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江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷

时间:


江苏省(泰州、南通、扬州、宿迁、淮安)五市 2013 届高三 第三次调研测试 数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 已知集合 A
? ? ? 2, ? 1

,B

? ? ? 1,2 ? ,则 A U B ?



. 开始
S ? 0

【答案】 ( ? 2,2 ) 2. 设复数 z 满足 (3 ? 模为 ▲ .
4i) z ? 5 ? 0

( i 是虚数单位) ,则复数 z 的
S ? S ? 400 S≤ 2000

Y

【答案】 1 3. 右图是一个算法流程图,则输出的 S 的值是 【答案】 2 4 0 0 4. “ M
? N

N
输出S



. 开始
(第 3 题)

”是“ lo g 2

M ? lo g 2 N

”成立的



条件.

(从“充要”“充分不必要”“必要不充分”中选择一个正确的填写) , , 【答案】必要不充分 5. 根据某固定测速点测得的某时段内过往的 100 辆 机动车的行驶速度(单位:km/h)绘制的频率分布 直方图如右图所示.该路段限速标志牌提示机动 车辆正常行驶速度为 60 km/h~120 km/h,则该时 段内非正常行驶的机动车辆数为 【答案】 1 5 6. 在平面直角坐标系 x O y 中,抛物线 x 2 点到准线的距离为 【答案】4 ▲ .
? 2 py ( p ? 0)

频率 组距

0.0175 0.0150 0.0100 0.0050 0.0025 40 60 80 100 120 140 速度/ km/h
(第 5 题)





上纵坐标为 1 的一点到焦点的距离为 3,则焦

第 1 页 共 1 页

8 7. 从集合 ?1,2,3,4,5,6,7, ,9 ? 中任取两个不同的数,则其中一个数恰是另一个数的 3 倍的概率为




1 12

【答案】

8. 在平面直角坐标系 x O y 中,设点 P 为圆 C : ( x ? 1) 2 ( a ? R ),则线段 P Q 长度的最小值为 【答案】 9. 函数
5 ? 2

? y ? 4
2

上的任意一点,点 Q (2 a , a y 5

?3

)





f ( x ) ? A sin( ? x ? ? ) ( A ? 0

,?

?0

, 0≤ ? ▲

? 2?) 在 R


?

的部分图象如图所示,则 【答案】 ? 5
3 2

f ( 2 0 1 3) 的值为



1

O

5

11 x

(第 9 题)
? a1 ? 1 .当 a 3

10.各项均为正数的等比数列 ? a n ? 中, a 2 【答案】 2 n ? 1

取最小值时,数列 ? a n ? 的通项公式 an=





11.已知函数

? a x ? 2 x ? 1, ≥ 0, x ? f (x) ? ? 是偶函数,直线 y ? t 2 ? x ? b x ? c, x ? 0 ?
2

与函数 y

? f (x)

的图象自左向右依次交

于四个不同点 A , B , C , D .若 A B 【答案】 ?
7 4

? BC

,则实数 t 的值为





12.过点 P ( ? 1,0 ) 作曲线 C : y

? e

x

的切线,切点为 T1 ,设 T1 在 x 轴上的投影是点 H 1 ,过点 H 1 再作
(n ? N )

曲线 C 的切线,切点为 T 2 ,设 T 2 在 x 轴上的投影是点 H 2 ,?,依次下去,得到第 n ? 1 切点 T n ? 1 .则点 T n ? 1 的坐标为 【答案】 ? n,e n ? 13.在平面四边形 ABCD 中,点 E,F 分别是边 AD,BC 的中点,且 AB ? 1 , E F 若 AD ? BC
uuu uuu r r ? 15 ? 2







,CD ?

3



,则 A C

uuu uuu r r ? BD

的值为





【答案】 1 3

第 2 页 共 2 页

14.已知实数 a1,a2,a3,a4 满足 a1 ? a2 ? a3 ? 范围是 【答案】 二、解答题 15.如图,在四棱锥 P (1)求证: A B
// ? ABCD

0

,a1a42 ? a2a4 ? a2 ?

0

,且 a1 ? a2 ? a3,则 a4 的取值




5 , ?1 ? 2 5

? ? 1 ?2

?
中,底面 A B C D 是矩形,四条侧棱长均相等.

平面 P C D ;
?

(2)求证:平面 P A C

平面 A B C D .
P

证明: (1)在矩形 A B C D 中, A B // C D , 又 AB
CD ? ?

平面 P C D ,

平面 P C D ,
//

所以 A B

平面 P C D .

???6 分
A D
O

(2)如图,连结 B D ,交 A C 于点 O ,连结 P O ,
B 在矩形 A B C D 中,点 O 为 A C , D 的中点,
B

(第 15 题)

C

又 PA 故 PO 又 AC

? PB ? PC ? PD ? AC

, , ???9 分

, PO ,

? BD

I BD ? O

A C, D ? B

平面 A B C D , 平面 A B C D , ???12 分

所以 P O 又 PO
?

?

平面 P A C ,
?

所以平面 P A C

平面 A B C D .

???14 分

16.在△ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b ,c.已知 (1)求角 B 的大小; (2)设 T
? sin A ? sin B ? sin C
2 2 2

sin C b ?a ?c ? 2 2 2 2 sin A ? sin C c ?a ?b
2 2

2



,求 T 的取值范围.

解: (1)在△ABC 中,

第 3 页 共 3 页

sin C b ?a ?c ?2 ac cos B c c o sB sin C c o s B ? 2 ? ? ? 2 2 2 sin A ? sin C ?2 ab cos C b cos C sin B c o s C c ?a ?b
2 2 2



???3 分

因为 sin C 所以 2 sin 因为 sin 因为 0 ? (2) T
2

?0

,所以 sin B co s C

? 2 sin A co s B ? sin C co s B

, , ???5 分

A cos B ? sin B cos C ? sin C cos B ? sin( B ? C) ? sin A

A?0

,所以 c o s B ,所以 B
2 2

?
π 3

1 2

, ???7 分

B ? π

?


1 3 1 (1 ? co s 2 A ) ? ? (1 ? co s 2 C ) 2 4 2

? sin A ? sin B ? sin C ?
?

7 1 7 1 4π ? (co s 2 A ? co s 2 C ) ? ? ? co s 2 A ? co s ? 2A ? ? 4 2 4 2? 3 ? ?
3 7 1 1 7 1 π ? cos 2 A ? sin 2 A ? ? cos 2 A ? 4 2 2 2 4 2 3
? A? 2π 3

?

?

?

?

?

?

?

???11 分

因为 0 故π

,所以 0

? 2A ?

4π 3



3

? 2A ?

π 5π ? 3 3

,因此 ? 1 ≤

cos 2 A ?

?

π 3

??

1 2

, ???14 分

所以 3
2

?T ≤

9 4



17.某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示:图 1 是单层玻璃,厚度为 8 mm;图 2 是双层中空玻璃, 厚度均为 4 mm,中间留有厚度为 x 的空气隔层.根据热传导知识,对于厚度为 d 的均匀介质, 两侧的温度差为 ? T ,单位时间内,在单位面积上通过的热量 Q
? k? ?T d

,其中 k 为热传导系数.

假定单位时间内,在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等. (注:玻璃的热传导系 数为 4 ? 1 0 ? 3
J ? mm/ C
?

,空气的热传导系数为 2 .5 ? 1 0 ? 4

J ? mm/ C

?

. )

(1)设室内,室外温度均分别为 T1 , T 2 ,内层玻璃外侧温度为 T1? ,外层玻璃内侧温度为 T 2 ? , 且 T1
? T1? ? T 2 ? ? T 2 .试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过

的热量(结果用 T1 , T 2 及 x 表示) ; (2)为使双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的 4%,应如何设计
x

的大小?

第 4 页 共 4 页

墙 T1 8 室内 墙 图1
(第 17 题)

墙 T2 T1 4 室外 室内 墙 图2
T 1? T 2?

T2 4 室外

x

解: (1)设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量分别为 Q 1 , Q 2 , 则 Q1
? 4 ? 10
?3

?

T1 ? T 2 8

?

T1 ? T 2 2 000
?4


? T1? ? T 2 ? x ? 4 ? 10
?3

???2 分
? T2? ? T2 4

Q2 ? 4 ? 10

?3

?

T1 ? T1? 4

? 2 .5 ? 1 0

???6 分

?

T1 ? T1? 4 ?3 4 ? 10

?

T1? ? T 2 ? x ?4 2 .5 ? 1 0

?

T2? ? T2 4 ?3 4 ? 10

?

T1 ? T1? ? T1? ? T 2 ? ? T 2 ? ? T 2 4 x 4 ? ? ?3 ?4 ?3 4 ? 10 2 .5 ? 1 0 4 ? 10

?

T1 ? T 2 4 000 x ? 2 000

. ,
? 12

???9 分

(2)由(1)知 当
1 ? 2x ? 1
? 12

Q2 Q1

?

1 2x ? 1

4%时,解得 x

(mm) . ???14 分

答:当 x

mm 时,双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的 4%.

18.如图,在平面直角坐标系 x O y 中,椭圆 x 2
a

2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的右焦点
C

y

为 F (1,0 ) ,离心率为
A E

2 2

. .

分别过 O ,F 的两条弦 A B ,C D 相交于点 E (异于 A ,C 两

点) ,且 O E

? EF

O

F

D

x

B

第 5 页 共 5 页 (第 18 题)

(1)求椭圆的方程; (2)求证:直线 A C , B D 的斜率之和为定值.

(1)解:由题意,得 c 从而 b 2
2

? 1,e ?
2

c ? a

2 2

,故 a

?

2



? a ? c ?1,
2

所以椭圆的方程为 x

2

? y

2

?1.

① ② ,③
2 2k
2k
2

???5 分

(2)证明:设直线 A B 的方程为 y 直线 C D 的方程为 y

? kx



? ? k ( x ? 1)

???7 分
2

由①②得,点 A , B 的横坐标为 ?
?

?1


2

由①③得,点 C , D 的横坐标为

2(k
2

? 1)

2k
k k 记 A ( x1, x1 ) , B ( x 2,k x 2 ) , C ( x 3, (1 ?

?1


x 4 )) ,

???9 分

x 3 ))

k , D ( x 4, (1 ?

则直线 A C , B D 的斜率之和为
k x1 ? k (1 ? x 3 ) x1 ? x 3 ? k? ? k x 2 ? k (1 ? x 4 ) x2 ? x4 ( x1 ? x 3 )( x 2 ? x 4 ) 2 ( x1 x 2 ? x 3 x 4 ) ? ( x1 ? x 2 ) ? ( x 3 ? x 4 ) ( x1 ? x 3 )( x 2 ? x 4 )
2

( x1 ? x 3 ? 1)( x 2 ? x 4 ) ? ( x1 ? x 3 )( x 2 ? x 4 ? 1)

? k?

???13 分

2 2 ( k ? 1) ? ? ?2 4k 2? ? ??0? 2 2 2 2k ? 1 ? 2k ? 1 ? 2k ? 1 ? k ? ( x1 ? x 3 )( x 2 ? x 4 )

? 0



???16 分

19.已知数列 ? a n ? 是首项为 1,公差为 d 的等差数列,数列 ? b n ? 是首项为 1,公比为 q ( q 数列. (1)若 a 5
? b5

? 1)

的等比

,q

? 3

,求数列 ? a n

? b n ? 的前 n

项和;

第 6 页 共 6 页

(2)若存在正整数 k ( k≥ 2 ) ,使得 a k 解: (1)依题意, a 5 故d
? 5 ?1

? bk
4

.试比较 a n 与 b n 的大小,并说明理由.

? b5 ? b1 q
?

5 ?1

? 1 ? 3 ? 81 ,

a 5 ? a1

81 ? 1 ? 20 4

, ,
n ?1

所以 a n 令 Sn

? 1 ? 20( n ? 1) ? 20 n ? 19

???3 分 ,
? (20 n ? 19) ? 3
n

? 1 ? 1 ? 21 ? 3 ? 41 ? 3 ? ? ? ? ? (20 n ? 19) ? 3
2

① , ②

则 3S n

?

1 ? 3 ? 21 ? 3 ? ? ? ? ? (20 n ? 39) ? 3
2

n ?1

① ? ②得, ? 2 S n

? 1+20 ? ?3 ? 3 ? ? ? ? ? 3
2

n ?1

? ? (20 n ? 19) ? 3 ,
n
n

? 1+20 ?

3(1 ? 3

n ?1

)

1? 3
n

? (20 n ? 19) ? 3

? (29 ? 20 n) ? 3 ? 29
(20 n ? 29) ? 3 ? 29
n

, ???7 分

所以 S n (2)因为 a k

?

2



? bk


k ?1

所以 1 ? ( k 故 an 又 bn

? 1) d ? q
q

,即 d ,

?

q

k ?1

?1

k ?1



k ?1

? 1 ? ( n ? 1)
n ?1

?1

k ?1

? q


? q ? 1? ? ?1 ? ( n ? 1) k ?1 ? ? ?
k ?1

???9 分

所以 b n

? an ? q

n ?1

?

n ?1 k ?1 1 ? ( k ? 1) ? q ? 1 ? ? ( n ? 1) ? q ? 1? ? ? k ?1?

?

q ?1

? ( k ? 1) ? q n ? 2 ? q n ? 3 ? ? ? ? ? q ? 1 ? ? ( n ? 1) ? q k ? 2 ? q k ? 3 ? ? ? ? ? q ? 1 ? ? ? k ?1?

???11 分 (ⅰ)当 1 ?
n ? k

时,由 q

?1知

bn ? a n ?

q ?1

? ( k ? n ) ? q n ? 2 ? q n ? 3 ? ? ? ? ? q ? 1 ? ? ( n ? 1) ? q k ? 2 ? q k ? 3 ? ? ? ? ? q n ? 1 ? ? ? k ?1?

第 7 页 共 7 页

?

q ?1

? ( k ? n )( n ? 1) q k ?1?
( q ? 1) q
2 n?2

n?2

? ( n ? 1)( k ? n ) q

n ?1

? ?

? ?
? 0

( k ? n )( n ? 1)

k ?1


?1知

???13 分

(ⅱ)当 n

? k

时,由 q
q ?1

bn ? a n ? ?

? ( k ? 1) ? q n ? 2 ? q n ? 3 ? ? ? ? ? q k ? 1 ? ? ( n ? k ) ? q k ? 2 ? q k ? 3 ? ? ? ? ? q ? 1 ? ? ? k ?1? q ?1 ? ( k ? 1)( n ? k ) q k ?1?
2 k?2
k ?1

? ( n ? k )( k ? 1) q

k?2

? ?

? ( q ? 1) q
? 0

(n ? k )

, 时, a n
? bn

综上所述,当 1 ?

n ? k

;当 n

? k

时, a n

? bn

;当 n

? 1, k

时, a n

? bn



???16 分 (注:仅给出“ 1 ?
n ? k

时, a n

? bn

;n

? k

时, a n

? bn

”得 2 分. )

20.设

f (x)

是定义在 (0,?
0

?)

的可导函数,且不恒为 0,记 g n ( x ) ?
f (x)

f (x) x
n

(n ? N )
*

.若对定义域内的每

一个 x ,总有 g n ( x ) ? 则称
f (x)

,则称

为“ n 阶负函数” ;若对定义域内的每一个 x ,总有 ? g n ( x ) ?? ≥ 0 ,

为“ n 阶不减函数” ? g n ( x ) ?? 为函数 g n ( x ) 的导函数) ( .
a x
3

(1)若

f (x) ?

?

1 ? x( x ? 0) x

既是“1 阶负函数” ,又是“1 阶不减函数” ,求实数 a 的取值范围;
f (x)

(2)对任给的“2 阶不减函数”

,如果存在常数 c ,使得

f (x) ? c

恒成立,试判断

f (x)



否为“2 阶负函数”?并说明理由. 解: (1)依题意, g 1 ( x ) ? 故 [ g 1 ( x )] ? ? 因为 x
? 0

f (x) x ? 2 x
3

?

a x
4

?

1 x
2

?1

在 (0,?

?)
1 2

上单调递增,
2

?

4a x
5

≥ 0

恒成立,得 a ≤

x



???2 分 ???4 分

,所以 a ≤

0


a x
4

而当 a ≤ 所以 a ≤

0

时, g 1 ( x ) ? .

?

1 x
2

?1? 0

显然在 (0,?

?)

恒成立, ???6 分

0

第 8 页 共 8 页

(2)①先证

f ( x )≤ 0


0

若不存在正实数 x 0 ,使得 g 2 ( x 0 ) ? 假设存在正实数 x 0 ,使得 g 2 ( x 0 ) ? 由题意,当 x 当x
? x0
? 0

,则 g 2 ( x )≤ 0 恒成立. ,则有
f ( x0 ) ? 0 ,

???8 分

0

时, g 2 ? ( x )≥ 0 ,可得 g 2 ( x ) 在 (0,?
? f ( x0 ) x0
2

?)
?x
2

上单调递增, 恒成立,

时,

f (x) x
2

恒成立,即
f ( x0 ) x0
2

f (x) ?

f ( x0 ) x0
2

故必存在 x1 这与

? x0

,使得

f ( x1 ) ?

? x1 ? m
2

(其中 m 为任意常数) ,

f (x) ? c
? 0

恒成立(即

f (x)

有上界)矛盾,故假设不成立,
f ( x )≤ 0

所以当 x ②再证

时, g 2 ( x )≤ 0 ,即 无解:



???13 分

f (x) ? 0

假设存在正实数 x 2 ,使得 则对于任意 x 3
? x2 ? 0

f ( x2 ) ? 0


f ( x2 ) x2
2

,有

f ( x3 ) x3
2

?

? 0

,即有

f ( x3 ) ? 0



这与①矛盾,故假设不成立, 所以
f (x) ? 0

无解, , ???16 分

综上得

f ( x ) ? 0 ,即 g 2 ( x ) ? 0 f (x)

故所有满足题设的

都是“2 阶负函数” .

第 9 页 共 9 页


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