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【高考聚焦】2014届高三数学(理)一轮复习对点训练 第13讲 函数模型及其应用 Word版含解析

时间:2013-09-25


第13讲 函数模型及其应用

1.某物体一天中的温度 T(单位:℃)是时间 t(单位:h)的函数:T(t)=t3-3t+60(℃),t =0 表示中午 12:00,其后 t 取值为正,则该物体下午 3 点时的温度为( B ) A. 8 ℃ B. 78 ℃ C. 112 ℃ D. 18 ℃ 解析:据题意,下午 3 时对应的 t=3, 所以 T(3)=78 ℃,故选 B. 2.某旅店有客床 100 张, 各床每天收费 10 元时可全部额满. 若每床每天收费每提高 2 元,则减少 10 张客床租出,这样,为了减少投入多获利,每床每天收费应提高( C ) A.2 元 B.4 元 C.6 元 D.8 元 解析:设每床每天收费提高 2x(x∈N*), 则收入 y=(10+2x)(100-10x)=20(5+x)(10-x), 所以当 x=2 或 3 时,y 取最大值. 当 x=2 时,y=1120,当 x=3 时,y=1120. 为满足减少投入要求应在收入相同的条件下多空出床位,故 x=3,故选 C. 3.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 y 1 3 =- x +81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( C ) 3 A.13 万件 B.11 万件 C.9 万件 D.7 万件 4.某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入客运,据市场分析,每辆客车营运的 总利润 y 万元与营运年数 x (x∈N*)的关系式为 y=-x2+12x-25, 则为使其营运年平均利润 最大,每辆客车营运年数为( C ) A.2 B.4 C.5 D.6 2 y -x +12x-25 解析:平均利润 = x x 25 =12-(x+ ) x ≤12-10=2, 25 当且仅当 x= ,即 x=5 时,等号成立,故选 C. x 5.1 海里约合 1852 m,根据这一关系,米数 y 关于海里 x 的函数解析式为 y= 1852x(x≥0) . 6.某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存 储费用为 4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x= 20 吨. 解析:(方法一)设总费用为 y 万元,则有 400 400 y= · 4+4x≥2 · 4x=160, 4· x x 400 当且仅当 · 4=4x,即 x=20 时,y 取最小值. x (方法二)设总费用为 y 万元,则有 400 1600 y= · 4+4x= +4x(x>0), x x 1600 由 y′=- 2 +4=0,得 x=20. x 所以当 x=20 时,y 取最小值. 7.(2013· 珠海质检)某种细胞在培养过程中正常情况下,时刻 t(单位:分钟)与细胞数 n(单位:个)的部分数据如下:

t 0 20 60 140 n 1 2 8 128 根据表中数据,推测繁殖到 1000 个细胞时的时刻 t 最接近于 200 分钟. t t 解析:由表格中所给数据可以得出 n 与 t 的函数关系为 n=2 ,令 n=1000,得 2 = 20 20 1000,又 210=1024,所以时刻 t 最接近 200 分钟. 8.商场销售某一品牌的羊毛衫,购买人数 n 是羊毛衫标价 x 的一次函数,标价越高, 购买人数越少.已知标价为每件 300 元时,购买人数为零.标价为每件 225 元时,购买人数 为 75 人.若这种羊毛衫的成本价是 100 元/件,商场以高于成本价的相同价格(标价)出售, 问: (1)商场要获取最大利润,羊毛衫的标价应定为每件多少元? (2)通常情况下,获取最大利润只是一种“理想结果”,如果商场要获得最大利润的 75%,那么羊毛衫的标价为每件多少元? 解析:(1)设购买人数为 n 人,羊毛衫的标价为每件 x 元,利润为 y 元, 则 n=kx+b(k<0), ? ? ?0=300k+b ?k=-1 所以? ,所以? , ? ? ?75=225k+b ?b=300 所以 n=-x+300. y=-(x-300)· (x-100)=-(x-200)2+10000,x∈(100,300], 所以 x=200 时,ymax=10000, 即商场要获取最大利润,羊毛衫的标价应定为每件 200 元. (2)由题意得, -(x-300)· (x-100)=10000×75%, 所以 x2-400x+30000=-7500, 所以 x2-400x+37500=0, 所以(x-250)(x-150)=0,所以 x1=250,x2=150. 所以当商场以每件 150 元或 250 元出售时,可获得最大利润的 75%. 9.经市场调查,某城市的一种小商品在过去的近 20 天内的销售量(件)与价格(元)均为 1 时间 t(天)的函数, 且销售量近似满足 g(t)=80-2t(件), 价格近似满足 f(t)=20- |t-10|(元). 2 (1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20)的函数表达式; (2)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值. 解析:(1)y=g(t)· f(t) 1 =(80-2t)· (20- |t-10|) 2 =(40-t)(40-|t-10|) ? ?0≤t<10? ??30+t??40-t? =? . ??40-t??50-t? ?10≤t≤20? ? (2)当 0≤t<10 时,y 的取值范围是[1200,1225]. 在 t=5 时,y 取得最大值为 1225; 当 10≤t≤20 时,y 的取值范围是[600,1200], 在 t=20 时,y 取得最小值为 600. 答:第 5 天,日销售额 y 取得最大值为 1225 元,第 20 天,y 取得最小值 600 元.


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