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直线与圆高考经典题型归纳(含答案)

时间:2018-07-01

直线与圆高考经典题型归纳
一.选择题 1. (09·湖南重点中学联考)过定点 P ( 2,1) 作直线 l 分别交 x 轴、 y 轴正向于 A、B 两点,若使△ABC(O 为坐标原点)的面积最小,则 l 的方程是 A. x + y ? 3 = 0 D. x + 2 y ? 4 = 0 2. (09·湖北重点中学联考)若 P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25 的弦 AB 的中点,则 直线 AB 的方程是 ( ) A.x-y-3=0 B.2x+y-3=0 C.x+y-1=0 D.2x-y-5=0 3. (09· 陕西) 过原点且倾斜角为 60° 的直线被圆 x 2 + y 2 ? 4 y = 0 所截得的弦长为 (






B. x + 3 y ? 5 = 0

C. 2 x + y ? 5 = 0



A. 3

B.2

C. 6

D.2 3

4. (09· 宁夏海南) 已知圆 C1 : x + 1) 2 + ( y ? 1) 2 =1, C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 = 0 ( 圆 对称,则圆 C2 的方程为 A. ( x + 2) 2 + ( y ? 2) 2 =1 D. ( x ? 2) 2 + ( y ? 2) 2 =1 5.(09·重庆)直线 y = x + 1 与圆 x 2 + y 2 = 1 的位置关系为 ( ) ( ) B. ( x ? 2) 2 + ( y + 2) 2 =1 C. ( x + 2) 2 + ( y + 2) 2 =1

A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 6.(09·重庆)圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为 ( A. x 2 + ( y ? 2) 2 = 1 B. x 2 + ( y + 2) 2 = 1 C. ( x ? 1) 2 + ( y ? 3) 2 = 1



D. x 2 + ( y ? 3) 2 = 1 7. (08·湖北)过点 A(11, 2) 作圆 x 2 + y 2 + 2 x ? 4 y ? 164 = 0 的弦,其中弦长为整数 的共有 A.16 条 ( )

B. 17 条 C. 32 条 D. 34 条

8. (08·北京)过直线 y = x 上的一点作圆 ( x ? 5) 2 + ( y ? 1) 2 = 2 的两条切线 l1,l2 ,当直线

l1,l2 关于 y = x 对称时,它们之间的夹角为
A. 30
o





B. 45

o

C. 60

o

D. 90

o

二.填空题 9. (07·上海)已知 l1 : 2 x + my + 1 = 0 与 l2 : y = 3 x ? 1 ,若两直线平行,则 m 的值 为____________. 10. ( 08 · 天 津 ) 已 知 圆 C 的 圆 心 与 点 P ( ?2,1) 关 于 直 线 y = x + 1 对 称 . 直 线

3 x + 4 y ? 11 = 0 与圆 C 相交于 A, B 两点,且 AB = 6 ,则圆 C 的方程为____________.
11.(09·四川)若⊙ O1 : x + y = 5 与⊙ O2 : ( x ? m) + y = 20( m ∈ R ) 相交于 A、
2 2 2 2

B 两点,且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是

w

.

12.(09·全国)若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y + 1 = 0与l2 : x ? y + 3 = 0 所截得的线段 则 的长为 2 2 , m 的倾斜角可以是: ① 15 案的序号是
o

② 30

o

③ 45 ④ 60 ⑤ 75 其中正确答

o

o

o

.(写出所有正确答案的序号)

13. 09· ( 天津) 若圆 x 2 + y 2 = 4 与圆 x 2 + y 2 + 2ay ? 6 = 0 (a>0) 的公共弦的长为 2 3 , 则 a=___________ . 14. (09·辽宁)已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为_____________. 三.解答题 15. (09·广西重点中学第一次联考)设直线 l 过点 A(2,4) ,它被平行线 x–y +1=0 与 x-y-l=0 所截得的线段的中点在直线 x+2y-3=0 上,求直线 l 的方程.

16. (08·北京)已知菱形 ABCD 的顶点 A,C 在椭圆 x 2 + 3 y 2 = 4 上,对角线 BD 所 在直线的斜率为 1.

1) (Ⅱ)当 ∠ABC = 60 时,求菱形 (Ⅰ)当直线 BD 过点 (0, 时,求直线 AC 的方程;
o

ABCD 面积的最大值.
17. (08·江苏)设平面直角坐标系 xoy 中,设二次函数 f ( x ) = x + 2 x + b ( x ∈ R ) 的
2

图象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为 C.求: (Ⅰ)求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)求圆 C 的方程; (Ⅲ)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论. 18.(08·海淀一模)如图,在平面直角坐标系中,N 为圆 A: ( x + 1) 2 + y 2 = 16 上的

一动点,点 B(1,0) ,点 M 是 BN 中点,点 P 在线段 AN 上,且 MP ? BN = 0. (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)试判断以 PB 为直径的圆与圆 x 2 + y 2 =4 的位置关系,并说明理由. 19. (08·年西城一模)在面积为 9 的 ?ABC 中, tan ∠BAC = ?

建立以 A 点为坐标原点,以 ∠BAC 的平分线所在直线为 x 轴的平面直角坐标系,如图所示. (Ⅰ)求 AB、AC 所在的直线方程; (Ⅱ)求以 AB、AC 所在的直线为渐近线且过点 D 的双曲线的方程; ,求 DE ? DF 的值. (Ⅲ)过 D 分别作 AB、AC 所在直线的垂线 DF、DE(E、F 为垂足) 20.(08·朝阳一模)已知点 A, B 分别是射线 l1 : y = x ( x ≥ 0 ) , l2 : y = ? x

4 ,且 CD = 2 DB .现 3

uuur uuur

( x ≥ 0 ) 上的动点, O 为坐标原点,且 ?OAB
(Ⅱ)过点 N ( 0, 2 ) 作直线 l ,与曲

的面积为定值 2.

(Ⅰ)求线段 AB 中点 M 的轨迹 C 的方程;

线 C 交于不同的两点 P, Q ,与射线 l1 , l2 分别交于点 R, S ,若点 P, Q 恰为线段 RS 的两个三 等分点,求此时直线 l 的方程.

参考答案
一.选择题 1. 答案】D 【答案】 【解析】由题设,可知 S ?ABC = 解析】 解析

1 2 1 ab ,且 + = 1 , 2 a b

∴ ab = a + 2b ≥ 2 a ? 2b = 2 2 ? ab ? 当且仅当 ?

ab ≥ 2 2 ? ab ≥ 8.

?a = 2b ?a = 4 ?? 时, ab = 8 .∴ l 的方程为: ?2b + a = ab ?b = 2

x y + = 1 ? x + 2 y ? 4 = 0. ∴应选D. 4 2
2. 答案】A 【答案】 【解析】由(x-1)2+y2=25 知圆心为 Q(1,0).据 kQP·kAB=-1, 解析】 解析 ∴kAB=-

1 ?1? 0 =1(其中 kQP= =-1). k QP 2 ?1

∴AB 的方程为 y=(x-2)-1=x-3, 即 x-y-3=0.∴ 应选 A. 3. 【答案】D 答案】 【解析】直线方程 y = 解析】 解析

3 x ,圆的方程为: x 2 + ( y ? 2) 2 = 4 3×0?2 ( 3) 2 + (?1) 2
= 1 ,由垂径定理知所求弦长为

∴ 圆心 (0, 2) 到直线的距离 d =

d * = 2 22 ? 12 = 2 3 ,选 D.
4.【答案】B 【答案】

? a ?1 b +1 ? 2 ? 2 ?1 = 0 ? 解析】 ,则依题意,有 ? , 【解析】设圆 C2 的圆心为(a,b) b ?1 ? = ?1 ? a +1 ?
解得 ?

?a = 2 ,对称圆的半径不变,为 1. ?b = ?2

5.【答案】B 答案】 答案 【解析】圆心 (0, 0) 为到直线 y = x + 1 ,即 x ? y + 1 = 0 的距离 d = 解析】

1 2 = , 2 2

而0 < 6.【答案 答案】A 答案

2 < 1 ,选 B. 2

【解法 解法】设圆心坐标为 (0, b) ,则由题意知 (o ? 1) + (b ? 2) = 1 ,解得 b = 2 , 解法
2

故圆的方程为 x 2 + ( y ? 2) 2 = 1 . 7. 答案】C 【答案】 【解析】由已知得圆心为 P(-1,2),半径为 13,显然过 A 点的弦长中最长的是直径,此 解析】 时只有一条,其长度为 26,过 A 点的弦长中最短的是过 A 点且垂直于线段 PA 的弦,也只有 一条,其长度为 10(PA 的长为 12,弦长=2 13 ? 12 =10),而其它的弦可以看成是绕 A
2 2

点不间断旋转而成的,并且除了最长与最短的外,均有两条件弦关于过 A 点的直径对称,所 以所求的弦共有 2(26-10-1)+2=32.故选 C. 8. 答案】C 【答案】 ,半径 【解析】此圆的圆心为 C(5,1) 解析】

r = 2 .设直线 l : y = x 上的点 P 符合要求,连结 PC,则由题意知 PC ⊥ l ,
又 PC =

5 ?1 2

=2 2. 2 .在 Rt?PAC 中,

设 l2 与⊙ C 切于点 A,连结 AC,则 AC =

AC PC

=

1 ,∴ ∠APC = 30° , 2

∴l1 与 l2 的夹角为 60°. 故选 C. 二.填空题 9. 答案】 ? 【答案】

2 3 2 m 1 2 解析】 = ≠ ?m=? . 【解析】 3 ?1 ?1 3

2 2 10.【答案】 x + ( y + 1) = 18 . 【答案】

【解析】圆 C 的圆心与 P(-2,1)关于直线 y=x+1 对称的圆心为(0,-1),设该圆的方程为 解析】

x 2 + ( y + 1) 2 = R 2 . 设 AB 中点为 M,连结 CM、CA,在三角形 CMA 中

3 × 0 + 4 × (?1) ? 11 = 3, 5 又 | AM |= 3, CM = ∴ R 2 = CM + MA = 32 + 32 = 18,
2 2

2 2 故圆的方程为 x + ( y + 1) = 18.

11.【答案】4 【答案】 【解析】由题知 O1 ( 0,0), O 2 ( m ,0) , 解析】 解析 且 5 <| m |< 3 5 ,又 O1 A ⊥ AO 2 , 所以有 m = ( 5 ) + ( 2 5 ) = 25 ? m = ±5 ∴ AB = 2 ?
2 2 2

5 ? 20 = 4. 5

12.【答案】①或⑤ 【答案】 【解析】 解析】 解析 两平行线间的距离为 d =

| 3?1| 1+1

o 由图知直线 m 与 l 1 的夹角为 30 ,l 1 的 = 2,

倾斜角为 45 , 所以直线 m 的倾斜角等于 30 + 45 = 75 或 45 ? 30 = 15 .
o 0 0 o 0 0

o

13.【答案】1 答案】 答案 【解析】由知 x 2 + y 2 + 2ay ? 6 = 0 的半径为 6 + a , 解析】 解析
2

6 + a 2 ? ( ? a ? 1) 2 = ( 3 ) 2 解之得 a = 1 .
14. 答案 ( x ? 1) 2 + ( y + 1) 2 = 2 【答案 答案】 【解析 圆心在 x+y=0 上,结合图象,或者验证 A、 中圆心到两直线的距离等于半径 2 解析】 B 解析 即可. 三.解答题 15. 答案】3x-y-2=0 【答案】 【解析】 由几何的基本的性质,被两平行线所截得的线段的中点一定在 y=x 上,将 解析】 解析 x+2y-3=0 与 y=x 联立构成方程组解得交点的坐标为(1,1)点,又由直线 l 过点 A(2,4) 由两点式得直线 l 的方程为:3x-y-2=0. 16. 解析】 【解析 (Ⅰ)由题意得直线 BD 的方 解析】 程为 y = x + 1 .因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ⊥ BD .于是可设直线 AC 的方程为

y = ?x + n .
由?

? x 2 + 3 y 2 = 4, 2 2 得 4 x ? 6nx + 3n ? 4 = 0 . ? y = ?x + n

因为 A,C 在椭圆上, 所以 ? = ?12n + 64 > 0 ,
2

解得 ?

4 3 4 3 <n< . 3 3

设 A,B 两点坐标分别为 ( x1,y1 ), 2,y2 ) , (x 则 x1 + x2 =

3n 3n 2 ? 4 , x1 x2 = , y1 = ? x1 + n , y2 = ? x2 + n . 2 4 n . 2

所以 y1 + y2 =

所以 AC 的中点坐标为 ?

? 3n n ? ,?. ? 4 4?

由四边形 ABCD 为菱形可知, 点?

? 3n n ? , ? 在直线 y = x + 1 上, ? 4 4?
n 3n = + 1 ,解得 n = ?2 . 4 4

所以

所以直线 AC 的方程为 y = ? x ? 2 , 即x+ y+2 = 0. (Ⅱ)因为四边形 ABCD 为菱形, 且 ∠ABC = 60 ,
o

所以 AB = BC = CA . 所以菱形 ABCD 的面积 S =

3 2 AC . 2
2 2

由(Ⅰ)可得 AC = ( x1 ? x2 ) + ( y1 ? y2 ) =
2

?3n 2 + 16 2

所以 S =

? 4 3 3 4 3? (?3n 2 + 16) ? ? <n< ?. ? ? 4 3 3 ? ?
所以当 n = 0 时,菱形 ABCD 的面积取得最大值 4 3 . 17. 解析 【解析 解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法. (Ⅰ)令 x =0,得抛物线与 y 轴交点是(0,b) ;令 f ( x ) = x + 2 x + b = 0 ,
2

由题意 b≠0 且Δ>0,解得 b<1 且 b≠0.
2 (Ⅱ)设所求圆的一般方程为: x + y + Dx + Ey + F = 0 , 2

令 y =0 得 x + Dx + F = 0 .
2

这与 x + 2 x + b =0 是同一个方程,
2

故 D=2,F= b . 令 x =0 得 y + Ey =0,此方程有一个根为 b,代入得出 E=―b―1.
2

所以圆 C 的方程为

x 2 + y 2 + 2 x ? (b + 1) y + b = 0 .
(Ⅲ)圆 C 必过定点(0,1)和(-2,1) . 证明如下:将(0,1)代入圆 C 的方程, . 左边=0 2 +1 2 +2×0-(b+1)+b=0,右边=0,所以圆 C 必过定点(0,1) 同理可证圆 C 必过定点(-2,1) .

18. 解析】由点 M 是 BN 中点, 【解析 解析】 又 MP ? BN = 0 ,可知 PM 垂直平分 BN.所以|PN|=|PB|,又|PA|+|PN|=|AN|, 所以|PA|+|PB|=4. 由椭圆定义知,点 P 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆. 设椭圆方程为

x2 y2 + = 1, a2 b2

由 2a=4,2c=2,可得 a2=4,b2=3. 动点 P 的轨迹方程为

x2 y2 + = 1. 4 3

(II)设点 P ( x0 , y 0 ), PB 的中点为 Q, 则 Q(

x0 + 1 y 0 , ), 2 2

2 | PB |= ( x0 ? 1) 2 + y0 2 = x0 ? 2 x0 + 1 + 3 ?

3 2 x0 4

=

1 2 1 x0 ? 2 x0 + 4 = 2 ? x0 . 4 2 x0 + 1 y 0 1 , ) ,半径为 r1 = 1 ? x0 , 2 2 4

即以 PB 为直径的圆的圆心为 Q (

2 2 ,半径 r2=2, 又圆 x + y = 4 的圆心为 O(0,0)

又 | OQ |=

(

x0 + 1 2 y0 2 ) ?( ) 2 2

= =

1 2 1 1 1 3 2 x0 + x0 + + (3 ? x0 ) 4 2 4 4 4 1 2 1 1 x0 + x0 + 1 = 1 + x0 . 16 2 4

故|OQ|=r2-r1,即两圆内切.

19. 解析】 【解析 (Ⅰ)设 ∠CAx = α 解析】 则由 tan ∠BAC = tan 2α

2 tan α 4 =? . 2 1 ? tan α 3 Q α 为锐角,∴ tan α = 2 , ∴ AC 所在的直线方程为 y=2x =
AB 所在的直线方程为 y= -2x (Ⅱ)设所求双曲线为 4 x 2 ? y 2 = λ , (λ ≠ 0 )

设 C ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ( x1 > 0, x 2 > 0 ) , 由 CD = 2 DB 可 D?
2

? x1 + 2 x 2 2 x1 ? 4 x 2 ? , ? 3 3 ? ?
2

? x + x 2 ? ? 2 x1 ? 4 x 2 ? ∴ 4? 1 ? ?? ? =λ, 3 ? 3 ? ? ?


32 4 x1 x 2 = λ ,由 tan ∠BAC = ? , 9 3 4 可得 sin ∠BAC = ,又Q AB = 5 x1 , AC = 5 x 2 , ( x1 x 2 > 0 ) 5
1 AB AC sin ∠BAC 2 1 4 = ? 5 ? x1 x2 ? = 2 x1 x2 = 9. 2 5 9 ,代入(1)得 λ = 16 , 2

∴ S ?ABC =

即 x1 x 2 =

x2 y2 ∴双曲线方程为 ? =1 4 16
(Ⅲ)由题设可知 < DE , DF >= π ? ∠BAC ,

∴ cos < DE , DF > = cos(π ? ∠BAC ) = 设点 D 为 ( x0 , y 0 ) ,则

uuur uuur

3 , 5

x0 y ? 0 =1 4 16 2 x0 ? y 0 5

2

2

又点 D 到 AB,AC 所在直线距离

DF =

2 x0 + y 0 5

, DE =

, DE ? DF = DE ? DF ? cos < DE, DF >

uuur uuur

uuur uuur

=

2 x0 ? y 0 5

×

2 x0 + y0 5

3 48 × = . 5 25

20.【解析】 解析】 解析 (I)由题可设 A ( x1 , x1 ) ,

B ( x2 , ? x2 ) , M ( x, y ) ,其中 x1 > 0, x2 > 0 .
x1 + x2 ? ?x = 2 , ? 则? ? y = x1 ? x2 , ? ? 2
∴ S ?OAB =

(1) (2)

∵ ?OAB 的面积为定值 2,

1 1 OA ? OB = 2 2

(

2 x1

)(

2 x2

)

= x1 x2 = 2.

(1)2 ? (2) 2 ,消去 x1 , x2 ,得 x 2 ? y 2 = 2 .
由于 x1 > 0, x2 > 0 ,∴ x > 0 ,所以点 M 的轨迹方程为 x 2 ? y 2 = 2 ( x > 0 ) . (II)依题意,直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y = kx + 2 .

由?

? y = kx + 2,

2 2 ? x ? y = 2,

消去 y 得 1 ? k 2 x 2 ? 4kx ? 6 = 0 ,

(

)

设点 P 、 Q 、 R 、 S 的横坐标分别是 xP 、 xQ 、 xR 、 xP ,∴由 xP , xQ > 0 得

?1 ? k 2 ≠ 0, ? 2 2 ?? = 16k + 24 (1 ? k ) > 0, ? ? x + x = 4k > 0, ? P Q 1? k 2 ? ? xP xQ = ?6 2 > 0, ? 1? k ?

解之得: ? 3 < k < ?1 . ∴ xP ? xQ

=

( xP + xQ ) ? 4 xP xQ =
2

2 6 ? 2k 2 . k 2 ?1

由?

? y = kx + 2, 2 消去 y 得: xR = , 1? k ? y = x, ? y = kx + 2, 2 消去 y 得: xS = , ?1 ? k ? y = ? x,
∴ xR ? xS =

由?

4 . k ?1
2

由于 P, Q 为 RS 的三等分点, ∴ xR ? xS = 3 xP ? xQ . 解之得 k = ?

5 . 3 5 x+2. 3

经检验,此时 P, Q 恰为 RS 的三等分点,故所求直线方程为 y = ?


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