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2010高考解答题专题训练一 三角函数与向量

时间:2012-02-22

2010 2010 年高考解答题专题训练一
1.在三角形 ABC 中, ∠A 、 ∠B 、 ∠C 的对边分 别为 a 、 b 、 c ,若 b cos C = (2a ? c)cos B (Ⅰ)求 ∠B 的大小; (Ⅱ)若 b = 7 、a + c = 4 ,求三角形 ABC 的面 积。 3.已知函数

f ( x) = cos 2 x + 2 3 sin x cos x ? sin 2 x
(I)求 f ( x ) 的最小正周期和值域; ( II) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 是

A a, b, c ,若 f ( ) = 2 且 a 2 = bc ,试判断 ?ABC 的 2
形状.

2.已知向量
a = (cos x + 2 sin x, sin x ), b = (cos x ? sin x, 2 cos x ),

4.已知函数 f ( x ) =

设函数 f ( x ) = a ? b . (I) 求函数 f (x ) 的单调递增区间;

sin 2 x ? cos 2 x + 1 2 sin x

(I)求 f (x ) 的定义域; (II)求 f (x ) 的值域; (III) 设α的锐角, tan 且

α
2

=

(II) 求函数 f (x ) 的最大值及取得最大值时 x 的集 合.

1 , 求 f (α ) 的值. 2

三角函数专题训练-1-

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2010 2010 年高考解答题专题训练一
5. ?ABC 内接于以 O 为圆心,1 为半径的圆,且 ⑴求 AB 边的长度; ⑵求

3OA + 4OB + 5OC = 0 .
(1)求数量积 OA ? OB , OB ? OC , OC ? OA ; (2)求 ?ABC 的面积.

sin ( A ? B ) 的值. sin C

8.已知函数

f ( x) =
6.在 ?ABC 中,角 A 、 B 、C 所对的边分别为 a 、

1 1 cos 2 x ? sin x cos x ? sin 2 x. 2 2

b 、 c ,且 cos C =
(Ⅰ)求 sin(C +

π

1 . 5 ) 的值;

(I)求 f (x ) 的最小正周期; (II)求 f (x ) 函数图象的对称轴方程;

4 (Ⅱ)若 CA ? CB = 1 , a + b = 值及 ?ABC 的面积.

37 ,求边 c 的

(III)求 f (x ) 的单调区间.

9.已知函数
f ( x) = m ? n, 其中m = (sin ω x + cos ω x, 3 cos ω x) ,

7.在ΔABC中, AB ? AC = 1, AB ? BC = ?3.

n = (cos ω x ? sin ω x, 2sin ω x), 其中ω > 0, 若f ( x) 相

三角函数专题训练-2-

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2010 2010 年高考解答题专题训练一
邻两对称轴间的距离大于等于 (Ⅰ)求 ω 的取值范围; (Ⅱ)在

π
2

.

(1)求△ ABC 的三边的长; (2)设 P 是△ ABC (含边界)内一点, P 到三边 AC 、

当ω最大时, f ( A) = 1, 求?ABC 的面积.

?ABC中, a, b, c分别是角A, B, C的对边, a = 3, b + c = 3,

BC 、 AB 的距离分别为 x,y 和 z,求 x+y+z 的取值
范围.

12. 已知 a = (1+ cos 2 x , , = 1) b (1, + 3 sin 2 x ) m 10.已知不重合的两个点 P (1, cos x ), Q (cos x,1)





, ] , O 为坐标原点。 4 4 (1)求 OP与OQ 夹角的余弦值 f ( x ) 的解析式及
其值域; (2)求 ?OPQ 的面积 S ( x ) ,并求出其取最大值 时, OP ? OQ 的值。

x ∈ [?

π π

( x , m ∈R) ,且 f (x ) = a · b . (Ⅰ)求函数 y = f (x ) 的最小正周期; (Ⅱ)若 f (x ) 的最大值是 4,求 m 的值,并说明 此时 f (x ) 的图象可由 y = 2 sin( x + 经过怎样的变换而得到.





π
6

) 的图象

13.如图, 在平面四边形 ABCD 中, AB=AD=1, 11 . 在 △ ABC 中 , 已 知 AB · AC =9 , sin B =cos A sin C ,面积 S ?ABC =6.
三角函数专题训练-3-

∠BAD=θ, 而△BCD 是正三角形, (1) 将四边形 ABCD 面积 S 表示为θ的函数;
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2010 2010 年高考解答题专题训练一
(2) 求 S 的最大值及此时θ角的值.
B A

(II)求函数 h( x ) = f ( x ) + g ( x ) 的单调递增区间.

C

D

16
2 2


π

14.已知函数

3 f ( x ) = 3sin ω x cos ω x ? 3 cos ω x + 2sin (ω x ? ) + (ω > 0). 12 12

3 sin 4 x π f ( x) = + a sin 2 x在x = 时 取 到 最 cos 2 x 6
大值. (1)求函数 f(x)的定义域; (2)求实数 a 的值.

(1) 求函数 f ( x ) 值域 (2) 若 对 任 意 的 a ∈ R , 函 数 y = f ( x) 在 上的图象与 y = 1 有且仅有两个不同的交点, 试确定
( a, a + π ]

ω 的值(不必证明)并写出该函数在 [0, π ] 上的单

调区间。

15 . 已 知 函 数

π? ? f ( x) = cos 2 ? x + ? , 12 ? ?

17.已知在△ABC 中, A > B ,且 tan A 与 tan B 是 方程 x 2 ? 5 x + 6 = 0 的两个根. (Ⅰ)求 tan( A + B) 的值; (Ⅱ)若 AB = 5 ,求 BC 的长.

1 g ( x) = 1 + sin 2 x . 2 (I)设 x = x0 是函数 y = f ( x) 图象的一条对称轴,
求 g ( x0 ) 的值.
三角函数专题训练-4-

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2010 2010 年高考解答题专题训练一

18.在 ?ABC 中, cos A = (Ⅰ)求角 C ; (Ⅱ)设 AB =

5 10 , cos B = . 5 10

20.已知 x ∈ R ,向量

OA = (a cos 2 x, 1), OB = (2, 3a sin 2 x ? a ) , f ( x) = OA ? OB , a ≠ 0 . (Ⅰ)求函数 f (x ) 解析式,并求当 a>0 时, f (x ) 的
单调递增区间; (Ⅱ)当 x ∈ [0,

2 ,求 ?ABC 的面积.

π
2

] 时, f (x) 的最大值为 5, a 的值. 求

19.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c, 且 b cos C = 3a cos B ? c cos B. (I)求 cosB 的值; (II)若 BA ? BC = 2 ,且 b = 2 2 ,求 a和c b 的 值.

21.已知向量 a=(tanx,1) ,b=(sinx,cosx) ,

], f ( x) = a·b. 3 (I)求函数 f (x ) 的解析式及最大值;
(II)若 f ( x) = 5 , 求2 sin( π ? x) ? cos(π + x) ? 1 的值.
4 4 4

其中 x ∈ [0,

π

三角函数专题训练-5-

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2010 2010 年高考解答题专题训练一

24. 已知向量 m = (sin B, 1 ? cos B ) , 向量 n = (2, 22.已知 m ∈ R , a = (?1, x 2 + m) , b = (m + 1, 1 ) , x x . c = ( ?m, ) x+m (Ⅰ) m = ?1 时, 当 求使不等式 a ? c < 1 成立的 x 的取值范围; (Ⅱ)求使不等式 a ? b > 0 成立的 x 的取值范围. 0) 且 m 与 n 所成角为 ,

π
3

, 其中 A、 C 是 ?ABC B、

的内角。 (1) 求角 B 的大小; (2) 求 sin A + sin C 的取值范围。

23. 已知函数 f ( x) = sin( x + π ) + sin( x ? π ) + 2 cos 2 x + a ( a ∈ R , a 为常数) . (Ⅰ)求函数 f (x ) 的最小正周期; (Ⅱ)若 f (x ) 在 ??
6 6 2

25. 已知函数 f ( x ) = log 1 (sin x ? cos x ) ,
2

? π π? , 上的最大值与最小值之和 ? 2 2? ?

(1)求它的定义域和值域; (2)求它的单调区 间; (3)判断它的奇偶性; (4)判断它的周期性,如果是周期函数,求出 它的最小正周期。

为 3 ,求 a 的值.

三角函数专题训练-6-

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2010 2010 年高考解答题专题训练一
26.已知函数 28.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、

f ( x) = cos 2 ( x +

1 ), g ( x) = 1 + sin 2 x 12 2

π

c, △ ABC 的 外 接 圆 半 径 R=

3 ,且满足

求 (1)设 x = x0 是函数 y = f (x) 图像的一条对称轴,

cos C 2 sin A ? sin C = . cos B sin B
(1) 求角 B 和边 b 的大小; (2) 求△ABC 的面积的最大值。

g ( x0 ) 的值
(2)求函数 h( x ) = f ( x ) + g ( x ) 的单调递增区间。

27. ?ABC 中,内角 A . B . C 的对边分别为 a . b . c , 已知 a . b . c 成等比数列,且 cos B = (1)求 cot A + cot C 的值; (2)若 BA ? BC

29 已知向量 m = (cos θ ,sin θ ) 和

3 4

新疆 王新敞
奎屯

n = ( 2 ? sin θ , cos θ ), θ ∈ (π , 2π )

=

3 ,求 a + c 的值 2

新疆 王新敞 奎屯

m+n =

8 2 θ π , 求 cos( + ) 的值. 5 2 8

三角函数专题训练-7-

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2010 2010 年高考解答题专题训练一
30. △ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,

tan C =

sin A + sin B , sin( B ? A) = cos C . cos A + cos B

(1)求 A, C ; (2)若 S ?ABC = 3 + 3 ,求 a, c .

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三角函数专题训练-8-

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