nbhkdz.com冰点文库

高中数学人教A版必修四同步课堂第三章 3.1 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式_图文

时间:

第 三 章
三 角 恒 等 变 换

读教材·填要点

3.1 两角 和与 差的 正弦 、余 弦和 正切 公式
3.1.3
二倍 角的 正弦、 余弦、 正切 公式

课前预习·巧设计

小问题·大思维

考点一
名师课堂·一点通

考点二
考点三 解题高手
NO.1课堂强化

创新演练·大冲关

NO.2课下检测

返回

返回

返回

返回

[读教材·填要点]
二倍角的正弦、余弦、正切公式

返回

[小问题·大思维] 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式与两角和的正弦、 余弦、正切公式有什么关系? 提示:在两角和的公式中β=α即可得二倍角公式,即二 倍角公式是和角公式的特殊情况.

2.写出由sin α求sin 2α,cos 2α,tan 2α的过程.由sin α
的值怎样求sin 2α,cos 2α,tan 2α?
提示: 先由 sin α 求出 cos α, α, tan 再代入相应公式求解. 也 sin 2α 可以用 cos 2α=1-2sin α,tan 2α= 求 sin 2α 和 tan 2α. cos 2α
2

返回

返回

[研一题]
[例 1] 求下列各式的值: π 2π (1)cos cos ; 5 5 1 2π (2) -cos ; 2 8 π 1 (3)tan - . 12 π tan 12

返回

π π 2π 2sin cos cos 5 5 5 [自主解答] (1)原式= π 2sin 5 2π 2π 4π sin cos sin 5 5 5 = = π π 2sin 4sin 5 5 π sin 5 1 = = . π 4 4sin 5

返回

1-2cos 2cos -1 8 8 (2)原式= =- 2 2 1 π 2 =- cos =- . 2 4 4 π 2π tan -1 1-tan 12 12 (3)原式= =-2· π π tan 2tan 12 12
2





-2 =-2× = =-2 3. π 3 tan 6 3 1
返回

[悟一法]
1.解决此类问题要根据三角函数式的特征,经过适当变形, 进而利用公式,获得三角函数式的值. 2.解答此类题目要注意角的倍数关系,对“二倍角”应该有 α 3α 广义的理解,如:4α 是 2α 的二倍角,α 是 的二倍角,3α 是 的 2 2 二倍角等.

返回

[通一类] 1.求sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°的值.
解:原式=sin 6° 48° 24° 12° cos cos cos 24sin 6° 6° 12° 24° 48° cos cos cos cos = 24cos 6° 23sin 12° 12° 24° 48° cos cos cos = 16cos 6° 22sin 24° 24° 48° 2sin 48° 48° cos cos cos = = 16cos 6° 16cos 6° sin 96° cos 6° = = 16cos 6° 16cos 6° 1 = . 16
返回

[研一题]
[例 2] 已知
? π? 3 π 3π ?α+ ?= , ≤α< ,求 cos 4? 5 2 2 ?

? π? cos?2α+4 ?的值. ? ?

[自主解答]

π 3π 3π π 7π ∵ ≤α< ,∴ ≤α+ < . 2 2 4 4 4

? π? 3π π 7π ?α+ ?>0,∴ <α+ < . ∵cos 4? 2 4 4 ? ? π? ∴sin?α+4 ?=- ? ?

π? 1-cos α+ 4 ? ? ?
2?

?

=-

?3? 4 1-?5?2=- . 5 ? ?

返回

∴cos

? π? 2α=sin?2α+2 ? ? ?

? π? ? π? =2sin?α+4 ?cos?α+4? ? ? ? ? ? 4? 3 24 =2×?-5?× =- , 25 ? ? 5

sin

? ? π? π? 2? 2α=-cos?2α+2 ?=1-2cos α+4 ? ? ? ? ?

?3? 7 ? ?2 = . =1-2× 5 25 ? ? ? π? ∴cos?2α+4 ?= ? ?

2 2 cos 2α- sin 2α 2 2

2 ? 24 7 ? 31 2 ?- - ?=- = × 25 25 . 2 ? 50 ?
返回

cos 2α 在本例条件下,求 的值. π sin? -α? 4 π π 解:∵cos( +α)=sin( -α), 4 4
π 3 ∴sin( -α)= . 4 5 24 又由例 2 知 cos 2α=- , 25 24 - 25 cos 2α 24 5 8 ∴ = =- × =- . π 3 25 3 5 sin? -α? 4 5
返回

[悟一法]
给值求值问题要注意二倍角公式的正用、逆用、变形用, 常见的变形有: 1± 2α=sin2α± sin 2sin αcos α+cos2α=(sin α± α)2, cos 1+cos α=2cos ,1-cos α=2sin , 2 2 1 1 2 cos α= (1+cos 2α),sin α= (1-cos 2α). 2 2
2 2α 2α

返回

[通一类]
2.已知
?π ? ?π ? 1 f(α)=sin?4 +α?sin?4 -α?= ,求 ? ? ? ? 6

cos 4α 的值.

?π ? ?π ? 解:∵f(α)=sin?4 +α?sin?4-α? ? ? ? ? ?π ? ?π ? =sin?4+α?cos?4+α? ? ? ? ? ? 1 ?π = sin?2+2α? 2 ? ?

返回

1 = cos 2α 2 1 = . 6 1 ∴cos 2α= , 3 7 cos 4α=2cos 2α-1=- . 9
2

返回

[研一题]
[例 3] 1+sin α 化简 + 1+cos α- 1-cos α

1-sin α 3 ,α∈(π, π). 2 1+cos α+ 1-cos α 3 π α 3 [自主解答] ∵π<α< π,∴ < < π, 2 2 2 4

∴ 1+cos α= 1-cos α=

? α? 2?cos 2 ?=- ? ?

α 2cos , 2

? α? 2?sin2 ?= ? ?

α 2sin . 2
返回

1+sin α 1-sin α ∴ + 1+cos α- 1-cos α 1+cos α+ 1-cos α 1+sin α 1-sin α = ? α α? + ? α α? - 2?cos 2 +sin2 ? 2?sin2 -cos2 ? ? ? ? ?
? ? α α?2 α α?2 ?cos +sin ? ?sin -cos ? 2 2? 2 2? ? ? = ? α α? + ? α α? - 2?cos2 +sin2 ? 2?sin2 -cos2 ? ? ? ? ?

α =- 2cos . 2

返回

[悟一法] 化简三角函数式的常用技巧: ①注意特殊角的三角函数与特殊值的互化. ②对于分式形式,应分别对分子、分母进行变形处理, 有公因式的提取公因式后进行约分.

③对于二次根式,注意倍角公式的逆用.
④注意利用角与角之间的隐含关系. ⑤注意利用“1”的恒等变形.

返回

[通一类]
6 3. 已知函数 f(x)=2 3sin xcos x+2cos x-1(x∈R). f(x0)= , 若 5
2

?π π? x0∈?4,2 ?,求 ? ?

cos 2x0 的值.

解:∵f(x)=2 3sin xcos x+2cos2x-1 = 3(2sin xcos x)+(2cos2x-1) = 3sin 2x+cos
? π? 2x=2sin?2x+6?, ? ?

? π? 3 ∴sin?2x0+6 ?= . ? ? 5

返回

?π π? π ?2π 7π? 又∵x0∈?4 ,2 ?,∴2x0+ ∈? 3 , 6 ?. 6 ? ? ? ? ? π? ∴cos?2x0+6 ?=- ? ?

π? 4 ?=- . 1-sin 2x0+6 5 ? ?
2?

?

∴cos

?? π? π ? ?? 2x0=cos? 2x0+6?-6 ? ? ? ?? ?

? ? π? π π? π =cos?2x0+6 ?cos +sin?2x0+6 ?sin 6 6 ? ? ? ?

4 3 3 1 3-4 3 =- × + × = . 5 2 5 2 10

返回

1 化简:sin αsin β+cos αcos β- cos 2αcos 2β. 2 1 2 2 2 2 [ 解 ] 法 一 : 原 式 = sin αsin β + cos αcos β - (2cos2α - 2
2 2 2 2

1)(2cos2β-1) 1 =sin2αsin2β+cos2αcos2β- (4cos2αcos2β-2cos2α-2cos2β+1) 2 =sin2αsin2β-cos2αcos2β+cos2α+cos2β- 1 2

返回

=sin2αsin2β+cos2α(1-cos2β)+cos2β- 1 =sin αsin β+cos αsin β+cos β- 2
2 2 2 2 2

1 2

=sin2β(sin2α+cos2α)+cos2β- 1 =sin β+cos β- 2
2 2

1 2

1 1 =1- = . 2 2

返回

1 法二:原式=sin αsin β+(1-sin α)cos β- cos 2αcos 2β 2
2 2 2 2

1 =cos β-sin α(cos β-sin β)- cos 2αcos 2β 2
2 2 2 2

1 =cos β-sin αcos 2β- cos 2αcos 2β 2
2 2

1 =cos β-cos 2β(sin α+ cos 2α) 2
2 2

1+cos 2β 1 2 = -cos 2β[sin α+ (1-2sin2α)] 2 2 1+cos 2β 1 1 = - cos 2β= . 2 2 2
返回

1-cos 2α 1-cos 2β 1+cos 2α 1+cos 2β 1 法三:原式= · + · - 2 2 2 2 2 cos 2αcos 2β 1 1 = (1+cos 2αcos 2β-cos 2α-cos 2β)+ (1+cos 2αcos 2β 4 4 1 +cos 2α+cos 2β)- cos 2αcos 2β 2 1 1 1 = + = . 4 4 2

返回

法四:原式=(sin αsin β-cos αcos β)2+2sin αsin β· αcos cos 1 β- cos 2αcos 2β 2 1 1 =cos (α+β)+ sin 2αsin 2β- cos 2αcos 2β 2 2
2

1 =cos (α+β)- cos(2α+2β) 2
2

1 =cos (α+β)- [2cos2(α+β)-1] 2
2

1 = . 2
返回

[点评]

在对三角函数作变形时,以上四种方法提供

了四种变形的角度,即分别从“角”的差异,“名”的差异,“
幂”的差异以及“形”的特征四个方面着手研究.这也是研究

其他三角问题时经常要用的变形手法.此外还需熟知对化
简结果的要求.

返回

返回

返回

返回


高中数学人教A版必修四同步课堂第三章 3.1 3.1.3 二倍....ppt

高中数学人教A版必修四同步课堂第三章 3.1 3.1.3 二倍角的正弦余弦正切公式_数学_高中教育_教育专区。高中数学人教A版必修四同步课堂,福州五佳教育教研中心...

...高中数学必修4教学同步讲练第三章《二倍角的正弦、....doc

人教A版高中数学必修4教学同步讲练第三章二倍角的正弦余弦正切公式...第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦正切公式 3.1.3 一、选择...

...第3章 3.1 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式_图....ppt

2019版高中数学(人教A版 必修4)同步课件:必考部分 第3章 3.1 3.1.3 二倍角的正弦余弦正切公式_数学_高中教育_教育专区。阶段一 阶段三 3.1.3 二倍角的...

高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦、余弦、....doc

高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式课后习题新人教A版必修4_数学_高中教育_教育专区。3.1.3 二倍角的正弦余弦正切公式 一、A ...

高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦、余弦、....doc

高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式课时训练(含解析)新人教A版必修4_数学_高中教育_教育专区。内部文件,版权追溯 3.1.3 二倍角的...

高一数学人教A版必修四课件:第三章 《三角恒等变换》3.....ppt

高一数学人教A版必修四课件:第三章 《三角恒等变换》3.1.3 二倍角的正弦余弦正切公式 课件资料_数学...

...数学(人教A版,必修4)分层测评:3.1.3 二倍角的正弦、....doc

高中数学(人教A版,必修4)分层测评:3.1.3 二倍角的正弦余弦正切公式_数学_高中教育_教育专区。学业分层测评(二十三) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一...

...3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式公开课教学设计....doc

最新高一数学人教A版必修四 3.1.3 二倍角的正弦余弦正切公式公开课教学设计_数学_高中教育_教育专区。§3.1.3 二倍角的正弦余弦正切公式 一、教学目标...

最新新课标人教A版高中数学必修四3.1.3二倍角的正弦、....ppt

最新新课标人教A版高中数学必修四3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式公开课课件_数学_高中教育_教育专区。3.1.3 两倍角的正弦、 余弦正切公式 y A B O ?...

高中数学人教A版必修四全优课堂同步课件3.1.3二倍角的....ppt

高中数学人教A版必修四全优课堂同步课件3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式_数

高中数学(人教版)必修四课时作业:3.1.3二倍角的正弦、....doc

高中数学(人教版)必修四课时作业:3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式(Word版,无答案)_数学_高中教育_教育专区。3.1.3 二倍角的正弦余弦正切公式 1.下列...

人教版高中数学必修4精品3.1.3二倍角的正弦余弦正切公....ppt

人教版高中数学必修4精品3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式_高考_高中教育_教育专区。人教版高中数学必修4精品...

新人教版必修4高中数学3.1.3《二倍角的正弦、余弦、正....doc

人教版必修4高中数学3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式》练习题_数学_高

数学人教A版必修4第三章教案:3.1.3《二倍角的正弦、余....doc

数学人教A版必修4第三章教案:3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式》_数学_高中教育_教育专区。§3.1.3 二倍角的正弦余弦正切公式 一、教学目标 以两角...

2019年人教A版必修4高中数学 3.1.3 二倍角的正弦、余弦....doc

2019年人教A版必修4高中数学 3.1.3 二倍角的正弦余弦正切公式优质课教案_高中教育_教育专区。3.1.3 二倍角的正弦余弦正切公式 整体设计 教学分析 “二...

...课型第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦、余弦、....doc

人教版高中数学探究导学课型第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式课后提升作业必修四_数学_高中教育_教育专区。课后提升作业 二十八 二倍角的...

高中数学必修4教案3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式.doc

高中数学必修4教案3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式_数学_高中教育_教育专区。3.1.3 一、教学目标 二倍角的正弦余弦正切公式 以两角和正弦、余弦和正切...

高一数学《3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式》评估训....doc

高一数学3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式》评估训练新课程(新课标人教A版)必修四_数学_高中教育_教育专区。高一数学3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式...

2019学年人教A版数学必修四《3.1.3二倍角的正弦、余弦....doc

2019学年人教A版数学必修四3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式》评估训练_英语_高中教育_教育专区。(人教版)精品数学教学资料 双基达标 1 A.4 解析 1 B.-...

2019届人教A版数学必修四《3.1.3二倍角的正弦、余弦、....doc

2019届人教A版数学必修四3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式》教案_英语_高中教育_教育专区。2019 届数学人教版精品资料 § 3.1.3 一、教学目标 以两角和...