,则 l1 与 l2 平行,有 k1=k2,代入 k1k2+2=0,得 k1 ? 2 ? 0.
2

此与 k1 为实数的事实相矛盾. 从而 k1 ? k 2 ,即l1与l 2 相交.

2 ? ?x ? k ? k , ? y ? k1 x ? 1 ? 2 1 (II) (方法一)由方程组 ? 解得交点 P 的坐标 ( x, y ) 为 ? ? y ? k2 x ? 1, ? y ? k 2 ? k1 . ? k 2 ? k1 ?
2 2 k 2 ? k1 2 8 ? k 2 ? k12 ? 2k1 k 2 k12 ? k 2 ? 4 2 2 ) ?( ) ? ? 2 ? 1. 而 2 x ? y ? 2( 2 2 k 2 ? k1 k 2 ? k1 k 2 ? k12 ? 2k1 k 2 k1 ? k 2 ? 4 2 2

此即表明交点 P( x, y )在椭圆2 x ? y ? 1上.
2 2

(方法二)交点 P 的坐标 ( x, y ) 满足

? y ? 1 ? k1 x ? ? y ? 1 ? k2 x y ?1 ? ? k1 ? x , ? 故知x ? 0.从而? ?k ? y ? 1 . ? 2 x ? y ?1 y ?1 代入k1 k 2 ? 2 ? 0, 得 ? ? 2 ? 0. x x
整理后,得 2 x ? y ? 1, 所以交点 P 在椭圆 2 x ? y ? 1上.
2 2 2 2

137. (2011 年北京文) 解: (Ⅰ)由已知得 c ? 2 2,

c 6 ? . a 3
2

x2 y 2 ? ? 1. 解得 a ? 2 3. 又 b ? a ? c ? 4. 所以椭圆 G 的方程为 12 4
2 2

?y ? x ? m ? 2 2 (Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? x ? m. 由 ? x 2 得 4 x ? 6mx ? 3m ? 12 ? 0. y2 ?1 ? ? 4 ? 12
设 A、B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 )( x1 ? x2 ), AB 中点为 E ( x 0 , y 0 ) ,则 x0 ?

x1 ? x 2 3m ?? , 2 4

y 0 ? x0 ? m ?

m 4
36

因为 AB 是等腰△ PAB 的底边,所以 PE⊥AB.

m 4 ? ?1. 解得 m=2。 所以 PE 的斜率 k ? 3m ?3? 4 2?
此时方程①为 4 x ? 12 x ? 0. 解得 x1 ? ?3, x2 ? 0. 所以 y1 ? ?1, y 2 ? 2. 所以|AB|= 3 2 .
2

此时,点 P(—3,2)到直线 AB: x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ?

| ?3 ? 2 ? 2 | 2

?

3 2 , 所以△ PAB 的面积 2

S=

1 9 | AB | ?d ? . 2 2

138. (略) 139. (2011 年广东文) 解: (1)如图 1,设 MQ 为线段 OP 的垂直平分线,交 OP 于点 Q,

? ?MPQ ? ?AOP,? MP ? l , 且 | MO |?| MP | .
2 2 2 因此 x ? y ?| x ? 2 |, 即 y ? 4( x ? 1)( x ? ?1).



另一种情况,见图 2(即点 M 和 A 位于直线 OP 的同侧) 。

?MQ 为线段 OP 的垂直平分线,??MPQ ? ?MOQ.
又? ?MPQ ? ?AOP,??MOQ ? ?AOP. 因此 M 在 x 轴上,此时,记 M 的坐标为 ( x, 0). 为分析 M ( x, 0)中x 的变化范围,设 P(?2, a) 为 l 上任意点 (a ? R). 由 | MO |?| MP | , (即 | x |?

1 ( x ? 2) 2 ? a 2 )得, x ? ?1 ? a 2 ? ?1. 4

故 M ( x, 0) 的轨迹方程为: y ? 0, x ? ?1 ② 综合①和②得,点 M 轨迹 E 的方程为: y ? ?
2

?4( x ? 1), x ? ?1, x ? ?1. ?0,

(2)由(1)知,轨迹 E 的方程由下面 E1 和 E2 两部分组成(见图 3) :

37

E1 : y 2 ? 4( x ? 1)( x ? ?1) ; E2 : y ? 0, x ? ?1.
当 H ? E1 时,过T作垂直于 l 的直线,垂足为 T ? ,交 E1 于 D ? ? 再过 H 作垂直于 l 的直线,交 l于H ?. 因此, | HO |?| HH ? | (抛物线的性质) 。 。 ? HO | ? | HT |?| HH ? | ? | HT |?| TT ? |? 3 (该等号仅当 H ?与T ? 重合(或 H 与 D 重合)时取得) | 当 H ? E2 时,则 | HO | ? | HT |?| BO | ? | BT |? 1 ? 5 ? 3. 综合可得,|HO|+|HT|的最小值为 3,且此时点 H 的坐标为 ? ? , ?1? . (3)由图 3 知,直线 l1 的斜率 k 不可能为零。 设 l1 : y ? 1 ? k ( x ? 1)(k ? 0). 故x ?

? 3 ? , ?1? 。 ? 4 ?

? 3 ? 4

? ?

4 1 ?4 ? ( y ? 1) ? 1, 代入E1 的方程得: y 2 ? y ? ? ? 8 ? ? 0. k k ?k ?
2

16 ?4 ? ?4 ? 因判别式 ? ? 2 ? 4 ? ? 8 ? ? ? ? 2 ? ? 28 ? 0. k ?k ? ?k ?
所以 l1 与 E 中的 E1 有且仅有两个不同的交点。 又由 E2 和 l1 的方程可知,若 l1 与 E2 有交点,则此交点的坐标为

k ?1 1 ? k ?1 ? ? k ?1 ? , 0?,且 ? ?1.即当 ? ? k ? 0时, l1与E2 有唯一交点 ? , 0 ? ,从而 l1 表三个不同的交点。 ? k 2 ? k ? ? k ?
因此,直线 l1斜率k 的取值范围是 (??, ? ] ? (0, ??).
38

1 2

140. (2011 年湖南文)
2 2 解析: (I)设动点 P 的坐标为 ( x, y ) ,由题意为 ( x ? 1) ? y ? | x |? 1.

化简得 y ? 2 x ? 2 | x |, 当 x ? 0时, y ? 4 x;当x ? 0时,y=0.
2 2

所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 , y ? 4 x( x ? 0)和y=0(x ? 0).
2

(II)由题意知,直线 l1 的斜率存在且不为 0,设为 k ,则 l1 的方程为 y ? k ( x ? 1) . 由?

? y ? k ( x ? 1) 2 2 2 2 ,得 k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0. y2 ? 4x ?

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 x1 , x2 是上述方程的两个实根,于是 x1 ? x2 ? 2 ? 因为 l1 ? l2 ,所以 l 2 的斜率为 ?

4 , x1 x2 ? 1 . k2

1 . k
2

设 D( x3 , y3 ), B( x4 , y4 ), 则同理可得 x3 ? x4 ? 2 ? 4k , x3 x4 ? 1

???? ??? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? AD ? EB ? ( AF ? FD )?( EF ? FB ) ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? AF ?EF ? AF ?FB ? FD ?EF ? FD ?FB ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ?| AF |? FB | ? | FD |? EF | | |
故 ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? ( x3 ? 1)( x4 ? 1)

? 1 ? (2 ?

4 ) ? 1 ? 1 ? (2 ? 4 k 2 ) ? 1 2 k

1 1 ) ? 8 ? 4 ? 2 k 2 ? 2 ? 16 2 k k ???? ??? ? 1 2 当且仅当 k ? 2 即 k ? ?1 时, AD ? EB 取最小值 16. k ? 8 ? 4(k 2 ?
141. (2011 年江西文) 解析: (1)直线 AB 的方程是
p y ? 2 2 ( x ? ), 与y 2 ? 2px联立,从而有 x 2 ? 5 px ? p 2 ? 0, 4 2

所以 x1 ? x2 ?

5p 2 ,由抛物线定义得: AB ? x1 ? x2 ? p ? 9 ,所以 p=4,抛物线方程为: y ? 8 x 4
2 2

(2)

由 p=4 , 4x ? 5 px ? p ? 0, 化 简 得 x 2 ? 5x ? 4 ? 0 , 从 而 x1 ? 1, x2 ? 4, y1 ? ?2 2 , y 2 ? 4 2 , 从 而

A:(1, ? 2 2 ),B(4, 4 2 ) 设 OC ? ( x3, y3 ) ? (1,?2 2 ) ? ? (4,4 2 ) = (1 ? 4? ,?2 2 ? 4 2? ) , 又 y3 ? 8x3 , 即 2 2 ?2? ? 1? ? 8
2
2

?

?

?

(4 ? ? 1) ,即 (2? ? 1) ? 4? ? 1 ,解得 ? ? 0, 或? ? 2
2

39

142. (2011 年辽宁理) 解: (I)因为 C1,C2 的离心率相同,故依题意可设 C1 : 设直线 l : x ? t 当e ?

x2 y 2 b2 y 2 x 2 ? 2 ? 1, C2 : 4 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) a2 b a a

(| t |? a) ,分别与 C1,C2 的方程联立,求得 A(t ,

a 2 2 b 2 2 a ? t ), B(t , a ? t ). 4 分 b a

2 | yB | b 2 3 1 3 ? ? . 6分 时, b ? a, 分别用y A , yB 表示 A,B 的纵坐标,可知 | BC |:| AD |? 2 | yA | a2 4 2 2

(II)t=0 时的 l 不符合题意. t ? 0 时,BO//AN 当且仅当 BO 的斜率 kBO 与 AN 的斜率 kAN 相等,即

b 2 2 a 2 2 a ?t a ?t 2 2 a 1? e a b ? , 解得 t ? ? 2 b 2 ? ? 2 ? a t t ?a a ?b e
因为 | t |? a, 又0 ? e ? 1, 所以

1 ? e2 2 ? 1, 解得 ? e ? 1. 2 2 e

所以当 0 ? e ?

2 2 ? e ? 1 时,存在直线 l 使得 BO//AN. 时,不存在直线 l,使得 BO//AN;当 2 2

143. (2011 年全国理) (I)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,直线 l : y ? ? 2 x ? 1 ,与 x ?
2

y2 ? 1 联立得 4 x 2 ? 2 2 x ? 1 ? 0 2

x1 ?

6? 2 6? 2 2 1 , x2 ? , x1 x2 ? ? , x1 ? x2 ? 4 4 2 4 2 , 2 2 2 (?1) 2 ) ? ? 1 ,所以点 P 在 C 上。 2 2

由 OA ? OB ? OP ? 0. 得 P(?( x1 ? x2 ), ?( y1 ? y2 )) ?( x1 ? x2 ) ? ?

??? ??? ??? ? ? ?

?( y1 ? y2 ) ? ?(? 2 x1 ? 1 ? ? 2 x2 ? 1) ? 2( x1 ? x2 ) ? 2 ? ?1 , (?

(II)法一: tan ?APB ?

k PA ? k PB 1 ? k PA k PB

y1 ? (?1) y ? (?1) ? 2 2 2 x1 ? (? ) x2 ? (? ) 2 2 ? y ? (?1) y ? (?1) 1? 1 ? 2 2 2 x1 ? (? ) x2 ? (? ) 2 2

?

3( x2 ? x1 ) 4( x2 ? x1 ) ? 3 3 2 9 3x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 2

40

同理 tan ?AQB ?

kQB ? kQA 1 ? kQA kQB

y2 ? 1 y1 ? 1 ? 2 2 x2 ? x1 ? (? ) ( x1 ? x2 ) 4( x2 ? x1 ) 2 2 ? ?? ? y ?1 y1 ? 1 3 2 1 1? 2 ? 3x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 2 2 2 x2 ? x1 ? (? ) 2 2

所以 ?APB, ?AQB 互补,因此 A、P、B、Q 四点在同一圆上。

法二:由 P(?

2 2 2 , ?1) 和题设知, Q( ,1) ,PQ 的垂直平分线 l1 的方程为 y ? ? x ?① 2 2 2 2 1 2 1 , ) ,AB 的垂直平分线 l 2 的方程为 y ? x ? ?② 4 2 2 4 2 1 , ) 8 8

设 AB 的中点为 M,则 M (

由①②得 l1 、 l 2 的交点为 N ( ?

| NP |? (?

2 2 2 1 3 11 ? ) ? (?1 ? ) 2 ? , 2 8 8 8

| AB |? 1 ? (? 2) 2 ? | x2 ? x1 |?

3 2 2

| AM |?

2 2 2 1 1 2 3 3 3 2 ? ) ?( ? ) ? , | MN |? ( , 4 8 2 8 8 4

| NA |? | AM |2 ? | MN |2 ?

3 11 8

故 | NP |?| NA | . | NP |?| NQ |,| NA |?| NB | 所以 A、P、B、Q 四点在同一圆圆 N 上.

144. (2011 年山东文)

? y ? kx ? t , ? (I)解:设直线 l的方程为y ? kx ? t (k ? 0) ,由题意, t ? 0. 由方程组 ? x 2 得 2 ? ? y ? 1, ?3
(3k 2 ? 1) x 2 ? 6ktx ? 3t 2 ? 3 ? 0 ,由题意 ? ? 0 ,所以 3k 2 ? 1 ? t 2 .
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由韦达定理得 x1 ? x2 ? ?

6kt 2t , 所以 y1 ? y2 ? 2 . 2 3k ? 1 3k ? 1

41

由于 E 为线段 AB 的中点,因此 xE ? 所以 OE 所在直线方程为 y ? ?
2 2

y 1 3kt t , yE ? 2 , 此时 kOE ? E ? ? . 2 xE 3k 3k ? 1 3k ? 1

1 1 ,令 x=-3,得 m ? ,即 mk=1, x, 又由题设知 D(-3,m) 3k k

所以 m ? k ? 2mk ? 2, 当且仅当 m=k=1 时上式等号成立,此时 由 ? ? 0 得 0 ? t ? 2, 因此 当 m ? k ? 1且0 ? t ? 2 时, m ? k 取最小值 2。
2 2

(II) (i)由(I)知 OD 所在直线的方程为 y ? ? 解得 G (?

1 x, 将其代入椭圆 C 的方程,并由 k ? 0, 3k

3k 3k ? 1
2

,

1 3k ? 1
2

) ,又 E (?

3k t 1 , 2 ), D(?3, ) ,由距离公式及 t ? 0 得 2 3k ? 1 3k ? 1 k

9k 2 ? 1 | OG | ? (? ) ?( ) ? 2 , 3k ? 1 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1
2

3k

2

1

2

1 2 9k 2 ? 1 | OD |? (?3) ? ( ) ? , k k
2

| OE |? (?
2

3kt 2 t t 9k 2 ? 1 ) ? ( 2 )2 ? , 3k 2 ? 1 3k ? 1 3k 2 ? 1

由 | OG | ?| OD | ? | OE | 得t ? k , 因此,直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1). 所以,直线 l恒过定点(?1, 0). (ii)由(i)得 G (?

3k 3k 2 ? 1
2

,

1 3k 2 ? 1
2

) 。若 B,G 关于 x 轴对称,则 B(?

3k 3k 2 ? 1

,?

1 3k 2 ? 1

).

4 2 2 代入 y ? k ( x ? 1)整理得3k ? 1 ? k 3k ? 1, 即 6k ? 7k ? 1 ? 0 ,解得 k ?

1 2 (舍去)或 k ? 1, 所以 k=1, 6

此时 B(? , ? ), G(? , ) 关于 x 轴对称。 又由(I)得 x1 ? 0, y1 ? 1, 所以 A(0,1) 。由于 ?ABG 的外接圆的圆心在 x 轴上,可设 ?ABG 的外接圆的 圆心为(d,0) ,因此 d ? 1 ? (d ? ) ?
2 2

3 2

1 2

3 1 2 2

3 2

5 1 1 ,所以 , 解得d ? ? , 故 ?ABG 的外接圆的半径为 r ? d 2 ? 1 ? 2 4 2

1 5 ?ABG 的外接圆方程为 ( x ? )2 ? y 2 ? . 2 4
145. (2011 年陕西文) 解(Ⅰ)将(0,4)代入 C 的方程得

16 ?1 b2

∴b=4

又e ?

c 3 a 2 ? b2 9 16 9 ? ,即 1 ? 2 ? ,∴a=5 ? 得 2 a 25 a 5 a 25
42

∴C 的方程为

x2 y 2 ? ?1 25 16

(Ⅱ)过点 ? 3, 0 ? 且斜率为

4 4 的直线方程为 y ? ? x ? 3? , 5 5
2

x 2 ? x ? 3? 4 ? ?1, 设直线与C的交点为A ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? , B 将直线方程 y ? ? x ? 3? 代入C的方程, 得 25 25 5
即 x ? 3x ? 8 ? 0 ,解得 x1 ?
2

3 ? 41 3 ? 41 , x2 ? , 2 2

?AB 的中点坐标 x ? x

1

? x2 3 y ?y 2 6 ?3 6? ? , y ? 1 2 ? ? x1 ? x2 ? 6 ? ? ? ,即中点为 ? , ? ? 。 2 2 2 5 5 ?2 5?

146. (2011 年四川文) 解: (Ⅰ)由已知得 b ? 1,
c 3 x2 ,解得 a ? 2 ,所以椭圆方程为 ? y 2 ? 1 . ? a 2 4 3 x ? 1 , 代入椭圆 方程得 7 x2 ? 8 3x ? 0 , 解得 3

椭 圆的右焦 点为 ( 3,0) ,此 时直 线 l 的方程 为 y ? ?

x1 ? 0, x2 ?

8 3 1 16 8 3 8 3 1 1 ? 0)2 ? (? ? 1) 2 ? . ,代入直线 l 的方程得 y1 ? 1, y2 ? ? ,所以 D( , ? ) ,故 | CD |? ( 7 7 7 7 7 7 7

(Ⅱ)当直线 l 与 x 轴垂直时与题意不符.
1 ?8k 设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1(k ? 0且k ? ) .代入椭圆方程得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8kx ? 0 .解得 x1 ? 0, x2 ? 2 , 2 4k ? 1

代入直线 l 的方程得 y1 ? 1, y2 ? 又直线 AC 的方程为

1 ? 4k 2 ?8k 1 ? 4k 2 ,所以 D 点的坐标为 ( 2 , ). 4k 2 ? 1 4k ? 1 4k 2 ? 1

? x ? ?4 k , x 1 ? 2k 又直线 BD 的方程为 y ? 联立得 ? 因此 Q(?4k,2k ?1) , ? y ?1, ( x ? 2) , 2 2 ? 4k ? y ? 2k ? 1. ??? ???? ? ??? ???? ? 1 1 又 P(? ,0) .所以 OP ? OQ ? (? ,0)(?4k , 2k ? 1) ? 4 .故 OP ? OQ 为定值. k k

147. (2011 年天津文) (Ⅰ)解:设 F1 (?c, 0), F2 (c, 0)(c ? 0) ,因为 | PF2 |?| F1 F2 | ,所以 (a ? c) ? b ? 2c ,整理得
2 2

c c c 1 1 ?c? 2 ? ? ? ? 1 ? 0, 得 ? ?1 (舍)或 ? , 所以e ? . a a a 2 2 ?a?
(Ⅱ) 由 解: (Ⅰ) a ? 2c, b ? 知 A,B 两点的坐标满足方程组 ?
2 2 2 3c , 可得椭圆方程为 3x ? 4 y ? 12c , 直线 FF2 的方程为 y ? 3( x ? c).

2

?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12c 2 , ? ? y ? 3( x ? c). ?

消去 y 并整理,得 5x ? 8cx ? 0 。解得 x1 ? 0, x2 ?
2

8 c ,得方 5

43

8 ? ? x2 ? 5 c, ? x1 ? 0, ?8 3 3 ? ? ? c ? , B(0, ? 3c) 。 程组的解 ? 不妨设 A ? c, ? ?5 5 ? 3 3 ? y1 ? ? 3c, ? ? ? ? y ? c. ? 2 5 ?
2 ? 16 ?8 ? ?3 3 所以 | AB |? ? c ? ? ? ? 5 c ? 3c ? ? 5 c. ? ?5 ? ? ? 5 于是 | MN |? | AB |? 2c. 8 2

圆心 ?1, 3 到直线 PF2 的距离 d ?
2

?

?

| ? 3 ? 3 ? 3c | 3|2?c| ? . 2 2

3 ? | MN | ? 2 2 2 因为 d ? ? ? ? 4 ,所以 (2 ? c) ? c ? 16. 2 ? 4 ?
2

x2 y 2 26 整理得 7c ? 12c ? 52 ? 0 ,得 c ? ? (舍) ,或 c ? 2. 所以椭圆方程为 ? ? 1. 16 12 7
2

148. (2011 年全国文) (Ⅰ)曲线 y ? x ? 6 x ? 1 与坐标轴的交点为(0,1) ? 2 2 ,0) (3 ,故可设圆的圆心坐标为(3,t)则有
2

3

2

?

?t -1? ? ?2
2

2 2 + t ,解得 t=1,则圆的半径为 3 ? ?t ?1?

?

2

2

2

? 3 。所以圆的方程为

?x ?3? ? ? y ?1? ? 9
2 2

(Ⅱ)设 A( x1 , y1) B( x2 , y 2) 其坐标满足方程组 ?

?x ? y ? a ? 0 ? 2 2 ?( x ? 3) ? ( y ?1) ? 9 ?

消去 y 得到方程 2 x2 ? (2a ? 8) x ? a2 ? 2a ? 1 ? 0 ,由已知可得判别式△=56-16a-4 由韦达定理可得 x1 ?

a

2

>0;

x

2

? 4 ? a , x1 x2 ?

a

2

? 2a ? 1 2



由 OA ? OB 可得 x1 x2 ?
2 2 x1 x2 ? a( x1 ? x2) ? a ? 0

y1 y2 ? 0. 又 y1 ? x1 ? a y2 ? x2 ? a 。所以
② 由①②可得 a=-1,满足△>0,故 a=-1。

149. (2011 年浙江文) (Ⅰ) 因为抛物线 C1 的准线方程为:y ? ? 解:
2

1 1 11 , 所以圆心 M 到抛物线 C1 准线的距离为: ? ? (?3) |? . | 4 4 4

(Ⅱ)解:设点 P 的坐标为 ( x0 , x0 ) ,抛物线 C1 在点 P 处的切线交直线 l 于点 D。 再设 A,B,D 的横坐标分别为 xA , xB , xC ,过点 P( x0 , x0 ) 的抛物线 C1 的切线方程为: y ? x0 ? 2 x0 ( x ? x0 ) (1)
2

2

44

当 x0 ? 1 时,过点 P(1,1)与圆 C2 的切线 PA 为: y ? 1 ? 可得 xA ? ?

15 ( x ? 1) 8

17 , xB ? 1, xD ? ?1, xA ? xB ? 2 xD 15 15 ( x ? 1) 8

当 x 0 ? ?1 时,过点 P(—1,1)与圆 C2 的切线 PA 为: y ? 1 ? 可得 x A ? ?1, x B ?

17 , x D ? 1, x A ? x B ? 2 x D 15

xA ? ?
2

17 , xB ? 1, xD ? ?1, xA ? xB ? 2 xD 15

所以 x0 ? 1 ? 0 设切线 PA,PB 的斜率为 k1 , k 2 ,则 PA : y ? x0 ? k1 ( x ? x0 )
2

(2) PB : y ? x0 ? k2 ( x ? x0 )
2

(3)

将 y ? ?3 分别代入(1)(2)(3)得 xD ? , ,

2 x0 ? 3 x2 ? 3 x2 ? 3 ( x0 ? 0); x A ? x0 ? 0 ; xB ? x0 ? ? 0 (k1 , k2 ? 0) 2 x0 k1 k1
2

| ? x0 k1 ? x0 ? 3 | 1 1 ?1 从而 x A ? xB ? 2 x0 ? ( x ? 3)( ? ). 又 k1 k2 k12 ? 1
2 0

即 ( x0 ? 1)k1 ? 2( x0 ? 3) x0 k1 ? ( x0 ? 3) ? 1 ? 0
2 2 2 2 2

同理, ( x0 ? 1)k2 ? 2( x0 ? 3) x0 k2 ? ( x0 ? 3) ? 1 ? 0
2 2 2 2 2

所以 k1 , k 2 是方程 ( x0 ? 1)k ? 2( x0 ? 3) x0 k ? ( x0 ? 3) ? 1 ? 0 的两个不相等的根,从而
2 2 2 2 2

k1 ? k2 ?

2 2 2(3 ? x0 ) x0 (3 ? x0 ) 2 ? 1 , k1 ? k2 ? . 2 2 x0 ? 1 x0 ? 1

因为 x A ? x B ? 2x0 ,所以 2 x0 ? (3 ? x0 )(
2

x2 ? 3 1 1 1 1 1 ? )? 0 ,即 ? ? . k1 k2 x0 k1 k2 x0

2 2(3 ? x0 ) x0 1 4 ? ,进而得 x0 ? 8, x0 ? ? 4 8 。 从而 2 2 ( x0 ? 3) ? 1 x0

综上所述,存在点 P 满足题意,点 P 的坐标为 (? 4 8, 2 2).

150. (2011 年重庆文) 解: I) e ? ( 由

c 2 a2 ? , ?2 2 , a 2 c

解得 a ? 2, c ?

2, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2 , 故椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 2

(II)设 P( x, y ), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则由 OP ? OM ? 2ON 得

??? ?

???? ?

????

45

( x, y ) ? ( x1 , y1 ) ? 2( x2 , y2 ) ? ( x1 ? 2 x2 , y1 ? 2 y2 ), 即x ? x1 ? 2 x2 , y ? y1 ? 2 y2 .
因为点 M,N 在椭圆 x ? 2 y ? 4 上,所以 x1 ? 2 y1 ? 4, x2 ? 2 y2 ? 4 ,
2 2
2 2 2 2

故 x ? 2 y ? ( x1 ? 4 x2 ? 4 x1 x2 ) ? 2( y1 ? 4 y2 ? 4 y1 y2 )
2 2 2 2 2 2

2 2 ? ( x12 ? 2 y12 ) ? 4( x2 ? 2 y2 ) ? 4( x1 x2 ? 2 y1 y2 )

? 20 ? 4( x1 x2 ? 2 y1 y2 ).
设 kOM , kON 分别为直线 OM,ON 的斜率,由题设条件知 kOM ? kON ? 所以 x ? 2 y ? 20.
2 2

y1 y2 1 ? ? , 因此 x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 0, x1 x2 2

所以 P 点是椭圆

x2 (2 5) 2

?

y2 ( 10) 2

? 1 上 的 点 , 该 椭 圆 的 右 焦 点 为 F ( 10, 0) , 离 心 率

e?

2 , 直线 l : x 2 1是该椭圆的右准线,故根据椭圆的第二定义,存在定点 F ( 10, 0) ,使得|PF|与 P 点 ? 0 2

到直线 l 的距离之比为定值。 151. (2011 年广东理) . 解: (1) k AB ? y ' |x ? p0 ? ( x) |x ? p0 ? 即y?

1 2

1 1 1 p0 ,直线 AB 的方程为 y ? p0 2 ? p0 ( x ? p0 ) , 2 4 2

1 1 1 1 p0 x ? p0 2 ,? q ? p0 p ? p0 2 ,方程 x 2 ? px ? q ? 0 的判别式 ? ? p 2 ? 4q ? ( p ? p0 ) 2 , 2 4 2 4
p ? | p0 ? p | p0 p 或 p? 0 , ? 2 2 2

两根 x1,2 ?

? p ? p0 ? 0 ,?| p ?

p0 p |?|| p | ? | 0 || ,又 0 ? | p | ?| p0 | , 2 2

?? |

p0 p p p p p |? | p | ? | 0 |? | 0 | ,得?| p ? 0 |?|| p | ? | 0 ||?| 0 | , 2 2 2 2 2 2 p0 |. 2

?? ( p, q) ?|
2

(2)由 a ? 4b ? 0 知点 M (a, b) 在抛物线 L 的下方, ①当 a ? 0, b ? 0 时,作图可知,若 M (a, b) ? X ,则 p1 ? p2 ? 0 ,得 | p1 | ? | p2 | ; 若 | p1 | ? | p2 | ,显然有点 M (a, b) ? X ; ? M (a, b) ? X ?| p1 | ? | p2 | . ②当 a ? 0, b ? 0 时,点 M (a, b) 在第二象限,作图可知,若 M (a, b) ? X ,则 p1 ? 0 ? p2 ,且 | p1 | ? | p2 | ; 若 | p1 | ? | p2 | ,显然有点 M (a, b) ? X ;? M (a, b) ? X ?| p1 | ? | p2 | . 根据曲线的对称性可知,当 a ? 0 时, M (a, b) ? X ?| p1 | ? | p2 | ,
46

综上所述, M (a, b) ? X ?| p1 | ? | p2 | (*) ; 由(1)知点 M 在直线 EF 上,方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的两根 x1,2 ? 同理点 M 在直线 E ' F ' 上,方程 x ? ax ? b ? 0 的两根 x1,2 ?
2

p1 p 或a ? 1 , 2 2

p2 p 或a ? 2 , 2 2

若 ? (a, b) ?|

p1 p p p p | ,则 | 1 | 不比 | a ? 1 | 、 | 2 | 、 | a ? 2 | 小, 2 2 2 2 2

?| p1 |?| p2 | ,又 | p1 | ? | p2 | ? M (a, b) ? X ,

?? (a, b) ?|
?? (a, b) ?|

p1 p |? M (a, b) ? X ;又由(1)知, M (a, b) ? X ? ? (a, b) ?| 1 | ; 2 2
p1 |? M (a, b) ? X ,综合(*)式,得证. 2

1 5 ( x ? 1) 2 ? 得交点 (0, ?1), (2,1) ,可知 0 ? p ? 2 ,过点 ( p, q ) 作抛物线 L 4 4 1 2 x0 ? q 1 1 2 的切线,设切点为 ( x0 , x0 ) ,则 4 ? x0 ,得 x0 2 ? 2 px0 ? 4q ? 0 ,解得 x0 ? p ? p 2 ? 4q , x0 ? p 2 4
(3)联立 y ? x ? 1 , y ? 又q ?

1 5 ( p ? 1)2 ? ,即 p 2 ? 4q ? 4 ? 2 p , 4 4

1 1 5 ? x0 ? p ? 4 ? 2 p ,设 4 ? 2 p ? t ,? x0 ? ? t 2 ? t ? 2 ? ? (t ? 1) 2 ? , 2 2 2
? ?max ?| x0 5 5 |max ,又 x0 ? ,? ?max ? ; 2 2 4
p 2 ? 4 p ? 4 ? p ? | p ? 2 |? 2 ,

? q ? p ? 1,? x0 ? p ?

??min ?|

x0 |min ? 1 . 2

152. (2011 年上海理) 解:⑴ 设 Q( x, x ? 3) 是线段 l : x ? y ? 3 ? 0(3 ? x ? 5) 上一点,则

5 9 | PQ |? ( x ? 1) 2 ? ( x ? 4) 2 ? 2( x ? ) 2 ? (3 ? x ? 5) ,当 x ? 3 时, d ( P, l ) ?| PQ |min ? 5 。 2 2
⑵ 设线段 l 的端点分别为 A, B , 以直线 AB 为 x 轴, 的中点为原点建立直角坐标系, A(?1,0), B(1,0) , 则 AB 点集 D 由如下曲线围成

l1 : y ? 1(| x |? 1), l2 : y ? ?1(| x |? 1) , C1 : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1( x ? ?1), C2 : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1( x ? 1)
其面积为 S ? 4 ? ? 。

47

⑶① 选择 A(1,3), B(1,0), C (?1,3), D(?1,0) , ? ? {( x, y) | x ? 0} ② 选择 A(1,3), B(1,0), C( ?1,3), D( ? ? 。 1, 2)

? ? {( x, y) | x ? 0, y ? 0} ? {( x, y ) | y 2 ? 4 x, ?2 ? y ? 0} ? {( x, y) | x ? y ? 1 ? 0, x ? 1}
③ 选择 A(0,1), B(0,0), C(0,0), D(2,0) 。 ? ? {( x, y) | x ? 0, y ? 0} ? {( x, y) | y ? x,0 ? x ? 1}

?{( x, y) | x 2 ? 2 y ? 1,1 ? x ? 2} ? {( x, y) | 4 x ? 2 y ? 3 ? 0, x ? 2}

y

y C 3 A

C

3

A
y 2.5

B -1 O 1 x
A D B=C 1 2

D -1 O

B 1 x
D -2

x

48


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