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2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题:第一章§4.2(二)知能演练轻松闯关

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1.如图所示的正四棱台 ABCD A1B1C1D1 中,A1D1 所在的直线与 BB1 所在的直线是 )

A.相交直线 B.平行直线 C.不垂直的异面直线 D.互相垂直的异面直线 解析:选 C.A1D1∥B1C1∥BC,B1BCC1 是梯形,且 BB1 与 B1C1、BC 都不垂直. ∴A1D1 与 BB1 不垂直,且是异面直线. 2.若∠AOB=∠A1O1B1 且 OA∥O1A1,OA 与 O1A1 的方向相同,则下列结论正确的是 ( ) A.OB∥O1B1 且 OB 与 O1B1 的方向相同 B.OB∥O1B1 C.OB 与 O1B1 不平行 D.OB 与 O1B1 不一定平行 解析:选 D.OB 与 O1B1 可以平行,也可以不平行,都能使∠AOB=∠A1O1B1,故选 D. 3.如图,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别为 AA1、AB、 BB1、B1C1 的中点,则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于( ) A.45° B.60° C.90° D.120° 解析: 选 B.连接 A1B、 C1B、 A1C1, 易证∠A1BC1 为异面直线 EF 与 GH 所成的角, 又因为△BC1A1 为等边三角形,所以∠A1BC1=60° . 4.空间四边形的对角线互相垂直且相等,顺次连接这个四边形各边 中点,所组成的四边形是( ) A.梯形 B.矩形 C.平行四边形 D.正方形 解析:选 D.∵BD⊥AC 且 BD=AC, 又 F、E、G、H 分别为中点,

∴FG HG

EH EF

1 BD, 2

1 AC, 2 ∴FG⊥HG 且 FG=HG,

∴四边形 EFGH 为正方形. 5.已知 m,n 为异面直线,m 平面 α,n 平面 β,α∩β=l,则 l( ) A.与 m,n 都相交 B.与 m,n 中至少有一条相交 C.与 m,n 都不相交 D.至多与 m,n 中的一条相交 解析:选 B.法一:若 l 与 m、n 都不相交,则由于 l 与 m 同在 α 内,l 与 n 同在 β 内, 所以 l∥m,l∥n,从而 m∥n,与 m、n 是异面直线矛盾,因此,l 与 m、n 两条直线中至少 有一条相交. 法二:由于 4 个选项只有 1 项符合题意,故还可利用选项间的逻辑关系来筛选答案.若 A 对,则 B 也对,因而有 2 个选项符合题意,矛盾,故可舍去;若 C 对,则 D 也对,因此 C 也应舍去.最后取特例,异面直线 m、n 有可能都与 l 相交,故可排除 D. 6. 若 a, b 是异面直线, b, c 是异面直线, 则直线 a 与直线 c 的位置关系是__________. 解析:

如图,可借助长方体理解, 令 a=CC1,b=A1B1,则 BC,AD,DD1 均满足题目条件, 故直线 a 和直线 c 的位置关系是平行、相交或异面. 答案:平行、相交或异面 7 . (2013· 南昌期中测试 ) 已知 AB ∥ PQ , BC ∥ QR ,∠ ABC = 30° ,则∠ PQR 等于 __________. 解析:根据空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 答案:30° 或 150° 8.如图所示,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,BD 和 B1D1 是正方形 ABCD 和 A1B1C1D1 的对角线.则 (1)∠DBC 的两边与__________的两边分别平行且方向相同; (2)∠DBC 的两边与__________的两边分别平行且方向相反. 解析:(1)因为 B1D1∥BD,B1C1∥BC 且方向相同, 所以∠DBC 的两边与∠D1B1C1 的两边分别平行且方向相同. (2)B1D1∥BD,D1A1∥BC 且方向相反,所以∠DBC 的两边与∠B1D1A1 的两边分别平行 且方向相反. 答案:(1)∠D1B1C1 (2)∠B1D1A1 9.如图,已知 E,F,G,H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB,BC, CD,DA 的中点. (1)求证:E,F,G,H 四点共面; (2)若四边形 EFGH 是矩形,求证:AC⊥BD. 1 证明:(1)∵E、F 分别为 AB、BC 中点,∴EF AC, 2 1 又∵G、H 分别为 CD,AD 中点,∴GH AC,∴EF GH,∴E、F、G、H 四点共面, 2 且四边形 EFGH 为平行四边形. (2)∵E、 H 分别为 AB、 AD 为中点, ∴EH∥BD, 又∵四边形 EFGH 是矩形, ∴EF⊥EH, 又∵EF∥AC,∴AC⊥BD. 10. 如图所示, 在三棱锥 PABC 中, D, E 是 PC 上不重合的两点, F,H 分别是 PA,PB 上的点,且与点 P 不重合.求证:EF 与 DH 是 异面直线. 证明:∵PA∩PC=P,

∴PA,PC 确定一个平面 α. ∵E∈PC,F∈PA,∴E∈α,F∈α, ∴EF α. ∵D∈PC,∴D∈α,且 D?EF. 又 PB∩α=P,H∈PB, ∴H?α,DH∩α=D,且 DH 与 EF 不相交,于是直线 EF 和 DH 是异面直线.

1.如图所示是正三棱锥的展开图(D、E 分别为 PB、PA 的中点),则 在原正三棱锥中,下列说法正确的是( ) A.直线 DE 与 AF 相交成 60° 角 B.直线 DE 与 AC 相交 C.直线 DE 与 AB 异面 D.直线 AF 与 BC 平行 解析:

选 A.将上面的展开图还原成正三棱锥,如图所示,点 F 与点 P 重合, 容易知道在△PDE 中,PD=PE=DE,△PDE 是等边三角形, 故∠PED=60° , 即直线 DE 与 AF 相交成 60° 角. 2.如图所示,在四面体 ABCD 中,E、F 分别是 AC、BD 的中点,若 CD=2AB=2,EF⊥AB,则 EF 与 CD 所成的角等于________.

解析:如图所示,取 H 为 DA 的中点,连接 FH,则 FH∥AB,FH⊥EF.

在 Rt△EFH 中, 1 HE=1,HF= , 2 ∴∠HEF=30° , 即 EF 与 CD 所成的角为 30° . 答案:30° 3.如图所示,P 是△ABC 所在平面外一点,D、E 分别是△PAB、△PBC 的重心. 1 求证:DE∥AC,DE= AC. 3 证明:

连接 PD 并延长交 AB 于 M, 连接 PE 并延长交 BC 于 N, 则 M 为 AB 的中点,N 为 BC 的中点, ∴MN∥AC, PD PE 2 又 = = , DM EN 1 ∴DE∥MN, ∴DE∥AC. DE PD 2 又 = = , MN PM 3 2 1 ∴DE= MN,又因 MN= AC, 3 2 1 ∴DE= AC. 3 4.如图,设 E、F、G、H 依次是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、 AE AH CF CG DA 上的点,且 = =λ, = =μ. AB AD CB CD (1)当 λ=μ 时,求证:四边形 EFGH 是平行四边形; (2)当 λ≠μ 时,求证:①四边形 EFGH 是梯形;②三条直线 EF、HG、 AC 交于一点. AE AH 证明:在△ABD 中, = =λ, AB AD 故 EH λBD.同理 FG μBD. μ 由公理 4 得 EH∥FG,又可得 FG= EH. λ (1)若 λ=μ,则 FG=EH, 故 EFGH 是平行四边形. (2)①若 λ≠μ,则 EH≠FG, 故 EFGH 是梯形. ②在平面 EFGH 中 EF、HG 不平行,必然相交. 设 EF∩HG=O, 则由 O∈EF,EF 平面 ABC,得 O∈平面 ABC. 同理有 O∈HG 平面 ACD. 而平面 ABC∩平面 ACD=AC,所以 O∈AC, 即 EF、HG、AC 交于点 O.


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