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广西南宁二中2013届高三第四次月考数学(文科)

时间:2013-03-08


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广西南宁二中 2013 届高三第四次月考 数 学 试 题(文)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1.函数 f ( x) ? 1 ? 2 sin A.
2

? 2

x 的最小正周期是 2
B.π C.2π D.4π





2.函数 f ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? 1是减函数的区间为 A. (2,??) B. (??,2) C. (??,0) D. (0,2)





3.若直线 ax ? 2 y ? 0与直线x ? y ? 1 垂直,则 a= A.-2 4.设 a>1,集合 A ? {x | B.-1 C.1 D.2





x ?1 ? 0}, B ? {x | x 2 ? (1 ? a) x ? a ? 0} 。若 A ? B ,则 a 的取值范围是 3? x
( )

A. 1 ? a ? 3

B. a ? 3

C.a>3

D.1<a<3 )

5.已知 | a |?| b |?, 向量 a与b 的夹角为 120°,且 (a ? b) ? (a ? tb) ,则实数 t 的值为( A.-1 B.1 C.-2 D.2 ( )

6.在下列给定的区间中,使函数 y ? sin( x ? A. [

?
4

) 单调递增的区间是

? ?

, ] 4 2

B. [

?
2

,? ]

C. [ ?

?

,? ] 2 4

?

D. [ ?? ,?

?
2

]
( )

7.已知 {an } 是公比为 q 的等比数列,且 a1 , a3 , a2 成等差数列,则q=

A.-2

1 B. ? 2

1 C.1 或 2 ?
2 2

D.1
2

8. a, c 分别是 ?ABC 角 A, C 所对的边,sin A ? sin B ? sin A ? sin B ? sin C , 设 b, B, 且满足 ab=4, 则 ?ABC 的面积为 A.1 B.2 C. 2 ( )

D. 3

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9.设 a,b 为两条直线, ? , ? 为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是 A.若 a,b 与 ? 所成的角相等,则 a//b B.若 a // ? , b // ? , ? // ? , 则a // b C.若 a ? ? , b ? ? , a // b, 则? // ?





D.若 a ? ? , b ? ? , ? ? ? , 则a ? b

10.在棱长为 2 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 棱 CC1、AD 的中点,O 为底面 ABCD 的中心,则异面直 线 OE 与 FD1 所成角的余弦值为 A. ( )

10 5
4 5

B.

15 5
2 3

C.

D.

11. 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , 过椭圆的右焦点作 x 轴的垂线交椭圆于 A, 两点, OA ? OB ? 0 , B 若 a2 b2
( )

则椭圆的离心率 e 等于

?1? 5 2 A.

B.

?1? 3 2

C.

1 2

D.

3 2

12.已知函数 f (x) 的定义域为 {x | x ? R, 且x ? 1} , f ( x ? 1) 为奇数,当 x<1 时,

f ( x) ? 2x 2 ? x ? 1 ,则当 x>1 时, f (x) 的递减区间
?7 ? ? 4 ,?? ? ? D. ?





A. ? ,?? ?

?5 ?4

? ?

B. ?1, ? 4

? 5? ? ?

C. ?1, ? 4

? 7? ? ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.在等比数列 {an } 中,若 a1 , a10是方程3x 2 ? 2x ? 6 ? 0 的两根,则 a4 ? a7 = 。

?y ? x ? 14.若实数 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值是 ? y ? ?1 ?
15.函数 y ? 3 sin 2 x 的图象按向量 a ? ( ? g(x)的表达式是 。



?
12

,2) 平移的与函数 g(x)的图象重合,则函数

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16.如果不等式 x(4 ? x) ? mx ?0,4? 内的任意实数 x 都成立,则实数 m 的取值范围是 对 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 设函数 f ( x) ? 2 cos2 x ? sin 2 x ? a(a ? R). (1)求函数 f (x) 的最小正周期和单调递增区间; (2)当 x ? [0,



?
6

]时, f ( x) 的最大值为 2,求 a 的值。

18. (本小题满分 12 分)

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如图,等边 ?ABC 与直角梯形 ABCD 所在平面垂直,BD//AE,AE⊥AB, BC=BD= 2AE=2,O 为 AB 的中点。 (1)证明:CO⊥DE; (2)求二面角 C—DE—A 的大小。

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 3x. (1)若 x=3 是 f (x) 的一什极值点,在 f (x) 在区间[1,a]上的最大值和最小值; (2)若 f ( x)在x ? ?1,??? 上单调递增,求实数 a 的取值范围。

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20. (本小题满分 12 分) 过曲线 y ?

1 3 3 2 x ? x ? 19 上任意一点 P(x,y)的切线的斜率为 k ? f (x) ,对任意 n ? N * , 3 2

点 M(n,Sn)都在曲线 y ? f (x) 上,Sn 是数列 {an } 前 n 项的和。 (1)求证:数列 {an } 是等差数列; (2)若 bn ?

4 , Tn 是数列 {bn } 的前项的和,求 Tn . (a n ? 2)a n

21. (本小题满分 12 分) 已知点 N 在过 A(-2,0)且与 x 轴垂直的直线上,点 F(2,0) ,动点 M 满足:

MN ? AN ? 0, | MN |?| MF | .
(1)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (2)过 A 点的直线 l 与曲线 C 交于 P、Q 两点;求证: ?PFQ 被过 F 且与 x 轴垂直的直线平分。

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22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x)与y ? a x ? 1, (a ? 0且a ? 1) 的图象关于直线 y=x 对称, 函数 g (x) 的图象与 f (x) 的图象关于原点对称。 (1)求 f ( x)及g ( x) 的解析式,并注明定义域; (2)若当 x ? ?0,1? 时,总有 f ( x) ? g ( x) ? m 成立,实数 m 的取值范围。

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参考答案
一、选择题 1—5 CDABA 6—10 CCDDB 11—12 AD 二、填空题 13.-2 14.3 15. g ( x) ? 3 sin( 2 x ? 16.m<0 三、解答题 17.解: (1) f ( x) ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? a ? 则 f (x) 的最小正周期 T ? 且当 2k? ? 即 ?k? ?

?
6

)?2

2 sin( 2 x ?

?
4

) ? a ?1

…………4 分

2? ?? |? |

…………5 分

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

(k ? Z ) 时, f (x) 单调递增,
…………7 分

? ?

3? ?? , k? ? ?(k ? Z )为f ( x) 的单调递增区间。 8 8?

(2)当 x ? ?0, 当 2x ?

? 7? ? ?? ? ?时, 4 ? 2 x ? 4 ? 12 ? 6?
?
2 ,即x ?

…………8 分

?
4

?

?
8

时, sin( 2 x ?

?
4

) ?1
…………10 分

? f ( x) max ? 2 ? 1 ? a ? 2,? a ? 1 ? 2
18. (本小题满分 12 分)

解:方法一: (I)证明:因 ?ABC 为等边三角形,且 O 为 AB 中点

? CO ? AB 又? 平面 ABDE⊥平面 ABC ?CO ? 平面 ABDE? DE ? 平面 ABDE ? OC ? DE
…………5 分

(II)解:过 O 作 OK ? DE 于 K,连接 CK,则由三垂线定理得

CK ? DE

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? 所求二面角的平面角为 ?OKC
在正三角形 ABC 中可求得 CO ? 3 , 在直角梯形 ABDE 中可求得 KO ?

3 5 , 5

tan?OKC ?

15 3 15 3
…………12 分

所以所求二面角的大小为 arctan

方法二:以 AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系,则 A(0,-1,0) ,B(0,1,0) C ( 3,0,0) ,D(0,1,2) ,E(0,-1,1) (I)证明: OC ? ( 3,0,0), DE ? (0,?2,?1),?CO ? DE ? 0, …………4 分

? CO ? DE ,

…………7 分

(II)解:显然,面 ABDE 的一个法向量 m ? (1,0,0) ,设面 DCE 的一个法向量

n ? ( x, y, z) ,
则由 n ? EC得 3x ? y ? z ? 0,由n ? DE得2 y ? z ? 0 , 解得 n ? (? 3,1,?2),| cos ? m, n ?|?

6 4
…………12 分

? 所求二面角的大小为 arccos
19. (本小题满分 12 分)

6 4

解: (1)? f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 3 由题有 f ' (3) ? 0 ? a ? 5

…………1 分 …………2 分

3 2 2 故 f ( x) ? x ? 5x ? 3x, 令f ' ( x) ? 3x ? 10x ? 3 ? 0 ? x ? 3 ? [1,5] , (舍去 x ?

1 ) , 3

易知 f (x) 在区间[1,3]上单调递减,在[3,5]上单调递增,而 f (1) ? ?1 ? f (5) ? 15, 故 x ? [1,5]时, f ( x) min ? f (3) ? ?9, f ( x) max ? f (5) ? 15; …………6 分

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(2) f ( x)在x ? ?1,??? 上是单调递增 ? f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 3 ? 0 对任意

x ? ?1,??? 恒成立,分离参数可得 a ?

3 1 ( x ? ), x ? ?1,?? ? , 2 x

?右 ?

3 1 3 ( x ? ) ? ? 2 ? 3 ,等号当且仅当 x=1 时取得, 2 x 2
…………12 分

? a ? 3 ,即 a ? (??,3)
20. (本小题满分 12 分) 解: (1)证明:? y ? 由题意, S n ? n 2 ? 3n

1 3 3 2 x ? x ? 19,? k ? f ( x) ? y ' ? x 2 ? 3x …………2 分 3 2
…………3 分

当 n ? 2时, an ? S n ? S n?1 ? (n 2 ? 3n) ? [(n ? 1) 2 ? 3(n ? 1)] ? 2n ? 2, 当 n=1 时, a1 ? S1 ? 4 也满足上式

? 对任意 n ? N * , 都有an ? 2n ? 2

…………6 分

对于任意 n ? 2 ,都有 an ? an?1 ? (2n ? 2) ? [2(n ? 1) ? 2] ? 2 故数列 {an } 是等差数列。 …………8 分 (2)由(1)知 a n ? 2n ? 2, 则bn ?

4 1 1 1 ……10 分 ? ? ? (a n ? 2)an n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 ? ? Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? …………12 分 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1
21.解: (I)? MN ? AN ? 0 ? MN ? AN ? MN |?| MF | |

? M 点在以 AN;x=-2 为准线,F(2,0)为焦点的抛物线上 …………2 分
∴的轨迹方程为 y 2 ? 8x (II)设直线 l : y ? k ( x ? 2) 由? …………4 分

? y ? k ( x ? 2)
2 ? y ? 8x

得: k x ? (4k ? 8) x ? 4k ? 0
2 2 2 2

要证 ?PEQ 被过 F 且垂直于 x 轴的直线平分 只须证: K PF ? ?KQF 即只需证: K PF ? K QF ? 0 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) 则 …………8 分

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K PF ? K QF ? ?

y1 y2 k ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? k ( x2 ? 2)(x1 ? 2) ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)(x2 ? 2)
…………10 分

k (2 x1 x2 ? 8) ( x1 ? 2)(x2 ? 2)
4K 2 ? 4 ? 2 x1 x 2 ? 8 ? 0 K2

? x1 ? x 2 ?

? K PF ? K QF ? 0
∴命题得证 22. (本小题满分 12 分) 解: (1)由题知 f ( x)与y ? a x ? 1, (a ? 0且a ? 1) 互为反函数, 由 y ? a x ? 1 ? y ? (?1,??) , 其反函数为 f ( x) ? loga ( x ? 1), x ? (?1,??) …………2 分 …………12 分

设 P( x, y)为g ( x) 上的任意点,则点 P( x, y) 关于原点的对称点 (? x,? y ) 必在 f ( x) ? loga ( x ? 1) 上,即 ? y ? loga (? x ? 1) , 于是 g ( x) ? ? loga (? x ? 1), x ? (??,1) , 其中 a ? 0且a ? 1 (2) f ( x) ? g ( x) ? log a ( x ? 1) ? log a (? x ? 1) ? log a 而真数 u ? …………5 分

1? x , …………6 分 1? x

1? x 2 ? ?1 ? , x ? ?0,1? ? u ? ?1,?? ? 1? x 1? x

? x ? ?0,1? 时,总有 f ( x) ? g ( x) ? m 成立,∴必有 a>1,

f ( x) ? g ( x) ? loga u ? loga 1 ? 0 ? m ? ?? ?,0?.

…………12 分


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