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高中数学人教A版必修四同步课堂第三章 3.1 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

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第 三 章
三 角 恒 等 变 换

读教材·填要点

3.1 两角 和与 差的 正弦 、余 弦和 正切 公式
3.1.3
二倍 角的 正弦、 余弦、 正切 公式

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[读教材·填要点]
二倍角的正弦、余弦、正切公式

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[小问题·大思维] 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式与两角和的正弦、 余弦、正切公式有什么关系? 提示:在两角和的公式中β=α即可得二倍角公式,即二 倍角公式是和角公式的特殊情况.

2.写出由sin α求sin 2α,cos 2α,tan 2α的过程.由sin α
的值怎样求sin 2α,cos 2α,tan 2α?
提示: 先由 sin α 求出 cos α, α, tan 再代入相应公式求解. 也 sin 2α 可以用 cos 2α=1-2sin α,tan 2α= 求 sin 2α 和 tan 2α. cos 2α
2

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[研一题]
[例 1] 求下列各式的值: π 2π (1)cos cos ; 5 5 1 2π (2) -cos ; 2 8 π 1 (3)tan - . 12 π tan 12

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π π 2π 2sin cos cos 5 5 5 [自主解答] (1)原式= π 2sin 5 2π 2π 4π sin cos sin 5 5 5 = = π π 2sin 4sin 5 5 π sin 5 1 = = . π 4 4sin 5

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1-2cos 2cos -1 8 8 (2)原式= =- 2 2 1 π 2 =- cos =- . 2 4 4 π 2π tan -1 1-tan 12 12 (3)原式= =-2· π π tan 2tan 12 12
2





-2 =-2× = =-2 3. π 3 tan 6 3 1
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[悟一法]
1.解决此类问题要根据三角函数式的特征,经过适当变形, 进而利用公式,获得三角函数式的值. 2.解答此类题目要注意角的倍数关系,对“二倍角”应该有 α 3α 广义的理解,如:4α 是 2α 的二倍角,α 是 的二倍角,3α 是 的 2 2 二倍角等.

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[通一类] 1.求sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°的值.
解:原式=sin 6° 48° 24° 12° cos cos cos 24sin 6° 6° 12° 24° 48° cos cos cos cos = 24cos 6° 23sin 12° 12° 24° 48° cos cos cos = 16cos 6° 22sin 24° 24° 48° 2sin 48° 48° cos cos cos = = 16cos 6° 16cos 6° sin 96° cos 6° = = 16cos 6° 16cos 6° 1 = . 16
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[研一题]
[例 2] 已知
? π? 3 π 3π ?α+ ?= , ≤α< ,求 cos 4? 5 2 2 ?

? π? cos?2α+4 ?的值. ? ?

[自主解答]

π 3π 3π π 7π ∵ ≤α< ,∴ ≤α+ < . 2 2 4 4 4

? π? 3π π 7π ?α+ ?>0,∴ <α+ < . ∵cos 4? 2 4 4 ? ? π? ∴sin?α+4 ?=- ? ?

π? 1-cos α+ 4 ? ? ?
2?

?

=-

?3? 4 1-?5?2=- . 5 ? ?

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∴cos

? π? 2α=sin?2α+2 ? ? ?

? π? ? π? =2sin?α+4 ?cos?α+4? ? ? ? ? ? 4? 3 24 =2×?-5?× =- , 25 ? ? 5

sin

? ? π? π? 2? 2α=-cos?2α+2 ?=1-2cos α+4 ? ? ? ? ?

?3? 7 ? ?2 = . =1-2× 5 25 ? ? ? π? ∴cos?2α+4 ?= ? ?

2 2 cos 2α- sin 2α 2 2

2 ? 24 7 ? 31 2 ?- - ?=- = × 25 25 . 2 ? 50 ?
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cos 2α 在本例条件下,求 的值. π sin? -α? 4 π π 解:∵cos( +α)=sin( -α), 4 4
π 3 ∴sin( -α)= . 4 5 24 又由例 2 知 cos 2α=- , 25 24 - 25 cos 2α 24 5 8 ∴ = =- × =- . π 3 25 3 5 sin? -α? 4 5
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[悟一法]
给值求值问题要注意二倍角公式的正用、逆用、变形用, 常见的变形有: 1± 2α=sin2α± sin 2sin αcos α+cos2α=(sin α± α)2, cos 1+cos α=2cos ,1-cos α=2sin , 2 2 1 1 2 cos α= (1+cos 2α),sin α= (1-cos 2α). 2 2
2 2α 2α

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[通一类]
2.已知
?π ? ?π ? 1 f(α)=sin?4 +α?sin?4 -α?= ,求 ? ? ? ? 6

cos 4α 的值.

?π ? ?π ? 解:∵f(α)=sin?4 +α?sin?4-α? ? ? ? ? ?π ? ?π ? =sin?4+α?cos?4+α? ? ? ? ? ? 1 ?π = sin?2+2α? 2 ? ?

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1 = cos 2α 2 1 = . 6 1 ∴cos 2α= , 3 7 cos 4α=2cos 2α-1=- . 9
2

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[研一题]
[例 3] 1+sin α 化简 + 1+cos α- 1-cos α

1-sin α 3 ,α∈(π, π). 2 1+cos α+ 1-cos α 3 π α 3 [自主解答] ∵π<α< π,∴ < < π, 2 2 2 4

∴ 1+cos α= 1-cos α=

? α? 2?cos 2 ?=- ? ?

α 2cos , 2

? α? 2?sin2 ?= ? ?

α 2sin . 2
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1+sin α 1-sin α ∴ + 1+cos α- 1-cos α 1+cos α+ 1-cos α 1+sin α 1-sin α = ? α α? + ? α α? - 2?cos 2 +sin2 ? 2?sin2 -cos2 ? ? ? ? ?
? ? α α?2 α α?2 ?cos +sin ? ?sin -cos ? 2 2? 2 2? ? ? = ? α α? + ? α α? - 2?cos2 +sin2 ? 2?sin2 -cos2 ? ? ? ? ?

α =- 2cos . 2

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[悟一法] 化简三角函数式的常用技巧: ①注意特殊角的三角函数与特殊值的互化. ②对于分式形式,应分别对分子、分母进行变形处理, 有公因式的提取公因式后进行约分.

③对于二次根式,注意倍角公式的逆用.
④注意利用角与角之间的隐含关系. ⑤注意利用“1”的恒等变形.

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[通一类]
6 3. 已知函数 f(x)=2 3sin xcos x+2cos x-1(x∈R). f(x0)= , 若 5
2

?π π? x0∈?4,2 ?,求 ? ?

cos 2x0 的值.

解:∵f(x)=2 3sin xcos x+2cos2x-1 = 3(2sin xcos x)+(2cos2x-1) = 3sin 2x+cos
? π? 2x=2sin?2x+6?, ? ?

? π? 3 ∴sin?2x0+6 ?= . ? ? 5

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?π π? π ?2π 7π? 又∵x0∈?4 ,2 ?,∴2x0+ ∈? 3 , 6 ?. 6 ? ? ? ? ? π? ∴cos?2x0+6 ?=- ? ?

π? 4 ?=- . 1-sin 2x0+6 5 ? ?
2?

?

∴cos

?? π? π ? ?? 2x0=cos? 2x0+6?-6 ? ? ? ?? ?

? ? π? π π? π =cos?2x0+6 ?cos +sin?2x0+6 ?sin 6 6 ? ? ? ?

4 3 3 1 3-4 3 =- × + × = . 5 2 5 2 10

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1 化简:sin αsin β+cos αcos β- cos 2αcos 2β. 2 1 2 2 2 2 [ 解 ] 法 一 : 原 式 = sin αsin β + cos αcos β - (2cos2α - 2
2 2 2 2

1)(2cos2β-1) 1 =sin2αsin2β+cos2αcos2β- (4cos2αcos2β-2cos2α-2cos2β+1) 2 =sin2αsin2β-cos2αcos2β+cos2α+cos2β- 1 2

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=sin2αsin2β+cos2α(1-cos2β)+cos2β- 1 =sin αsin β+cos αsin β+cos β- 2
2 2 2 2 2

1 2

=sin2β(sin2α+cos2α)+cos2β- 1 =sin β+cos β- 2
2 2

1 2

1 1 =1- = . 2 2

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1 法二:原式=sin αsin β+(1-sin α)cos β- cos 2αcos 2β 2
2 2 2 2

1 =cos β-sin α(cos β-sin β)- cos 2αcos 2β 2
2 2 2 2

1 =cos β-sin αcos 2β- cos 2αcos 2β 2
2 2

1 =cos β-cos 2β(sin α+ cos 2α) 2
2 2

1+cos 2β 1 2 = -cos 2β[sin α+ (1-2sin2α)] 2 2 1+cos 2β 1 1 = - cos 2β= . 2 2 2
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1-cos 2α 1-cos 2β 1+cos 2α 1+cos 2β 1 法三:原式= · + · - 2 2 2 2 2 cos 2αcos 2β 1 1 = (1+cos 2αcos 2β-cos 2α-cos 2β)+ (1+cos 2αcos 2β 4 4 1 +cos 2α+cos 2β)- cos 2αcos 2β 2 1 1 1 = + = . 4 4 2

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法四:原式=(sin αsin β-cos αcos β)2+2sin αsin β· αcos cos 1 β- cos 2αcos 2β 2 1 1 =cos (α+β)+ sin 2αsin 2β- cos 2αcos 2β 2 2
2

1 =cos (α+β)- cos(2α+2β) 2
2

1 =cos (α+β)- [2cos2(α+β)-1] 2
2

1 = . 2
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[点评]

在对三角函数作变形时,以上四种方法提供

了四种变形的角度,即分别从“角”的差异,“名”的差异,“
幂”的差异以及“形”的特征四个方面着手研究.这也是研究

其他三角问题时经常要用的变形手法.此外还需熟知对化
简结果的要求.

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