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2018学年高二数学湘教版选修1-1同步练习:2-2-2 双曲线的简单几何性质 含解析

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1.双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m=( 1 A.- 4 B.-4 C.4 1 D. 4 ). x2 y2 π 2.已知双曲线 2- =1(a> 2)的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线的离心率为( a 2 3 A. 3 3 2 3 B. 3 4 3 C. 3 3 D. 5 ). xπ2 y2 3.已知双曲线 - =1 的右焦点为 F,若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一 12 4 个交点,则此直线的斜率的取值范围是( A.(- 3 3 , ) 3 3 B.(- 3, 3) ). C.[- 3 3 , ] 3 3 D.[- 3, 3] 4.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 2倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双 曲线的标准方程为( x2 y2 A. - =1 4 4 ). y2 x2 B. - =1 4 4 y2 x2 C. - =1 4 8 x2 y2 D. - =1 8 4 x2 y2 5.设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的虚轴长为 2,焦距为 2 3,则双曲线的渐近线方 a b 程为( ). B.y=± 2x 2 C.y=± x 2 1 D.y=± x 2 A.y=± 2x y2 6.若点 P 在双曲线 x2- =1 上,则点 P 到双曲线的渐近线的距离的取值范围是 9 __________. x2 y2 7.设双曲线 - =1 的右顶点为 A,右焦点为 F,过点 F 平行于双曲线的一条渐近线 9 16 的直线与双曲线交于点 B,则△AFB 的面积为________. 8.双曲线与圆 x2+y2=17 有公共点 A(4,-1),圆在 A 点的切线与双曲线的渐近线平 行,则双曲线的标准方程是__________. x2 9.已知双曲线 C: -y2=1. 2 (1)求双曲线 C 的渐近线方程; (2)已知点 M 的坐标(0,1),P 是双曲线 C 上的点,Q 是点 P 关于原点的对称点,记 λ= MP · MQ ,求 λ 的取值范围. 参考答案 1 1.A ∵曲线 mx2+y2=1 是双曲线,∴m<0,排除选项 C,D;将 m=- 代入已知方 4 x2 程,变为 y2- =1,虚轴长为 4,而实轴长为 2,满足题意,故选 A. 4 2.B ∵a> 2,∴ ∴渐近线 y= ∴ 2 <1. a 2 x 的倾斜角小于 45° . a 2 π 3 =tan = . a 6 3 ∴a= 6,∴c= a2+b2=2 2. c 2 2 2 3 ∴e= = = . a 3 6 3 3.C 由题意知,焦点 F(4,0),双曲线的两条渐近线方程为 y=± x.当过 F 点的直线 3 与渐近线平行时,满足与右支只有一个交点,画出图象,数形结合可知应选 C. ?a=2, ? 2c, 4.B 由方程组?2a+2b= 2· ? 2 2 2 ?a +b =c , 得 a=2,b=2. 又∵双曲线的焦点在 y 轴上, y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 4 4 x2 5.C 由题意知:2b=2,2c=2 3,则可求得 a= 2,则双曲线方程为 -y2=1,故其 2 2 渐近线方程为 y=± x. 2 3 10 6.(0, ] 双曲线的一条渐近线方程是 3x-y=0,由渐近线的性质,知当 P 点是 10 双曲线的一个顶点时,P 点到渐近线的距离最大,双曲线的顶点坐标是(± 1,0), |3-0| 3 10 则 P 点到渐近线的距离的最大值为 = . 10 10 32 7. 15 4 ∵双曲线的渐近线为 y=± x,且 A(3,0),F(5,0), 3 4 ∴直线 BF 的方程为 y= (x-5) (由于两条渐近线关于 x 轴对称, 因此设与任何一渐近线 3 平行的直线均可). x2 1 16 代入双曲线方程,得 - × (x2-10x+25)=1. 9 16 9 17 32 解得 x= ,∴y=- . 5 15 又∵|AF|=c-a=2, 1 1 32 32 ∴S△AFB= |AF|· |y|= ×2× = . 2 2 15 15 x2 y2 1 8. - =1 ∵点 A 与圆心 O 的连线的斜率为- , 255 255 4 16 ∴过点 A 的圆的切线的斜率为 4. ∴双曲线的渐近线方程为 y=± 4x. y2 设双曲线方程为 x2- =λ(λ≠0). 16 ∵点 A(4,-1)在双曲线上, 1 255 ∴16- =λ,∴λ= . 16 16 x2 y2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 255 255 16 x2 2 2 9.解:(1)由 -y2=0,得所求渐近线方程为 y- x=0,y+ x=0. 2 2 2 (2)设点 P 的坐标为(x0,y0), 则点 Q 的坐标为(-x0,-y0). 3 2 2 所以 λ= MP · (-x0,-y0-1)=-x2 MQ =(x0,y0-1)· 0-y0+1=- x0+2. 2 ∵|x0|≥ 2,∴λ 的取值范围是(-∞,-1]. 精品推荐 强力推荐 值得拥有

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