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甘肃省会宁县第二中学高中数学选修2-1同步练习 3.2第4课时(新人教A版选修2-1)]

时间:2015-07-05


第3章

3.2

第 4 课时

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 AA1 的中点,则点 A1 到平面 MBD 的距离是 ( ) A. C. 6 a 6 3 a 4 B. D. 30 a 6 6 a 3

解析: 以 D 为原点建立空间直角坐标系,正方体棱长为 a, 1 ? ? 则 A1(a,0,a),A(a,0,0),M?a,0, a?,B(a,a,0),D(0,0,0), 2 ? ? 设 n=(x,y,z)为平面 BMD 的法向量, → → 则 n·BM=0,且 n·DM=0, 1 ? → ? 1 ? → ? 而BM=?0,-a, a?,DM=?a,0, a?. 2 ? 2 ? ? ? 1 -y+ z=0, ? ? 2 所以? 1 x+ z=0, ? ? 2 1 y= z, ? ? 2 所以? 1 x=- z, ? ? 2 → 令 z=2,则 n=(-1,1,2),DA1=(a,0,a), → |DA1·n| 6 则 A1 到平面 BDM 的距离是 d= = a. |n | 6 答案: A 2.如图所示,在几何体 A-BCD 中,AB⊥面 BCD,BC⊥CD,且 AB=BC =1,CD=2,点 E 为 CD 中点,则 AE 的长为( A. 2 C.2 → → → → 解析: AE=AB+BC+CE, ) B. 3 D. 5

→ → → ∵|AB|=|BC|=1=|CE|, → → → → → → 且AB·BC=AB·CE=BC·CE=0. →2 → → → 2 又∵AE =(AB+BC+CE) , →2 ∴AE =3, ∴AE 的长为 3.故选 B. 答案: B 3.若正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面边长为 1,AB1 与底面 ABCD 成 60°角,则 A1C1 到底面

ABCD 的距离为(
A. 3 3

) B.1 D. 3

C. 2 解析:

如图,A1C1∥面 ABCD, 所以 A1C1 到平面 ABCD 的距离等于点 A1 到平面 ABCD 的距离,由 AB1 与面 ABCD 所成的角是 60°,AB=1. ∴BB1= 3. 答案: D 4.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,O 是底面 A1B1C1D1 的中心,则 O 到平面 ABC1D1 的距离是( A. C. 1 2 2 2 ) B. D. 2 4 3 2

解析: 取 B1C1 的中点 E,连结 OE,则 OE∥C1D1. ∴OE∥面 ABC1D1, ∴O 点到面 ABC1D1 的距离等于 E 点到平面 ABC1D1 的距离. 过 E 作 EF⊥BC1,易证 EF⊥面 ABC1D1

EF=

2 2 ,∴点 O 到平面 ABC1D1 的距离为 ,故选 B. 4 4

答案: B 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.如图,P 为矩形 ABCD 所在平面外一点,PA⊥平面 ABCD,若已知 AB=3,AD=4,PA=1, 则点 P 到 BD 的距离为________.

解析: 作 AE⊥BD 于 E,连结 PE, ∵PA⊥面 ABCD. ∴PA⊥BD ∴BD⊥面 PAE

BD⊥PE,
即 PE 的长为点 P 到 BD 的距离 12 在 Rt△PAE 中,AE= , 5

PE=
答案:

?12?2 13 2 1 +? ? = . ?5? 5
13 5

6.如图所示,在直二面角 α -l-β 中,A,B∈l,AC? α ,AC⊥l,BD? β ,BD⊥l,

AC=6,AB=8,BD=24,则线段 CD 的长为________.

解析: ∵AC⊥AB,BD⊥AB,AC⊥BD, → → → → → → ∴AC·AB=0,BD·AB=0,AC·BD=0, → → → → ∵CD=CA+AB+BD, →2 → → → 2 ∴CD =(CA+AB+BD) =676, → ∴|CD|=26. 答案: 26 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中棱长为 1,利用向量法求点 C1 到 A1C 的距离. 解析:

如图所示,以 A 点为坐标原点, 以 AB、AD、AA1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A1(0,0,1),C(1,1,0),C1(1,1,1), → → 所以 A1C 的方向向量为A1C=(1,1, -1), C1 与直线 A1C 上一点 C(1,1,0)的向量CC1=(0,0,1) 1 所以CC1在A1C上的投影为:CC1· =- . → 3 |A1C| → → → 所以点 C1 到直线 A1C 的距离 d= → ?2 ?→ A 1C ? ? |CC1| - CC1· → ? ? |A1C|? ? →
2

A1C





1 6 1- = . 3 3

8.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,棱长为 a,E、F、G 分别是 CC1、A1D1、AB 的中点,求点 A 到平面 EFG 的距离. 解析: 如图建立空间直角坐标系,

? ? ? ? ? ? 则 A(a,0,0),E?0,a, ?,F? ,0,a?,G?a, ,0?, 2? ?2 ? ? ? 2 ?
a a a a? → ?a ∴EF=? ,-a, ?, 2? ?2
→ →

a a? ? EG=?a,- ,- ?,

? ?

2 2

2?

a ? ? GA=?0,- ,0?,

?

设 n=(x,y,z)是平面 EFG 的法向量,

→ ? ?n·E F =0 则? → ? ?n·E G =0



?x-2y+z=0 ? ∴? ?2x-y-z=0 ?



∴x=y=z,可取 n=(1,1,1), → |GA·n| 2 3 ∴d= = = a. |n| 3 6 即点 A 到平面 EFG 的距离为 3 a. 6

a

尖子生题库 ☆☆☆ 9.(10 分)如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,

侧棱 AA1=2,CA=2,D 是 CC1 的中点,试问在 A1B 上是否存在一点 E 使得点 A1 到平面 AED 2 6 的距离为 ? 3 解析: 以点 C 为坐标原点,CA,CB,CC1 所在直线为 x 轴,y 轴和 z 轴,建立如图所示 的空间直角坐标系,

则 A(2,0,0),A1(2,0,2),D(0,0,1),B(0,2,0), → → 设BE=λ BA1,λ ∈(0,1),则 E(2λ ,2(1-λ ),2λ ). → → 又AD=(-2,0,1),AE=(2(λ -1),2(1-λ ),2λ ), 设 n=(x,y,z)为平面 AED 的法向量,

→ ? ?n·A D =0 则? → ? ?n·A E =0

? ?-2x+z=0 ?? ? λ - x+ ?

-λ

y+2λ z=0



1-3λ 取 x=1,则 y= ,z=2, 1-λ

? 1-3λ ,2?. 即 n=?1, ? 1-λ ? ?
→ |AA1·n| 2 6 由于 d= = , |n | 3 ∴ 2 6 = 3 4 ?1-3λ ?2 5+? ? ? 1-λ ?

1 又 λ ∈(0,1),解得 λ = . 2 2 6 所以,存在点 E 且当点 E 为 A1B 的中点时,A1 到平面 AED 的距离为 . 3


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