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全国新课标数学高2016级模拟试题8(理)(教师版)

时间:2015-12-21


高 2016 级模拟试题 8(理)
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、选择题(12*5=60 分) 1.已知集合 U ? R ,集合 A ? ? x | ( ) B. A ? B C. CU ? A ? B ? D. CU ? A ? B ?

? ?

x ?1 ? ? 0? , B ? ?x | x ? 1? ,则集合 ?x | x ? 0? 等于 x ?

A. A ? B 2.复数 z ?

1 ( i 是虚数单位) ,则 z 的共轭复数为( ) 1 ? i3 1 1 1 1 A. ? i B. 1 ? i C. ? i D. 1 ? i 2 2 2 2
3.下列有关命题的说法正确的是( ) A.命题“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为:“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ”; B.“ m ? 1 ”是“直线 x ? m y ? 0 和直线 x ? m y ? 0 互相垂直”的充要条件; C.命题“ ?x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R ,均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”; D.命题“已知 x , y 为一个三角形的两内角,若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆命题为真 命题. 4.对于实数 a 和 b ,定义运算 a ? b ,运算原理如右图所示,则式子 ? ? ? ln e 2 的值 为( )

?1? ?2?

?2

A.8

B.10

C.12

D.

3 2
2

5.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,若 c 2 ? ?a ? b? ? 6 , C ? 则 ?ABC 的面积是( A. 3 ) B.

?
3



9 3 2

C.

3 3 2

D.3 3

第 1 页 共 1 页

6.若焦点在 x 在轴上的双曲线 为( )

x2 y2 6 ? ? 1 的离心率为 ,则该双曲线的渐近线方程 2 m 2

A. y ? ?

2 x 2

B. y ? ?2 x

C. y ? ?

1 x 2


D. y ? ? 2 x

7.右图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(

A.1

B.

1 3

C.

1 2

D.

3 2


8.在区间 ?? 1,1? 内随机取两个实数 x , y ,则满足 y ? x 2 ?1 的概率是( A.

2 9

B.

7 9

C.

1 6

D.

5 6

9.已知函数 f ?x ? ? ln 1 ? 9 x 2 ? 3x ? 1, 则 f ?lg 2? ? f ? lg ? =( A. ? 1 B. 0 C. 1 D. 2

?

?

? ?

1? 2?



10. 将函数 y ? sin? 2 x ?

? ?

??

? 所得图象对应的函数 ( ? 的图象向右平移 个单位长度, 2 3?
B.在区间 ?



A.在区间 ?

? ? 7? ? 上单调递减 , ?12 12 ? ?
? ? ?? 上单调递减 , ? 6 3? ?

? ? 7? ? 上单调递增 , ?12 12 ? ?

C.在区间 ??

D.在区间 ??

? ? ?? 上单调递增 , ? 6 3? ?

11. 已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面 AB ? 3, AC ? 4, AB ? AC ,

AA1 ? 12 则球 O 的半径为(
A.



3 17 2

B. 2 10

C.

13 2

D. 3 10

2 12. 设函数 f ?x ? 在 R 上存在导数 f ?? x ? ,?x ? R , 有 f ?? x ? ? f ?x ? ? x , 在 ?0,??? 上

f ??x ? ? x ,若 f ?4 ? m? ? f ?m? ? 8 ? 4m ,则实数 m 的取值范围为(
A. ?? 2,2? B. ?2,??? C. ?0,???



D. ?? ?,?2?? ?2,???

第 2 页 共 2 页

二、填空题(4*5=20 分) 13.已知 sin 2? ?

1 ?? ? ,则 cos2 ? ? ? ? =_________. 3 4? ?

14.某学院的 A, B, C 三个专业共有 1200 名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情 况,拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本,已知该学院的 A 专业有 380 名学生, B 专业有 420 名学生,则在该学院的 C 专业应抽取学生__________名. 15.已知向量 a ? ? 2,1? , a ? b ? 10 , a ? b ? 5 2, 则 b ? __________. 16 . 已 知 函 数 f ?x? ? x 2 ? 2 x, g ?x? ? ax ? 2?a ? 0?, ?x1 ? ?? 1,2?, ?x2 ? ?? 1,2?, 使 得

?

? ?

? ?

?

f ?x1 ? ? g ?x2 ?, 则实数 a 得取值范围是_____________.
三、解答题(12*5=60 分,选做 10 分) 17.设 数 列 ?an ?的 各 项 均 为 正 数 , 它 的 前 数 y?

n 项 和 为 Sn , 点 ?an , S n ? 在 函

1 2 1 1 x ? x ? 的 图 像 上 ; 数 列 ?bn ? 满 足 b1 ? a1 , bn?1 ?an?1 ? an ? ? bn , 其 中 8 2 2

n? N?.
(Ⅰ)求数列 ?an ?和 ?bn ?的通项公式; (Ⅱ)设 cn ?

5 an ? ,求证:数列 ?cn ?的前 n 项和 Tn ? ?n ? N ? . 9 bn

第 3 页 共 3 页

18.某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查, 调 查结果如下表所示:

(Ⅰ)根据表中数据,问是否有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮 食习惯方面有差异”; (Ⅱ)已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生,其中 2 名喜欢甜品,现在从这 5 名学生中随机抽取 3 人,求至多有 1 人喜欢甜品的概率. 附: ? 2 ?

n?n11n22 ? n12 n21 ? . n1? n2? n?1n? 2
2

第 4 页 共 4 页

19 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 正 方 形 A DE F 与 梯 形 ABCD 所 在 平 面 互 相 垂 直 ,

AD ? CD, AB // CD, AB ? AD ?

1 CD ? 2 ,点 M 在线段 EC 上且不与 E , C 重合. 2

(Ⅰ)当点 M 是 EC 中点时,求证: BM // 平面ADEF ;

(Ⅱ) 当平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角的余弦值为 的体积.

6 时, 求三棱锥 M ? BDE 6

第 5 页 共 5 页

20. (本小题满分 12 分) 如图,DP ? x 轴, 点 M 在 DP 的延长线上, 且 DM ? 2 DP , 当点 P 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上运动时.

(Ⅰ)求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 T ?0, t ? 作圆 x 2 ? y 2 ? 1 的切线 l 交曲线 C 于 A , B 两点,求 ?AOB 面积 S 的最大值和相应的点 T 的坐标.

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ?x ? ? ln x ? a(1 ? x) . (Ⅰ)讨论 f ?x ? 的单调性; (Ⅱ)当 f ?x ? 有最大值,且最大值大于 2a ? 2 时,求 a 的取值范围.

第 6 页 共 6 页

选做:三选一做 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲. 如图, 在正 ?ABC 中, 点 D, E 分别在边 BC, AC 上, 且 BD ? 相交于点 P .

1 1 BC , CE ? CA ,AD, BE 3 3

求证: (Ⅰ)四点 P, D, C , E 共圆; (Ⅱ) AP ? CP .

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程.

1 ? ?x ? 1 ? 2 t, ? x ? cos? , ? 已知直线 l : ? ( t 为参数) ,曲线 C1 : ? ( ? 为参数) . ? y ? sin ? , ? y ? 3 t. ? 2 ?
(Ⅰ)设 l 与 C1 相交于 A, B 两点,求 AB ; (Ⅱ)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的

1 3 倍,纵坐标压缩为原来的 倍, 2 2

得到曲线 C2 ,设点 P 是曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

第 7 页 共 7 页

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲. 已知函数 f ?x? ? 2x ? a ? a . (Ⅰ)若不等式 f ?x ? ? 6 的解集为 ?x | ?2 ? x ? 3?,求实数 a 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若存在实数 n 使 f ?n? ? m ? f ?? n? 成立,求实数 m 的取值 范围.

第 8 页 共 8 页

参考答案 1.D 【解析】由题 A= ? x |

? ?

x ?1 ? ? 0? ? ? x | 0 ? x ? 1? , B ? ? x | x ? 1? ,则 A ? B ? ?x | x ? 0? , x ?

?CU ( A ? B) ? ?x | x ? 0? ,故选 D.考点:集合的运算.
2.A 【解析】? z ? 3.D 【解析】对于 A,命题“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为:“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ”,故 A 错;对于 B,“ m ? 1 ”是“直线 x ? m y ? 0 和直线 x ? m y ? 0 互相垂直”的充分非必要条 件,故 B 错;对于 C,命题“ ?x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R ,均有

1 1 1? i 1 1 1 1 ? ? ? ? i,? z ? ? i ,故选 A. 3 1 ? i 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ? 2 2 2 2

x2 ? x ? 1 ? 0 ”, 故 C 错;对于 D,命题“已知 x , y 为一个三角形的两内角,若 x ? y ,
则 sin x ? sin y ”的逆命题为“已知 x , y 为一个三角形的两内角,若 sin x ? sin y ,则

x ? y ”,是真命题,故选项 D 正确.
4.C

?a(b ? 1), a ? b 1 2 ? ( )?2 ? 4, 所 以 【 解 析 】 因 为 a ?b = ? , 而 l ne ? 2 2 ?b(a ? 1), b ? a
?1? ? ? ?2?
5.C
?2

?1? 2 ? ? ? ln e = 2 ? ?

?2

? ln e

2

? 1? ? 4 ? 3 ? 12 ,故选 C.

【 解 析 】 ? c ? a ? b ? 2ab ? 6, c ? a ? b ? 2ab cos C ? a ? b ? ab ?ab ? 6 ,
2 2 2 2 2 2 2 2

? S?ABC ?
6.A

1 3 3 3 ab sin C ? 3 ? ,故 C 正确. ? 2 2 2

【解析】由题意可得 a ? 2, b ? m ,因为 e ?
2 2

c2 2 ? m 3 c 6 ? , m ? 1 ,故 ,所以 2 ? ? a 2 2 a 2

渐近线方程为 y ? ? 7.B

b 2 x?? x ,选 A. a 2

第 9 页 共 9 页

【解析】由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥,其底面面积

1 1 S ? 1?1 ? 1 ,高 h ? 1 ,故棱锥的体积 V ? Sh ? ,故选 B. 3 3
8.D 【解析】由题意可得, ?

??1 ? x ? 1 的区域为边长为 2 的正方形,面积为 4,满足 y ? x 2 ?1 ??1 ? y ? 1

的区域为图中阴影部分,

10 10 5 2 面积为 2 ? ? ?1 ? x ?dx ? ,∴满足 y ? x 2 ?1 的概率是 3 ? . ?1 3 4 6
1

9.B 【解析】因为 恒 成 立 , 所 以 函 数 f ? x? 的 定 义 域 为 R , 令 1? 9 x2 ? 3 x? 0

g ? x? ? l n

?
?
? ? ?

2 1? 9 x ? 3 x

?




?1



g ? ? x ? ? ln

1 ? 9 x 2 ? 3 x ? ln

? ?

1 ? 9 x 2 ? 3x


?

? ?g ? x ? , 所 以 g ? x? 为 奇 函 数 , 又
所 以

f ? x ? ? g ? x ? ?1
f ?l
10.B 【解析】将函数 y ? sin? 2 x ? 则 2k? ?

??

1? ?? 2?

?

g

? ? f ??
??

?? ?

2? ?

??

?? f ?

,故选 D l.

f

g

? ?

2? ? ? 向右平移 ,可得 y ? sin(2 x ? ) ,要使函数单调递增 3 3? 2

?
2

? 2x ?

? 7? 2? ? ], k ? Z , ? 2k? ? ,即函数的单调增区间为: [k? ? , k? ? 12 12 3 2

11.C 【解析】由已知条件可知 , 直三棱柱的上下底面是两个相等的小圆所在的平面,且 BC 和

B1 C1 分 别 是 两 小 圆 的 直 径 , 则 BC ? 5 , 设 球 的 半 径 为 R , 则

第 10 页 共 10 页

R?
12.B

(

13 BC 2 AA1 2 5 12 ) ?( ) ? ( )2 ? ( )2 ? ,故选 C. 2 2 2 2 2

1 2 x , 因 为 对 任 意 x ? R, f ? ?x ? ? f ? x ? ? x2 , 所 以 2 1 1 2 g ? ? x ? ? g ? x ? ? f ? ? x ? ? ? ? x ? ? f ? x ? ? x 2 = f ? ? x ? ? f ? x ? ? x2 ? 0 , 所 以 函 数 2 2 1 g ? x ? ? f ? x ? ? x 2 为奇函数;又因为,在 (0,??) 上 f ?( x) ? x ,所以,当时 x ? 0 , 2 1 g? ? x ? ? f ? ? x ? ? x ? 0 即 函 数 g ? x ? ? f ? x ? ? x 2 在 (0,??) 上 为 减 函 数 , 因 为 函 数 2 1 2 1 g ? x ? ? f ? x ? ? x 为奇函数且在 R 上存在导数,所以函数 g ? x ? ? f ? x ? ? x 2 在 R 上为 2 2 1 1 2 2 减 函 数 , 所 以 , g ? 4 ? m? ? g ? m? ? f ? 4 ? m? ? ? 4 ? m? ? f ?m? ? m 2 2
【 解 析 】 设 g ? x? ? f ? x? ?

? f ? 4 ? m? ? f ? m? ? ?8 ? 4m? ? 0 所以,g ? 4 ? m? ? g ? m? ? 4 ? m ? m ? m ? 2 所以,
实数 m 的取值范围为 [ 2,??) . 13.

2 3

? ? ? ?? ?? cos ? 2 ? ? ? ? ? ? 1 cos ? 2? ? ? ? 1 ? 4 ?? ?? sin 2? ? 1 2 2? ? ? ? ? 【解析】 cos 2 ? ? ? ? ? ? ? ? . 4? 2 2 2 3 ?
14.40 【解析】 C 专业的学生有 1200 ? 380 ? 420 ? 400 , 由分层抽样原理, 应抽取120 ? 名. 15.5 【解析】 因为 a ? b ? a ? b ? 2a ? b ? 50, 又 a ? ? 2,1? ? a ? 5 , 所以 b ? 25 ? b ? 5 . 16. ?3,??? 【解析】∵函数 f ? x? ? x ? 2 x 的图象是开口向上的抛物线,且关于直线 x ? 1 对称,∴
2

400 ? 40 1200

? ?2

? 2 ?2

? ?

?

?2

?

x1 ?[?1, 2] 时, f ? x ? 的最小值为 f ?1? ? ?1 ,最大值为 f ? ?1? ? 3 ,可得 f ? x1 ? 值域为

, ??13 ? ,又∵ g ? x? ? ax ? 2 ? a ? 0? , x2 ???1, 2?,∴g(x)为单调增函数, g ? x2 ? 值域为
? a2 a? ? 2 ∵ ?x1 ? ?? 1,2?, ?x2 ? ?? 1,2?, , 使 得 2 ? ?? 2 ? , ? g ? ?1?,g ? 2 ? ? ? , 即 g? x

第 11 页 共 11 页

?2 ? a ? ?1 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,∴ ? ? a ? 3 ,故选 a ? 3 . ? 2a ? 2 ? 3
17. (Ⅰ) an ? 4n ? 2 ; bn ? 2 ? ? ? 【解析】 (Ⅰ)由已知条件得 S n ?

?1? ?4?

n ?1

; (Ⅱ)详见解析

1 2 1 1 an ? an ? , ① 8 2 2 1 2 1 1 当 n ? 2 时, S n ?1 ? an ?1 ? an ?1 ? , ② 8 2 2 1 2 1 1 2 2 ①-②得: an ? an ? an ?1 ? ?an ? an ?1 ? ,即 an ? an ?1 ? ?an ? an ?1 ??an ? an ?1 ? , 8 2 4

?

?

∵数列 ?an ?的各项均为正数,∴ an ? an?1 ? 4 ( n ? 2 ) , 又 a1 ? 2 ,∴ an ? 4n ? 2 ;∵ b1 ? a1 , bn?1 ?an?1 ? an ? ? bn ,

b 1 ?1? ∴ b1 ? 2, n ?1 ? ,∴ bn ? 2 ? ? ? bn 4 ?4?
(Ⅱ)∵ cn ?

n ?1



an ? ?2n ? 1?4n ?1 , bn
2 n ?2

∴ Tn ? 1? 3? 4 ? 5 ? 4 ? ... ? ? 2n ? 3? ? 4

? ? 2n ?1? ? 4n?1 ,

4Tn ?

4 ? 3? 42 ? ... ? ? 2n ? 5? ? 4n?2 ? ? 2n ? 3? ? 4n?1 ? ? 2n ?1? ? 4n ,

两式相减得: ? 3Tn ? 1 ? 2 4 ? 42 ? L ? 4n?1 ? ?2n ? 1?4n ? ? ∴ Tn ?

?

?

5 ? 5? 5 ? ? 2n ? ? ? 4n ? ? , 3 ? 3? 3

5 . 9

18. (Ⅰ)有 95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异; (Ⅱ)

7 7 10 10
【解析】解: (Ⅰ)将 2 ? 2 列联表中的数据代入公式计算,得

n?n n ? n n ? 100? ?60?10 ? 20?10? 100 ? ? 11 22 12 21 ? ? ? 4.762 n1? n2? n?1n?2 70? 30? 80? 20 21
2 2

由于 4.762 ? 3.814 ,所以有 95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方 面有差异. (Ⅱ)从 5 名数学系的学生中任取 3 人的一切肯能结果的所组成的基本事件空间

Q ? { ?a1 , a2 , b1 ? , ?a1 , a2 , b2 ? , ?a1 , a2 , b3 ? , ?a1 , b1 , b2 ? , ?a1, b1 , b3 ? ,

?a1, b2 , b3 ? , ?a2 , b1, b2 ? , ?a2 , b1, b3 ? , ?a2 , b2 , b3 ? , ?b1, b2 , b3 ? } .
第 12 页 共 12 页

其中 a 表示喜欢甜品的学生, i ? 1,2 , b 表示不喜欢甜品的学生, i ? 1,2,3 ,

Q 由 10 个基本事件组成,且这些基本事件的出现是等可能的,
用 A 表示“3 人中至多有 1 人喜欢甜品”这个事件,则

A = { ?a1 , b1 , b2 ? , ?a1, b1, b3 ? ,?a1, b2 , b3 ? ,?a2 , b1, b2 ? ,?a2 , b1, b3 ? ,?a2 , b2 , b3 ? ,?b1, b2 , b3 ? } .
事件 A 是由 7 个基本事件组成,因而 P ? A? ? 19. (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)

7 . 10

4 3

【解析】 (Ⅰ)证明:由题意:以 DA 、DC 、DE 分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐 标系 则 A?2,0,0?, B?2,2,0?, C?0,4,0?, E?0,0,2?, M ?0,2,1? ∴ BM ? ?? 2,0,1? ,面 ADEF 的一个法向量 DC ? ?0,4,0? ∴ BM ? DC ? 0 ,∴ BM ? DC ,即 BM // 面ADEF (Ⅱ)依题意设 M ? 0, t ,2 ?

? ?

? t? ??0 ? t ? 4? ,设面 BDM 的法向量 n1 ? ?x, y, z ? 2?
? ? ? t? ?z ? 0 2?

则 DB ? n1 ? 2 x ? 2 y ? 0, DM ? n1 ? ty ? ? 2 ?

?

令 y ? ?1 ,则 n1 ? ?1,?1,

? ?

2t ? ? ,面 ABF 的法向量 n2 ? ?1,0,0? 4?t ?

1 6 ,解得 t ? 2 ? 6 4?2 n1 ? n2 2? ?4 ? t ?2 1 ∴ M ?0,2,1? 为 BC 的中点, S ?DBM ? S ?CDM ? 2 , B 到面 DEM 的距离 h ? 2 2 1 4 ∴ VM ? BDE ? ? S ?DEM ? h ? 3 3
∵ cos ? n1 , n2 ? ?

n1 ? n2

?

20. (Ⅰ) x ?
2

y2 ?1; (Ⅱ) 0,? 3 或者 0, 3 4

?

?

?

?

【解析】 (Ⅰ)设点 M 的坐标为 ? x, y ? ,点 P 的坐标为 ?x0 , y0 ? , 则 x ? x0 , y ? 2 y0 ,所以 x0 ? x, y0 ?

y , 2



第 13 页 共 13 页

2 2 因为 P ?x0 , y0 ? 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上,所以 x0 ? y0 ?1



将①代入②,得点 M 的轨迹方程 C 的方程为 x ?
2

y2 ?1. 4

(Ⅱ)由题意知, t ? 1. 当 t ? 1 时,切线 l 的方程为 y ? 1 ,点 A、B 的坐标分别为 ? ? 此时 AB ? 3 ,当 t ? ?1 时,同理可得 AB ? 3 ; 当 t ? 1 时,设切线 l 的方程为 y ? kx ? m, k ? R

? ? ?

3 ?? 3 ? ? ,1?, ? ? 2 ,1? , 2 ? ?? ?

? y ? kx ? t , ? 由 ? 2 y2 x ? ? 1. ? 4 ?
得 4 ? k 2 x 2 ? 2ktx ? t 2 ? 4 ? 0

?

?



设 A、B 两点的坐标分别为 ?x1 , y1 ?, ?x2 , y2 ? ,则由③得:

x1 ? x2 ? ?

2kt t2 ? 4 , x x ? . 1 2 4? k2 4? k2

又由 t 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切,得 所以

t k ?1
2

? 1 ,即 t 2 ? k 2 ? 1 .

AB ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y2 ? y1 ?2
4 3t t ?3
2

?

?1 ? k ??
2

? 4k 2t 2 ? ? 4?k

?

2 2

?

?

4 t2 ? 4 4? k2

?

4 ?? ?? ? ?

3t

t ?3
2



因为 AB ?

?

4 3 ? 2 ,且当 t ? ? 3 时, AB ? 2 ,所以 AB 得最大值为 2 3 t? t

2 2 依题意,圆心 O 到直线 AB 的距离为圆 x ? y ? 1 的半径,所以 ?AOB 面积

S?

为 0,? 3 或者 0, 3 . 21. (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) ?0,1?

?

1 AB ?1 ? 1 ,当且仅当 t ? ? 3 时, ?AOB 面积 S 的最大值为 1,相应的 T 的坐标 2

?

?

?

第 14 页 共 14 页

【解析】 (Ⅰ) f ?x ? 的定义域为 ?0,??? , f ?? x ? ?

1 ?a x

若 a ? 0 ,则 f ??x ? ? 0 ,所以 f ?x ? 在 ?0,??? 单调递增 若a ? 0, 则当 x ? ? 0,

? ?

1? ?1 ? ? 1? 当 x ? ? ,?? ? 时,f ??x ? ? 0 , 所以 f ?x ? 在 ? 0, ? ? 时,f ??x ? ? 0 ; a? ?a ? ? a?

单调递增,在 ?

?1 ? ,?? ? 单调递减. ?a ?
1 a

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知, 当a ? 0, 则 f ??x ? ? 0 , 所以 f ?x ? 在 ?0,??? 无最大值; 当 a ? 0 时, f ?x ? 在 x ? 取 得最大值,最大值为 f ? ? ? ln? ? ? a?1 ?

?1? ?a?

?1? ?a?

? ?

1? ? ? ? ln a ? a ? 1 a?

因此 f ? ? ? 2a ? 2 等价于 ln a ? a ? 1 ? 0 令 g ?a ? ? ln a ? a ? 1 ,则 g ?a ? 在 ?0,??? 单调递增, g ?1? ? 0 于是,当 0 ? a ? 1 时, g ?a ? ? 0 ;当 a ? 1 时, g ?a ? ? 0 因此, a 的取值范围是 ?0,1? . 22. (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)详见解析 【解析】证明: (Ⅰ)在 ?ABC 中,由 BD ?

?1? ?a?

1 1 BC , CE ? CA ,知: 3 3

?ABD ? ?BCE , ∴ ?ADB ? ?BEC 即 ?ADC ? ?BEC ? ? .
所以四点 P, D, C , E 共圆; (Ⅱ)如图,

连接 DE . 在 ?CDE 中, CD ? 2CE , ?ACD ? 60? , 由正弦定理知 ?CED ? 90? .
第 15 页 共 15 页

由四点 P, D, C , E 共圆知: ?DPC ? ?DEC , 所以 AP ? CP . 23. (Ⅰ) AB ? 1 ; (Ⅱ)

6 4

?

2 ?1

?

【解析】解: (Ⅰ) l 得普通方程为 y ? 3?x ?1? , C1 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1 . 联立方程组 则 AB ? 1 .

? ?1 3? ? y ? 3 ? x ? 1? , ? ,? ?, l ? ? 解得 与 的交点为 C A 1 , 0 , B ? 2 1 2 ?2 ? 2 x ? y ? 1, ? ? ? ?

? x? ? ? (Ⅱ)C2 的参数方程为 ? ?y ? ? ?
从而点 P 到直线 l 的距离是

1 cos? , ?1 ? 3 2 ?, sin ? ( ? 为参数) , 故点 P 的坐标是 ? cos? , ?2 ? 3 2 ? ? sin ? , 2

d?

3 3 cos? ? sin ? ? 3 2 2 2
? ?

?

3? ?? ? ? 2 sin ?? ? ? ? 2? , ? 4 ? 4? ? ?

由此当 sin ?? ?

??

6 ? ? ?1 时, d 取得最小值,且最小值为 4 4?

?

2 ?1 .

?

24. (Ⅰ) a ? 1 ; (Ⅱ) ?4,??? 【 解 析 】 解: (Ⅰ ) 由 2 x ? a ? a ? 6 得 2 x ? a ? 6 ? a , ∴ a ? 6 ? 2 x ? a ? 6 ? a ,即

a ?3 ? x ? 3, ∴ a ? 3 ? ?2 ,∴ a ? 1 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ?x? ? 2x ?1 ?1 ,令 ? ?n? ? f ?n? ? f ?? n? ,

1 ? ?2 ? 4n, n ? ? 2 ? 1 1 ? 则, ? ?n ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 ? ? 4,? ? n ? 2 2 ? 1 ? 2 ? 4n, n ? ? 2 ?
∴ ? ?n ? 的最小值为 4,故实数 m 的取值范围是 ?4,??? .

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