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14数学全国教师15(理)

时间:2014-10-03


全国 100 所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(十五)
第十五单元 平面解析几何初步
150 分) (120 分钟

第Ⅰ 卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.经过圆 C:(x+1)2+(y-2)2=4 的圆心且倾斜角为 4 的直线方程为 A.x-y+3=0 B.x-y-3=0
答案:C


C.x+y-1=0

D.x+y+3=0

解析:由点斜式得所求直线方程为 y-2=-(x+1),即 x+y-1=0.

2.“a=3”是“直线 ax-2y-1=0 与直线 6x-4y+c=0 平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
答案:B

D.既不充分也不必要条件

解析:若两直线平行,则有 a=3 且 c≠-2,应选 B.

3.已知圆 C:x2+y2-2x-2y=0,且圆中过点(2,3)的最短弦为 AB,则直线 AB 在 x 轴上的截距为 A.-6 B.2 C.4 D.8
3-1 3-0 · =-1,解得 m=8. 2-1 2-

解析:设直线 AB 与 x 轴的交点为(m,0),∵ 圆心坐标为(1,1),∴ 答案:D

4.设直线过点(0,a),其斜率为4,且与圆(x-2)2+y2=4 相切,则正数 a 的值为 A.1 B.2 C.3
3 4

3

D.4
6+4 =2,又 a>0,得 a=1. 5

解析:设切线方程为 y= x+a,即 3x-4y+4a=0.由题意得 答案:A

5.若过定点 M(-1,0)且斜率为 k 的直线与曲线 y= 9-( + 2)2 (0<x<1)有交点,则 k 的取值 范围是 A.(0, 5) B.(- 5,0) C.(0, 13) D.(0,5)

解析:由题意知直线和圆 x2+4x+y2-5=0 在第一象限内的部分有交点,且圆与 x 轴和 y 轴的正半轴的 交点分别为(1,0)、(0, 5),所以 0<k< 5. 答案:A

6.直线 x+(a2+1)y+1=0(a∈R)的倾斜角的取值范围是 A.[ ,π)
π π 3π 4

B.[0, ] D. [4,2∪[ 4 ,π)
1 ≥-1,且 k<0, 2 +1 ππ 3π

π 4

C.[0,4]∪(2,π)

解析:∵ a2+1≥1,,∴ 直线的斜率一定存在,易得直线的斜率 k=∴ 该直线的倾斜角的取值范围是[ 答案:A
3π ,π). 4

7.过点 P(4,2)作圆 x2+y2=4 的两条切线,切点分别为 A、B,O 为坐标原点,则△OAB 的外接 圆方程是 A.(x+4)2+(y+2)2=20 B.(x-4)2+(y-2)2=20 C.(x+2)2+(y+1)2=5 D. (x-2)2+(y-1)2=5
解析:直线 OP 垂直平分线段 AB,直线 y=2 过点 P 且与圆 x2+y2=4 相切,设△OAB 的外接圆的圆心坐 标为(a,b),则 b=1 且 = ,得 a=2,则所求圆的半径 r= 5,所以所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. 答案:D
2 4

8.若☉O:x2+y2=5 与☉O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于 A、B 两点,且两圆在点 A 处的切线互 相垂直,则线段 AB 的长度是 A.2 2 B.2 3 C.3 D.4
解析:∵ 两圆在点 A 处的切线互相垂直,∴ OA⊥O1A. 又|OA|= 5,|O1A|=2 5,∴ |OO1|=5. ∴ AB=2×
||·|1 A| 5×2 5 =2× =4. |1 | 5

答案:D

9.已知☉C 的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,直线 l:4x+3y+c=0(c<-2)与 x、y 轴分别相交于 A、B 两点,点 P(x,y)(xy>0)是线段 AB 上的动点,如果直线 l 与圆 C 相切,则 log3x+log3y 的最大 值为 A.1 B.2 C.3 D.4
4+3+ =1(c<-2),得 c=-12,则 4x+3y=12, 5

解析:∵ 直线 l 与圆 C 相切,∴

∵ xy>0,∴ x>0,y>0,则 4 3≤12,即 xy≤3,∴ log3x+log3y=log3xy≤log33=1. 答案:A

10.在平面直角坐标系 xOy 中,设直线 l:kx-y+1=0 与圆 C:x2+y2=4 相交于 A、B 两点,以 OA、OB 为邻边作平行四边形 OAMB,若点 M 在圆 C 上,则实数 k 等于 A.1 B.2 C.0 D.-1

解析:∵ 四边形 OAMB 为平行四边形,∴ 四边形 OAMB 为菱形,∴ △OAM 为等边三角形,且边长为 2, 则可得弦 AB 的长为 2 3,又直线过定点 N(0,1),且过 N 的弦的弦长最小值为 2 3,此时此弦平行 x 轴, 即 k=0. 答案:C

11.已知三条直线 x-2y+1=0、x-1=0、2x+y-m=0 将圆面(x-1)2+(y-1)2≤1 划分为七部分,则 实数 m 的取值范围是 A.(1,4) B.(2,4) C.(2,3)∪(3,4) D.(1,3)∪(3,4)
解析:直线 x-2y+1=0 与 x-1=0 的交点为(x-1)2+(y-1)2=1 的圆心(1,1),且直线 x-2y+1=0 与 2x+y-m=0 垂直.设直线 x-1=0 与圆(x-1)2+(y-1)2=1 的交点分别为 A、B(A 在 B 的上方),当直线 2x+y-m=0 与线段 AB(A、B 以及圆心(1,1)除外)相交时,圆面被三条直线分成七部分,又 A(1,2)、B(1,0),所以 2<m<4 且 m≠3. 答案:C

12.已知斜率存在且过点 A(-1,0)的动直线 l 与圆 C:x2+(y-3)2=4 相交于 P,Q 两点,M 是 PQ 中点,l 与直线 m:x+3y+6=0 相交于 N,则·等于 A.-6 B.-5 C.-4 D.-2

解析:∵ CM⊥AN,∴ ·=(+)·=·+·=·. 设直线 l 的方程为 y=k(x+1),则由
-5 -5

= ( + 1), -3-6 -5 得 N( , ),则 1+3 1+3 + 3 + 6 = 0
-5 -15

=(1+3,1+3),∴·=·=1+3+1+3=-5.
答案:B

第Ⅱ 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上. 13.两直线 3x+y-2m=0 与 6x+my+1=0 平行,则它们之间的距离为
解析:由两直线平行得 m=2,把 3x+y-3=0 变化为 6x+2y-6=0,则 d=
|1-(-6)| 7 10 = . 20 62 +22 3

.

答案:

7 10 20

14.已知圆 x2+y2-4x+2y+c=0 与 y 轴交于 A、B 两点,圆心为 P,若∠APB=120° ,则 c 的值等 于
答案:-11

.
解析:圆心 P 横坐标为 2,由题意易得圆的半径为 4,即 5-c=16,得 c=-11.

15.过直线 l:y=2x 上一点 P 作圆 C:(x-8)2+(y-1)2=2 的切线 l1、l2,若 l1、l2 关于直线 l 对称, 则点 P 到经过原点和圆心 C 的直线的距离为 .
2-1 1 =- ,解 -8 2

解析:∵ 直线 l 不过圆 C 的圆心,l1,l2 关于直线 l 对称,∴ 直线 PC 与 l 垂直.设点 P(x,2x),则有 得 x=2,即点 P 的坐标为(2,4),又∵ 直线 OC 的方程为 x-8y=0,∴ 点 P 到直线 OC 的距离 d= 答案:
6 65 13

|2-32| 6 65 = . 13 65

16.设有一组圆 Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k∈N*),则下列四个命题: ① 存在一条定直线与所有的圆均相切; ② 存在一条定直线与所有的圆均相交; ③ 存在一条定直线与所有的圆均不 相交; . ④ 所有的圆均不 经过原点. . 其中真命题的序号是 .(写出所有真命题的序号)
解析:∵ 圆 C1 与 C2 是内含关系,故① 错;圆心为(k-1,3k),半径为 2k2,圆心在直线 y=3(x+1)上,所以直 线 y=3(x+1)必与所有的圆相交,② 正确;∵ 圆 Ck 的半径可以无限大,故③ 错;若存在圆过原点(0,0),则有(k+1)2+9k2=2k4?10k2-2k+1=2k4(k∈N*),因为左边为奇数,右边为偶数,故不存在 k 使上式成立,即所有圆均 不过原点,④ 正确. 答案:② ④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤. 17.(本小题满分 10 分) 已知两条直线 l1:ax-by+4=0 和 l2:(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的 a、b 的值. (1)l1⊥l2,且 l1 过点(-3,-1); (2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.
解析:(1)由已知可得 l2 的斜率必存在,∴ k2=1-a. 若 k2=0,则 1-a=0,a=1. ∵ l1⊥l2,∴ 直线 l1 的斜率 k1 必不存在,即 b=0.

∴ 直线 l1 的方程为 x+4=0, 但 l1 不过点(-3,-1),与已知相矛盾, 所以这种情况不存在,即 k2≠0. 若 k2≠0,即 k1、k2 都存在. ∵ k2=1-a,k1= ,l1⊥l2,∴ k1·k2=-1, 即 (1-a)=-1.




又∵ l1 过点(-3,-1),∴ -3a+b+4=0. ② 由① 、② 联立,解得 a=2,b=2.6 分 (2)∵ l2 的斜率存在,l1∥l2,∴ 直线 l1 的斜率存在, ∴ k1=k2,即 =1-a.




又∵ 坐标原点到这两条直线的距离相等,l1∥l2, ∴ l1、l2 在 y 轴上的截距互为相反数,即 =b. 由③ 、④ 联立解得
4



= 2, = 2 , 或 3 = -2 = 2.
2 3

∴ a、b 的值分别为 2、-2 或 、2.10 分

18.(本小题满分 12 分) 已知☉O 的圆心为原点,与直线 x+3y+10=0 相切,☉M 的方程为(x-8)2+(y-6)2=4,过☉M 上任 一点 P 作☉O 的切线 PA、PB,切点为 A、B. (1)若直线 PA 与☉M 的另一交点为 Q,当弦 PQ 最大时,求直线 PA 的直线方程; (2)求·的最大值与最小值.
解析:(1)易得☉O 的方程为 x2+y2=10,由题可知当直线 PA 过圆 M 的圆心(8,6)时,弦 PQ 最大,因为直 线 PA 的斜率一定存在,设直线 PA 的方程为 y-6=k(x-8),又∵ PA 与圆 O 相切,∴ 圆心(0,0)到直线 PA 的距 离为 10,即
|8-6| 1+2

= 10,可得 k= 或 k= ,

1 3

13 9

∴ 直线 PA 的方程为 x-3y+10=0 或 13x-9y-50=0.6 分 (2)设∠AOP=α,且∠AOP=∠BOP,则∠AOB=2α, 则 cos ∠AOB=2cos2α-1=2(
2 20 ) -1= 2-1, 200 2

∴ ·=||·||cos∠AOB=

-10,

∵ |OP|max=10+2=12,|OP|min=10-2=8,

∴ (·)max=-

55 155 ,(·)min=- .12 分 8 18

19.(本小题满分 12 分) 已知圆 C:(x+2)2+y2=4,相互垂直的两条直线 l1、l2 都过点 A(a,0). (1)当 a=2 时,若圆心为 M(1,m)的圆和圆 C 外切且与直线 l1、l2 都相切,求圆 M 的方程; (2)当 a=-1 时,求 l1、l2 被圆 C 所截得弦长之和的最大值,并求此时直线 l1 的方程.
解析:(1)设圆 M 的半径为 r,易知圆心 M(1,m)到点 A(2,0)的距离为 2r, ∴

(1-2)2 + 2 = 2 2 , (1 + 2)2 + 2 = (2 + r)2 ,

解得 r=2 且 m=± 7,∴ 圆 M 的方程为(x-1)2+(y± 7)2=4.5 分 (2)当 a=-1 时,设 l1、l2 被圆 C 所截得弦的中点分别为 E,F,弦长分别为 d1,d2. ∵ 四边形 AECF 是矩形,∴ CE2+CF2=AC2=1,
2 2 即[4-( )2]+[4-( )2]=1,化简得1 +2 =28, 2 2 从而 d1+d2≤ 2· 1 + 2 =2 14,等号成立?d1=d2= 14,

1 2

2 2

∴ d1=d2= 14时,(d1+d2)max=2 14, 即 l1、l2 被圆 C 所截得弦长之和的最大值为 2 14, 此时 d1= 14,显然直线 l1 的斜率存在,设直线 l1 的方程为 y=k(x+1),则
||
2

= 4-(

+1

14 2 ) ,∴k=±1, 2

∴ 直线 l1 的方程为 x-y+1=0 或 x+y+1=0.12 分

20.(本小题满分 12 分) 已知圆 C:(x+4)2+y2=16 和点 F(-6,0),G 是圆 C 上任意一点. (1)若直线 FG 与直线 l:x=-4 交于点 T,且 G 为线段 FT 的中点,求直线 FG 被圆 C 所截得的 弦长; (2)在平面上是否存在定点 P,使得对圆 C 上任意的点 G 有 若不存在,请说明理由.
解析:(1)由题意,设 G(-5,yG),代入(x+4)2+y2=16,得 yG=± 15,
1 = ?若存在,求出点 2

P 的坐标;

所以 FG 的斜率为 k=± 15,FG 的方程为 y=± 15(x+6). 所以 C(-4,0)到 FG 的距离为 d=
15 , 2 15 2 ) =7. ……………………………5 分 2 1 2

直线 FG 被圆 C 截得的弦长为 2 16-(
|| 1 (2)设 P(s,t),G(x0,y0),则由 = 得 || 2

(0 +6)2 +2 0 (0 -s) +(0 -t)
2 2

= ,

2 2 整理得 3(0 +0 )+(48+2s)x0+2ty0+144-s2-t2=0, 2 2 又 G(x0,y0)在圆 C:(x+4)2+y2=16 上,所以0 +0 +8x0=0,

① ②

② 代入① ,得(2s+24)x0+2ty0+144-s2-t2=0,

2 + 24 = 0, 又由 G(x0,y0)为圆 C 上任意一点可知 2 = 0, 144- 2 - 2 = 0,
解得 s=-12,t=0, 所以在平面上存在一定点 P,其坐标为(-12,0).12 分

21.(本小题满分 12 分) 已知以点 C(t, )(t∈R,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O、A,与 y 轴交于点 O、B,其中 O 为 坐标原点. (1)求证:△OAB 的面积为定值; (2)设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M、N,若 OM=ON,求圆 C 的方程.
解析:(1)∵ 圆 C 过原点 O,∴ OC2=t2+ 2 . 设圆 C 的方程是(x-t)2+(y- )2=t2+ 2 , 令 x=0,得 y1=0,y2= ;令 y=0,得 x1=0,x2=2t, ∴ S△OAB= OA× OB= × | |×|2t|=4,即△OAB 的面积为定值.5 分 (2)∵ OM=ON,CM=CN,∴ OC 垂直平分线段 MN. ∵ kMN=-2,∴ kOC= ,∴ 直线 OC 的方程是 y= x, ∴ = t,解得 t=2 或 t=-2,
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 2 4 2 4 4 2

当 t=2 时,圆心 C 的坐标为(2,1),OC= 5, 此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离 d= 圆 C 与直线 y=-2x+4 相交于两点. 当 t=-2 时,圆心 C 的坐标为(-2,-1),OC= 5, 此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离 d= 圆 C 与直线 y=-2x+4 不相交, ∴ t=-2 不符合题意,舍去. ∴ 圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.12 分
9 > 5 1 < 5

5,

5,

22.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系中,方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的圆 M 的内接四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 互相垂直,且 AC 和 BD 分别在 x 轴和 y 轴上. (1)求证:F<0; (2)若四边形 ABCD 的面积为 8,对角线 AC 的长为 2,且·=0,求 D2+E2-4F 的值; (3)设四边形 ABCD 的一条边 CD 的中点为 G,OH⊥AB 且垂足为 H.试判断点 O、G、H 是否共线,并说明理由.
解析:(1)由题意,原点 O 必定在圆 M 内,即点(0,0)代入方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的左边后的值小于 0, 于是 F<0.3 分 (2)四边形 ABCD 的面积 S=
||·|| ,∵ S=8,|AC|=2,可得|BD|=8. 2

又∵ ·=0,∴∠A 为直角. ∵ 四边形是圆的内接四边形,∴ |BD|=2r=8?r=4. 对于方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 所表示的圆,可知 ∴ D2+E2-4F=4r2=64.7 分 (3)设四边形四个顶点的坐标分别为 A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d), 则可得点 G 的坐标为( , ),即 =( , ). 又=(-a,b),且 AB⊥OH,故要使 G、O、H 三点共线,只需证· =0 即可. 而· =
- ,且对于圆 M 的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 2 22 22 2 2 + -F=r2, 4 4

当 y=0 时,可得 x2+Dx+F=0,其中方程的两根分别为点 A 和点 C 的横坐标, 于是有 xAxC=ac=F.

同理,当 x=0 时,可得 y2+Ey+F=0,其中方程的两根分别为点 B 和点 D 的纵坐标, 于是有 yByD=bd=F. ∴ · =
- =0,即 AB⊥OG. 2

故 O、G、H 必定三点共线.12 分


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