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湖北省黄冈中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析

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湖北省黄冈中学 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是满足题目要求的. 1. (5 分)某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人, 为了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本,若样本中的青年职工为 7 人,则样本容量为() A.35 B.25 C.15 D.7 2. (5 分)下列各数中最小的数为() A.33(4) B.1110(2) C.122(3) D.21(5)

3. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则其表面积为()

A.2π

B.3π

C . 4π

D.5π

4. (5 分)下列说法中正确的是() A.频率是概率的近似值,随着试验次数增加,频率会越来越接近概率 B. 要从 1002 名学生中用系统抽样的方法选取一个容量为 20 的样本,需要剔除 2 名学生,这 样对被剔除者不公平 C. 根据样本估计总体,其误差与所选取的样本容量无关 D.数据 2,3,4,5 的方差是数据 4,6,8,10 的方差的一半 5. (5 分)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 广告费用 x(万元)4 2 3 5 销售额 y(万元) 49263954 根据上表可得回归方程 = x+ 的 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为() A.63.6 万元 B.65.5 万元 C.67.7 万元 D.72.0 万元

6. (5 分)设 m、n 是不同的直线,α、β 是不同的平面,有以下四个命题: ①若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n; ②若 α⊥β,m∥α,则 m⊥β; ③若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α; ④若 n⊥α,n⊥β,则 β∥α.

其中,真命题的序号是() A.①③ B.①④

C.②③

D.②④

7. (5 分)从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球,那么互斥而不对立的事件是() A.至少有一个红球与都是红球 B. 至少有一个红球与都是白球 C. 至少有一个红球与至少有一个白球 D.恰有一个红球与恰有二个红球 8. (5 分)如图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是 27,则判断框①处应填入 的条件是()

A.n>5

B.n>4

C.n>3

D.n>2

9. (5 分)动点 P 到点 A(8,0)的距离是到点 B(2,0)的距离的 2 倍,则动点 P 的轨迹方 程为() 2 2 2 2 2 2 2 2 A.x +y =32 B.x +y =16 C.(x﹣1) +y =16 D.x +(y﹣1) =16 10. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的最大值为()

A.

B.

C.

D.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置 上. 11. (5 分)空间直角坐标系中与点 P(2,3,5)关于 yoz 平面对称的点的坐标为.

12. (5 分)已知一组数据 1,2,m,4 的平均数是 3,则这组数据的方差为. 13. (5 分)根据如图算法语句,当输出 y 的值为 31 时,输入的 x 值为.

14. (5 分)若曲线 x +y +2x﹣4y+1=0 上的任意一点关于直线 2ax﹣by+2=0(a,b∈R )的对 称点仍在曲线上,则 的最小值是.

2

2

+

15. (5 分)正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是棱 CC1 的中点,F 是侧面 BCC1B1 内的动点, 且 A1F∥平面 D1AE,若正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长是 2,则 F 的轨迹被正方形 BCC1B1 截得的线段长是.

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)如图所示:下列程序框图的输出结果构成了数列{an}的前 10 项. (1)求数列的第 3 项 a3、第 4 项 a4 以及数列的递推公式; (2)证明:数列{an+1}为等比数列;并求数列{an}的通项公式.

17. (12 分)2014-2015 学年高二某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部都介于 13 秒到 18 秒之间,将测试结果按如下方式分成五组,第一组,如图是按上述分组方法得到的频率分 布直方图. (1)若成绩在区间

湖北省黄冈中学 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是满足题目要求的. 1. (5 分)某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人, 为了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本,若样本中的青年职工为 7 人,则样本容量为() A.35 B.25 C.15 D.7 考点: 专题: 分析: 解答: 分层抽样方法. 计算题;概率与统计. 先计算青年职工所占的比例,再根据青年职工抽取的人数计算样本容量即可. 解:青年职工、中年职工、老年职工三层之比为 7:5:3, =15.

所以样本容量为

故选 C. 点评: 本题考查分层抽样的定义和方法,求出每个个体被抽到的概率,用个体的总数乘以 每个个体被抽到的概率,就得到样本容量 n 的值. 2. (5 分)下列各数中最小的数为() A.33(4) B.1110(2) C. 122(3) D. 21(5)

考点: 进位制. 专题: 计算题. 分析: 把各数都转化为十进制数即可比较大小. 解答: 解:33(4)=15,1110(2)=14,122(3)=17,21(5)=11 故选:D. 点评: 本题考查的知识点是不同进制数之间的转换,解答的关键是熟练掌握不同进制之间 数的转化规则. 3. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则其表面积为()

A.2π

B.3π

C . 4π

D.5π

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 根据三视图判断几何体的形状,利用三视图的数据和公式求解几何体的表面积即可. 解答: 解:综合三视图可知,几何体是一个半径 r=1 的半个球体. 且表面积是底面积与半球面积的和, 其表面积 S= =3π.

故选 B. 点评: 本题考查三视图与几何体的直观图的关系,几何体的表面积的求法,考查计算能力 与空间想象能力. 4. (5 分)下列说法中正确的是() A.频率是概率的近似值,随着试验次数增加,频率会越来越接近概率 B. 要从 1002 名学生中用系统抽样的方法选取一个容量为 20 的样本,需要剔除 2 名学生,这 样对被剔除者不公平 C. 根据样本估计总体,其误差与所选取的样本容量无关 D.数据 2,3,4,5 的方差是数据 4,6,8,10 的方差的一半 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 概率与统计. 分析: 通过频率与概率的关系,系统抽样当剔除几个个体时的公平性,样本估计总体与样 本容量的关系,以及方差的计算即可判断每个选项的正误,并找出正确选项. 解答: 解:A .正确,这可通过实验得到该结论. B.错误,系统抽样对每个学生而言被抽到概率相等; C.错误,样本容量越大,误差越小; D.错误,数据 2,3,4,5 的方差为 ,数据 4,6,8,10 的方差为 5; ∴数据 2,3,4,5 的方差是数据 4,6,8,10 的方差的 . 故选 A. 点评: 考查频率与概率的关系,系统抽样的过程及公平性,样本估计总体与样本容量的关 系,以及方差的概念及计算公式. 5. (5 分)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表

广告费用 x(万元)4 2 3 5 销售额 y(万元) 49263954 根据上表可得回归方程 = x+ 的 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为() A.63.6 万元 B.65.5 万元 C.67.7 万元 D.72.0 万元

考点: 线性回归方程. 专题: 概率与统计. 分析: 首先求出所给数据的平均数,得到样本中心点,根据线性回归直线过样本中心点, 求出方程中的一个系数,得到线性回归方程,把自变量为 6 代入,预报出结果. 解答: 解:∵ =42, ∵数据的样本中心点在线性回归直线上, 回归方程 ∴42=9.4×3.5+a, ∴ =9.1, ∴线性回归方程是 y=9.4x+9.1, ∴广告费用为 6 万元时销售额为 9.4×6+9.1=65.5, 故选:B. 点评: 本题考查线性回归方程.考查预报变量的值,考查样本中心点的应用,本题是一个 基础题,这个原题在 2011 年山东卷第八题出现. 6. (5 分)设 m、n 是不同的直线,α、β 是不同的平面,有以下四个命题: ①若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n; ②若 α⊥β,m∥α,则 m⊥β; ③若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α; ④若 n⊥α,n⊥β,则 β∥α. 其中,真命题的序号是() A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 计算题. 分析: 根据线线平行、线面垂直和面面垂直的判定定理,对四个选项进行一一判断; 解答: 解:①若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n,也即垂直于同一平面的两条直线平行,故①正确; ②若 α⊥β,m∥α,也可以推出 m?β,故②错误; ③若 m 上 α,m⊥n,也可以推出 n?α,故③错误; ④若 n⊥α,n⊥β,则 β∥α,一条直线同时垂直于两个平面,故④正确; 故选 B; 点评: 此题主要考查命题的真假判断与应用,空间立体几何也是高考必考的内容,此题是 一道基础题; 中的 为 9.4, =3.5,

7. (5 分)从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球,那么互斥而不对 立的事件是() A.至少有一个红球与都是红球 B. 至少有一个红球与都是白球 C. 至少有一个红球与至少有一个白球 D.恰有一个红球与恰有二个红球 考点: 互斥事件与对立事件. 专题: 探究型. 分析: 分析出从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球的所有不同的情况,然后利 用互斥事件和对立事件的概念逐一核对四个选项即可得到答案. 解答: 解:从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球,不同的取球情况共有以下几 种: 3 个球全是红球;2 个红球 1 个白球;1 个红球 2 个白球;3 个球全是白球. 选项 A 中,事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件; 选项 B 中,事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件; 选项 C 中, 事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的交事件为“2 个红球 1 个白球”与“1 个红球 2 个白球”; 选项 D 中,事件“恰有一个红球”与事件“恰有二个红球”互斥不对立. 故选:D. 点评: 本题考查了互斥事件和对立事件,关键是对概念的理解,是基础的概念题. 8. (5 分)如图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是 27,则判断框①处应填入 的条件是()

A.n>5

B.n>4

C.n>3

D.n>2

考点: 程序框图. 专题: 计算题. 分析: 分别计算 n=1,2,3 时的 s 的值,进而即可得出判定框①中的条件. 解答: 解:由 s=0,n=1 得出 s←(0+1)×1; 由 s=1,n=2 得出 s←(1+2)×2;

由 s=6,n=3 得出 s←(6+3)×3. 此时 s=27,为输出结果,应终止循环,而 n←4,因此判定框①中应为 n>3. 故选 C. 点评: 正确理解循环结构和判断框的功能是解题的关键. 9. (5 分)动点 P 到点 A(8,0)的距离是到点 B(2,0)的距离的 2 倍,则动点 P 的轨迹方 程为() A.x +y =32
2 2

B.x +y =16

2

2

C.(x﹣1) +y =16 D.x +(y﹣1) =16

2

2

2

2

考点: 轨迹方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 设 P 为(x,y) ,依据题中条件动点 P 到点 A(8,0)的距离是到点 B(2,0)的距 离的 2 倍,列关于 x,y 的方程式,化简即可得点 P 的轨迹方程. 解答: 解:设 P(x,y) ,则由题意可得
2 2



化简整理得 x +y =16. 故选:B 点评: 求符合某种条件的动点的轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,用“坐标化” 将其转化为寻求变量间的关系.直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标化, 列出等式化简即得动点轨迹方程. 10. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的最大值为()

A.

B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 几何体是一个三棱锥,三棱锥的底面是一条直角边为 1,斜边为 b 的直角三角形,另 一条直角边是 ,三棱锥的一条侧棱与底面垂直,由勾股定理可知这条边是 ,

表示出体积,根据不等式基本定理,得到最值. 解答: 解:由三视图知,几何体是一个三棱锥, 三棱锥的底面是一条直角边为 1,斜边为 b 的直角三角形, ∴另一条直角边是 , ,

三棱锥的一条侧棱与底面垂直,由勾股定理可知这条边是

∴几何体的体积是 V= ∵在侧面三角形上有 a ﹣1+b ﹣1=6, ∴V = ,
2 2

当且仅当侧面的三角形是一个等腰直角三角形, 故选 D. 点评: 本题考查由三视图求几何体的体积,考查基本不等式的应用,本题是一个比较综合 的题目,注意创造基本不等式的使用条件,得到结果. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置 上. 11. (5 分)空间直角坐标系中与点 P(2,3,5)关于 yoz 平面对称的点的坐标为(﹣2,3,5) . 考点: 空间中的点的坐标. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据关于 yOz 平面对称,x 值变为相反数,其它不变这一结论直接写结论即可. 解答: 解:根据关于坐标平面 yOz 的对称点的坐标的特点, 可得点 P(2,3,5)关于坐标平面 yOz 的对称点的坐标为: (﹣2,3,5) . 故答案为: (﹣2,3,5) . 点评: 本题考查空间向量的坐标的概念,考查空间点的对称点的坐标的求法,属于基础题. 12. (5 分)已知一组数据 1,2,m,4 的平均数是 3,则这组数据的方差为 2.5. 考点: 专题: 分析: 解答: ∴ = 极差、方差与标准差. 概率与统计. 根据平均数与方差的概念,进行计算即可. 解:∵数据 1,2,m,4 的平均数是 3, =3,

解得 m=5; ∴这组数据的方差为 s=
2



故答案为:2.5. 点评: 本题考查了平均数与方差的应用问题,解题时应根据平均数与方差的公式进行计算, 是基础题. 13. (5 分)根据如图算法语句,当输出 y 的值为 31 时,输入的 x 值为 60.

考点: 选择结构. 专题: 算法和程序框图. 分析: 分析算法语句可知其功能是求分段函数的值,其解析式为 ,故可求 x 的值. 解答: 解:执行算法语句知程序的功能是求分段函数的值,其解析式为 , 故解得当 y 的值为 31 时,x 的值为 60. 故答案为:60. 点评: 本题主要考察了程序框图和算法,根据语句写出函数的解析式是关键,属于基础题. 14. (5 分)若曲线 x +y +2x﹣4y+1=0 上的任意一点关于直线 2ax﹣by+2=0(a,b∈R )的对 称点仍在曲线上,则 的最小值是 4.
2 2 +

考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 2 2 分析: 由题意,曲线 x +y +2x﹣4y+1=0 表示的是以(﹣1,2)为圆心的圆,则直线 2ax﹣ + + by+2=0(a,b∈R )过圆心,从而可得 a+b=1(a,b∈R ) ,利用利用不等式即可. 2 2 解答: 解:曲线 x +y +2x﹣4y+1=0 表示的是以(﹣1,2)为圆心的圆, 2 2 + 故由曲线 x +y +2x﹣4y+1=0 上的任意一点关于直线 2ax﹣by+2=0(a,b∈R )的对称点仍在 曲线上可得, + 直线 2ax﹣by+2=0(a,b∈R )过点(﹣1,2) , 则﹣2a﹣2 b+2=0, 即 a+b=1(a,b∈R ) , 则 = + =2+ + ≥4.
+

(当且仅当 a=b= 时,等号成立) 故答案为:4. 点评: 本题考查了恒成立问题及圆的结构特征,同时考查了基本不等式的应用,属于中档 题.

15. (5 分)正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是棱 CC1 的中点,F 是侧面 BCC1B1 内的动点, 且 A1F∥平面 D1AE,若正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长是 2,则 F 的轨迹被正方形 BCC1B1 截得的线段长是 .

考点: 平面的基本性质及推论;棱柱的结构特征. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 设平面 AD1E 与直线 BC 交于点 G, 连接 AG、EG, 则 G 为 BC 的中点.分别取 B1B、 B1C1 的中点 M、N,连接 AM、MN、AN,可证出平面 A1MN∥平面 D1AE,从而得到 A1F 是 平面 A1MN 内的直线.由此得到 F 的轨迹被正方形 BCC1B1 截得的线段是线段 MN. 解答: 解:设平面 AD1E 与直线 BC 交于点 G,连接 AG、EG,则 G 为 BC 的中点 分别取 B1B、B1C1 的中点 M、N,连接 AM、MN、AN,则 ∵A1M∥D1E,A1M?平面 D1AE,D1E?平面 D1AE, ∴A1M∥平面 D1AE.同理可得 MN∥平面 D1AE, ∵A1M、MN 是平面 A1MN 内的相交直线 ∴平面 A1MN∥平面 D1AE, 由此结合 A1F∥平面 D1AE, ∴直线 A1F?平面 A1MN, ∴F 的轨迹被正方形 BCC1B1 截得的线段是线段 MN. ∴F 的轨迹被正方形 BCC1B1 截得的线段长 MN= . 故答案为: .

点评: 本题给出正方体中侧面 BCC1B1 内动点 F 满足 A1F∥平面 D1AE,求 F 的轨迹被正方 形 BCC1B1 截得的线段长,着重考查了正方体的性质,解题时要注意空间思维能力的培养. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)如图所示:下列程序框图的输出结果构成了数列{an}的前 10 项. (1)求数列的第 3 项 a3、第 4 项 a4 以及数列的递推公式; (2)证明:数列{an+1}为等比数列;并求数列{an}的通项公式.

考点: 程序框图. 专题: 等差数列与等比数列;算法和程序框图. 分析: (1)根据该程序给出的数列关系,得 an+1=2an+1,a1=1,由此能求出 a3=7,a4= 15. (2)由已知得到的数列的递推公式为:a1=1,且 an+1=2an+1,从而 an+1+1=2(an+1) ,由此能 n 求出 an=2 ﹣1. 解答: 解: (1)a1=1,a2=3, a3=7,a4=15, an+1=2an+1. (2)证明:a1=1, ∵an+1=2an+1 ∴an+1+1=2(an+1) , 所以数列为等比{an+1}比数列, .

点评: 本题考查数列的第 3 项 a3 和第 4 项 a4 的求法, 求数列的递推公式求出其通项公式 an, 解题时要认真审题,注意构造法的合理运用,本题属于基础题. 17. (12 分)2014-2015 学年高二某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部都介于 13 秒到 18 秒之间,将测试结果按如下方式分成五组,第一组,如图是按上述分组方法得到的频率分 布直方图. (1)若成绩在区间 解答: 解: (1)根据频率分布直方图知, 成绩在 18. (12 分)三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱与底面垂直,∠ABC=90°,AB=BC=BB1=2,M, N 分别是 AB,A1C 的中点. (1)求证:MN∥平面 BCC1B1. (2)求证:MN⊥平面 A1B1C. (3)求三棱锥 M﹣A1B1C 的体积.

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题;综合题;转化思想. 分析: (Ⅰ) 连接 BC1, AC1, 通过 M, N 是 AB, A1C 的中点, 利用 MN∥BC1. 证明 MN∥ 平面 BCC1B1. (Ⅱ) 说明四边形 BCC1B1 是正方形, 连接 A1M, CM, 通过△ AMA1≌△AMC. 说明 MN⊥A1C 然后证明 MN⊥平面 A1B1C. (Ⅲ) 由 (Ⅱ) 知 MN 是三棱锥 M﹣A1B1C 的高. 在直角△ MNC 中. 求出 可解得 . . 即

解答: (Ⅰ) 证明: 连接 BC1, AC1, ∵在△ ABC1 中, M, N 是 AB, A1C 的中点∴MN∥BC1. 又∵MN 不属于平面 BCC1B1,∴MN∥平面 BCC1B1. (Ⅱ)解:∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱与底面垂直, ∴四边形 BCC1B1 是正方形. ∴BC1⊥B1C.∴MN⊥B1C. 连接 A1M,CM,△ AMA1≌△BMC. ∴A1M=CM,又 N 是 A1C 的中点,∴MN⊥A1C. ∵B1C 与 A1C 相交于点 C, ∴MN⊥平 面 A1B1C. (Ⅲ)解:由(Ⅱ)知 MN 是三棱锥 M﹣A1B1C 的高. 在直角△ MNC 中, 又 . ,∴ . .

点评: 本题是中档题,考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与 转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 19. (12 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,C=2A,cosA= . (1)求 cosC,cosB 的值;

(2)若 S△ ABC=

,求边 AC 的长.

考点: 余弦定理的应用;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)由 C=2A,利用二倍角的余弦函数公式化简,把 cosA 的值代入求出 cosC 的值, 确定出 sinC 与 sinA 的值,利用诱导公式求出 cosB 的值即可; (2)利用三角形面积公式列出关系式,把 sinB 的值代入求出 ac=24,利用正弦定理得到 a 与 c 的关系式,联立求出 a 与 c 的值,再利用余弦定理求出 b 的值,即为 AC 的长. 解答: 解: (1)∵C=2A,cosA= , ∴cosC=2cos A﹣1= , ∴sinC= ,sinA= , ;
2

则 cosB=﹣cos(A+C)=sinAsinC﹣cosAcosC= (2)∵S△ ABC = ∴ acsinB= 又由正弦定理 ,sinB= ,

,即 ac=24①, = 得:c= a②,

联立①②,解得:a=4,c=6, 2 2 2 由余弦定理得:b =a +c ﹣2accosB=25, 解得:b=5. 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题 的关键. 20. (13 分)如图所示,在四棱锥 E﹣ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,AC 与 BD 交于点 O, EC⊥底面 ABCD,F 为 BE 的中点. (1)求证:平面 BDE⊥平面 ACE; (2)已知 CE=1,点 M 为线段 BD 上的一个动点,直线 EM 与平面 ABCD 所成角的最大值为 . ①求正方形 ABCD 的边长;

②在线段 EO 上是否存在一点 G,使得 CG⊥平面 BDE?若存在,求出 请说明理由.

的值;若不存在,

考点: 平面与平面垂直的判定;与二面角有关的立体几何综合题. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)证明 BD⊥AC,BD⊥EC,从而证明平面 BDE⊥平面 ACE. (2)由 EC 是平面 ABCD 的垂线,当 M 为 O 点时,直线 EM 与平面 ABCD 所成角的最大, 从而求正方形 ABCD 的边长;当 G 为 EO 中点时,存在 CG⊥平面 BDE. 解答: 解: (1)证明:∵底面 ABCD 是正方形 ∴BD⊥AC, ∵EC⊥底面 ABCD ∴BD⊥EC ∴BD⊥平面 ACE, ∴平面 BDE⊥平面 ACE. (2)①点 M 为线段 BD 上的一个动点, ∵EC⊥底面 ABCD ∴直线 EM 与平面 ABCD 所成角为∠EMC, .

当 CM 最小时,直线 EM 与平面 ABCD 所成角的最大, 当 BD⊥CM 时,即 M 为 O 点时,直线 EM 与平面 ABCD 所成角的最大. 此时 CO=1,正方形 ABCD 的边长为 . ②存在,当 G 为 EO 中点时,即 = 时,CG⊥平面 BDE.

∴BD⊥平面 ACE ∴BD⊥CG, 又∵△ECO 为等腰三角形 ∴CG⊥EO, ∴CG⊥平面 BDE. 点评: 本题主要考查线面垂直、面面垂直、线面角等知识,属于中档题. 21. (14 分)已知圆 x + y ﹣x=0 与直线 x+y﹣1=0 交于 P,Q 两点,动圆 C 过 P,Q 两点. (1)若圆 C 圆心在直线 y= x 上,求圆 C 的方程; (2)求动圆 C 的面积的最小值;
2 2

(3)若圆 C 与 x 轴相交于两点 M,N(点 N 横坐标大于 1) .若过点 M 任作的一条与圆 O: x +y =4 交于 A,B 两点直线都有∠ANM=∠BNM,求圆 C 的方程. 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 直线与圆. 分析: (1)由题意可设圆 C 方程为 x +y ﹣x+λ(x+y﹣1)=0,圆 C 圆心在直线 y= x 上即 可得出 λ. (2)由(1)可得
2 2 2 2 2 2

,即可得出动圆 C 的面积的最小值.
2

(3)设圆 C 方程为 x +y ﹣x+λ(x+y﹣1)=0,令 y=0,x +(λ﹣1)x﹣λ=0,可得 xM=1,xN= 2 2 2 2 2 2 ﹣λ,﹣λ>1. 设直线 AB 的方程为 y=k(x﹣1) ,代入 x +y =4 得, (1+k ) x ﹣2k x+k ﹣4=0, 设A (x1, y1) , B (x2, y2) , 可得根与系数的关系, 由于∠ANM=∠BNM, 可得 代入解出即可. 解答: 解: (1)设圆 C 方程为 x +y ﹣x+λ(x+y﹣1)=0, = ∵
2 2 2 2





,解得 λ=﹣1.

∴圆 C 方程为 x +y ﹣2x﹣y+1=0. (2)由(1)可得
2 2

,∴动圆 C 的面积的最小值为



(3)设圆 C 方程为 x +y ﹣x+λ(x+y﹣1)=0, 2 令 y=0,x +(λ﹣1)x﹣λ=0, ∴(x﹣1) (x+λ)=0,xM=1,xN=﹣λ,﹣λ>1. 设直线 AB 的方程为 y=k(x﹣1) , 2 2 2 2 2 2 代入 x +y =4 得, (1+k )x ﹣2k x+k ﹣4=0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,从而 .

∵ 而(x1﹣1) (x2+λ)+(x2﹣1) (x1+λ) =2x1x2﹣(﹣λ+1) (x2+x1)﹣2λ= ∵∠ANM=∠BNM, ∴ ,即 =0,得 λ=﹣4. =





当直线 AB 与 x 轴垂直时也成立.

∴圆 C 的方程为 x ﹣5x+y ﹣4y+4=0. 点评: 本题考查了直线与圆的相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、圆的标准方 程及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

2

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