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第6讲三角函数图象与性质(教师)

时间:2012-02-13

专题 2

三角函数与 三角函数与平面向量

三角函数作为基本初等函数,它是周期函数模型的典范,这部分内容概念、 公式较多, 知识点琐碎繁杂,需要强化记忆,要把握三角函数图象的几何特征,灵活应用其性质.平面 向量具有几何与代数形式的双重性,是知识网络的重要交汇点,它与三角函数、解析几 何、平面几何等都有一定的联系,要给予高度的重视. 江苏近三年高考三角函数与平面向量的试题,一般是两到三个小题和一个大题;解 答题一般都为基础题,处在送分题的位置;而在两个到三个小题中,08 年和 09 年有一个较 容易,而另一个为中档题,2010 年 15,17 题出了两个有关三角函数和向量的解答题,且位 置靠前,所以填空题的难度相对加大,但整体得分与往年相比没有大的变化.从近三年高 考命题来看,平面向量的数量积,正余弦定理的运用,三角函数的图象和性质,尤其是三角 函数的周期、最值、单调性、图象变换、特征分析(对称轴、对称中心)和三角函数式的 恒等变形等仍是命题热点. 预计 2011 年高考本专题的命题方向是: ①考小题,重在基础:有关三角函数的小题,其考查的重点在于基础知识:解析式、图 象及图象变换、两域(定义域、值域)、四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性)以及简 单的三角变换(求值、化简及比较大小).有关平面向量的小题,其考查重点仍会是数量积 及相关运算. ②考大题,重在本质:有关三角函数和平面向量的大题即解答题,通过公式变形、 转换 来考查思维能力的题目已经没有了,而是考查基础知识、基本技能和基本方法. ③考应用,融入三角形之中:这种题型既能考查解三角形的知识与方法,又能考查运 用三角公式进行恒等变换的技能,故近年来倍受命题者的青睐.主要解法是充分利用三 角形的内角和定理、正(余)弦定理、面积公式等,并结合三角公式进行三角变换,从而获 解. ④考综合,体现三角向量的工具和传接作用:由于近年高考命题突出以能力立意,加 强对知识综合性和应用性的考查,故常常在知识的交汇点处命题.因而对三角向量有时 会综合在一起来考查.但与其他知识交汇的可能性不大.

第6讲 一.瞄准高考 瞄准高考
1.任意角的三角函数

三角函数的图象与性质

y (1)设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么 sin α=y,cos α=x,tan α= . x (2)各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 2.诱导公式:奇变偶不变,符号看象限. sin α 3.同角三角函数基本关系式:sin2α+cos2α=1,tan α= (cos α≠0). cos α 4. 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质 ①定义域;②值域;③周期性;④单调性;⑤对称性. 5.函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 (1)“五点法”作图; (2)图象变换.

二.解析高考 解析高考
三角函数的概念、 题型一 三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用
例 1 如图在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角 α、β,它们的终边分别 2 2 5 . 与单位圆交于 A、B 两点,已知 A、B 的横坐标分别为 、 10 5 (1)求 tan(α+β)的值; (2)求 α+2β 的值. x 思维启迪】 【思维启迪】根据任意角三角函数的定义 cos α=r 不难得到 cos α、

cos β 的值,利用同角三角函数可求 sin α、 β、 α、 β 的值,进而利用和角公式求 tan(α+β) sin tan tan 的值. 注意到第(2)问相当于“给值求角”问题,除注意到“角的变换”:α+2β=(α+β)+β 外,还应注意 该类问题求解的一般程序. 2 5 2 . 【解答】 (1)由已知条件及三角函数的定义可知,cos α= ,cos β= 解 10 5 7 2 1 5 因为 α 为锐角,故 sin α>0,从而 sin α= 1-cos2α= .同理可得 sin β= .因此 tan α=7,tan β= . 2 10 5 1 7+ 2 tan α+tan β 所以 tan(α+β)= = =-3. 1 1-tan αtan β 1-7× 2 1 -3+ 2 tan(α+β)+tan β = =-1, (2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]= 1 1-tan(α+β)tan β 1-(-3)× 2 π 3π π 又 0<α< ,0<β< ,故 0<α+2β< , 2 2 2 3π 从而由 tan(α+2β)=-1 得 α+2β= . 4 【探究提高 本题考查三角函数的基本概念、三角函数的基本关系式、两角和的正切、 探究提高】 探究提高 二倍角的正切公式,考查考生的运算求解能力.根据三角函数的定义,本题所给的两个横坐标 实际上就是 α、 的余弦值,又由于这两个角都是锐角,由同角三角函数的关系式就可以求出这 β 两个角的正切,剩下的问题就是代入公式计算了. 3π 3π 【变式 变式】已知点 P(sin ,cos )落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 θ 的值_______. 变式 4 4 π 3 cos π -cos 4 4 3 3 = = - 1, 又 sin π>0,cos π<0,∴θ 为 第 四 象 限 角 且 【 解 析 】 tan θ= 3 4 4 π sin π sin 4 4 7π θ∈[0,2π),∴θ= , 4

题型二 三角函数的图象与解析式
已 知 函 数 f(x)=Asin(ωx+φ)+B 例 2 (A>0,ω>0,0≤φ<2π) 在 同 一 周 期 内 有 最 高 点 π 7π ( ,1)和最低点( ,-3). 12 12 (1)求函数 y=f(x)的解析式; (2)画出函数 y=f(x)在区间[0,π]上的图象. T 7π 【解答 (1)由题意,2A=1-(-3)=4, = 解答】 解答 2 12 1+?- 3? π π = ,∴A=2,T=π,B= =-1, π π π 3π 7π 12 2 2 π 2π 2x+ 3 3 2 2 3 故 f(x)=2sin(2x+φ)-1. π π 7π 5π π π π x 0 π ∵f(x)图象过点( ,1), ∴2× +φ= 12 3 12 6 12 12 2 +2kπ,k∈Z,又 0≤φ<2π, f(x) 1 -3 3-1 1 -1 3-1 π π ∴φ= ,f(x)=2sin(2x+ )-1. 3 3 (2)如图. 探究提高】 【探究提高】求三角函数的解析式 f(x)=Asin(ωx+φ)+B,就是根据图象的特征或函数 -

的性质,依次确定参数 A,B,ω,φ 的值.作三角函数图象,一般用五点法,本题的作图是一个 难点,它难在[0,π]不是一个标准五点作图的周期,所以在 x 的取值上要特别注意:先确定 x π π 7π π 取 0,π,相应的取 2x+ 取 , ,然后确定 2x+ 3 3 3 3 π 7π π 3π 在 , 内取 ,π, ,2π,相应的 x 在[0,π]内取 3 3 2 2 π π 7π 5π , , , ,正确地列出表来是能正确画出图 12 3 12 6 的关键. 【 变 式 】 如图 是 函 数 f(x)=Asin(ωx+φ)+B( π ω>0,A>0,|φ|< )图象 2 的一部分,则 f(x)的解析式为______________. π 2 y=2sin?3x+ 6?+1 ? ? 【解析 解析】 根据函数图象提供的三个数据解决.(1)最低点(-π,-1);(2)与 y 轴的交 解析 π 点;(3)最大值 3.由于最大值和最小值之差等于 4,故 A=2,B=1.由于 2=2sinφ+1,取 φ= .取 6 2 π? π 2 ω(-π)+φ=- ,得 ω= .所以函数的解析式是 y=2sin?3x+ 6?+1.根据三角函数图象求函数 ? 2 3 的解析式,主要解决两个问题,一个是 ω,一个是 φ.ω 由三角函数的周期确定,φ 由函数图象 的位置确定.解决这类题目一般是先根据函数图象找到函数的周期确定 ω 的值,再根据 函数图象上的一个特殊点确定 φ 值.这类题目中一般情况下 ω 的值是唯一确定的,但 φ 的值是不确定的,它有无数个,事实上如果 φ0 是满足条件的一个 φ 值,那么 2kπ+φ0 都满足 条件的 φ 值,故这类题目一般都限制了 φ 的取值范围.

题型三 三角函数的图象与性质
例 3 已知向量 m=(cosωx,sinωx),n=(cosωx, 3cosωx),设函数 f(x)=m·n. (1)若 f(x)的最小正周期是 2π,求 f(x)的单调递增区间; π (2)若 f(x)的图象的一条对称轴是 x= ,(0<ω<2),求 f(x)的周期和值域. 6 cos2ωx 3 1 π 1 【解答 解答】 (1)f(x)=cos 2ωx+ 3sinωx·cosωx= + sin2ωx+ =sin(2ωx+ )+ . 解答 2 2 2 6 2 2π 1 π 1 ∵T= =2π,∴ω= ,则 f(x)=sin(x+ )+ , 2ω 2 6 2 π π π 2π π 由 2kπ- ≤x+ ≤2kπ+ ,得[2kπ- ,2kπ+ ](k∈Z)为单调递增区间. 6 2 3 3 2 π π π π (2)∵x= 是函数的一条对称轴,∴2ω× + =kπ+ ,∴ω=3k+1. 6 6 6 2 又∵0<ω<2,k∈Z,∴当 k=0 时,ω=1, π 1 13 ∴f(x)=sin(2x+ )+ ,∴周期为 π,值域为- , . 6 2 22 探究提高】 【探究提高】 (1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性,往往是 在定义域内,先化简三角函数式,尽量化为 y=Asin(ωx+φ)+B 的形式,然后再借助于正弦曲线性 质来求解.(2)对于形如 y=asin ωx+bcos ωx 型的三角函数,要通过引入辅助角化为 y= a2+b2 a b sin(ωx+φ)(cos φ= 2 )的形式来求. 2,sin φ= 2 a +b a +b2 π π 例 4 已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,- 2 <φ< 2 的图象如图所示,直线 3π 7π x= ,x= 是其两条对称轴. 8 8

(1)求函数 f(x)的解析式并写出函数的单调增区间; π 3π 6 π (2)若 f(α)= ,且 <α< ,求 f?8+α?的值. ? ? 8 5 8 T 7π 3π π 【解答】 (1)由题意, = - = ,∴T=π,又 ω>0,故 ω=2,∴f(x)=2sin(2x+φ). 2 8 8 2 3π? 3π π 由 f? 8 ?=2sin? 4 +φ?=2,解得 φ=2kπ- (k∈Z), ? ? ? 4 π? π π π 又- <φ< ,∴φ=- ,∴f(x)=2sin?2x-4?. ? 2 4 2 π π π π 3π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z)知,kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z), 2 4 2 8 8 π 3π? ∴函数 f(x)的单调增区间为?kπ-8,kπ+ 8 ?(k∈Z). ? π 6 (2)解法 1:依题意得 2sin?2α-4?= , ? ? 5 π 3 π 3π π π 即 sin2α- = ,∵ <α< ,∴0<2α- < , 4 5 8 8 4 2 π? π? 3 4 ∴cos?2α-4?= 1-sin2?2α-4?= 1-?5?2= , ? ? ? ? 5 π? π? π? π? π f?8+α?=2sin?2?α+8?-4 =2sin??2α-4?+4 , ? ? ? ? ? ?? ? π π π π π π 23 4 7 2 π 7 2 ∵sin2α- + =sin2α- cos +cos2α- .sin = + = ,∴f +α= . 4 4 4 4 4 4 2 5 5 10 8 5 π 3 3 2 解法 2:依题意得 sin?2α-4?= ,得 sin2α-cos2α= ,① ? ? 5 5 π 3π π π ∵ <α< ,∴0<2α- < , 8 4 2 8 π π 3 4 ∴cos?2α-4?= 1-sin2?2α-4?= 1-?5?2= , ? ? ? ? ? ? 5 π 4 4 2 由 cos?2α-4?= ,得 sin2α+cos2α= ,② ? ? 5 5 π 7 2 7 2 ①+②得 2sin2α= ,∴f?8+α?=2sin2α= . ? ? 5 5 π 3 3 2 , 解法 3:由 sin?2α-4?= ,得 sin2α-cos2α= ? ? 5 5 18 7 两边平方得 1-sin4α= ,sin4α= , 25 25 π 3π π 3π 24 ∵ <α< ,∴ <4α< ,∴cos4α=- 1-sin24α=- , 8 2 2 25 8 1-cos4α 49 π 3π 7 2 ∴sin22α= = ,又 <2α< ,∴sin2α= , 2 50 4 4 10 π 7 2 ∴f?8+α?=2sin2α= . ? ? 5 【点评 本题主要考查三角函数性质的基本知识,考查推理和运算能力是高考最常考的 点评】 点评 一种题型.江苏高考三角函数试题主要以两种形式出现:一是注重考查三角函数的定义、 性质、 同角三角函数关系、诱导公式等基础知识;二是以基本三角函数图象和正弦型函数、余弦型 函数图象为载体,全面考查三角函数的定义域、值域、单调性,奇偶性、对称性、图象变换等 基础知识,即考查三角函数的图象性质和数形结合的思想方法.

三.感悟高考 感悟高考
π 3π 1. 五 点 法 是 作 图 的 基 础 ,五 点 的 横 坐 标 由 ωx+φ 分 别 取 0, ,π, ,2π 来 确 定 ;由 2 2

y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分求其解析式,其中 A 是图象最高点和最低点纵坐标之差的 2π 一半,ω 由公式 T= 确定,φ 由 ωx+φ 所对应的五点中的“关键点”的坐标来确定. |ω| 2.求三角函数的定义域实质上是解不等式(组),一般根据三角函数的图象或三角函 数线直接写出三角不等式的解,求三角函数的值域(最值),一般要结合函数的图象,利用 单调性和定义域求解. 3.求三角函数的单调区间、对称轴、对称中心等体现了化归及整体代换的思想,关 键是视 ωx+φ 为单角 θ,将问题转化为最基本的三角函数 y=sinθ 或 y=cosθ 来处理. 4. 求 三 角 函 数 的 值 域 ( 最 值 ) 的 常 用 方 法 :① 化 为 求 代 数 函 数 的 值 域 ;② 化 为 求 y=Asin(ωx+φ)+B 的值域;③化为关于 sinx(或 cosx)的二次函数式.

四.备战高考 备
1. π (2010·江苏卷)定义在区间?0,2?上的函数 y=6cosx 的图象与 y=5tanx 的图象的交点为 P, ? ? 过点 P 作 PP1⊥x 轴于点 P1,直线 PP1 与 y=sinx 的图象交于点 P2,则线段 P1P2 的长为 ________. 2 【解析】 线段 P1P2 的长即为 sinx 的值,且其中的 x 满足 6cosx=5tanx,解得 sinx= .线段 3 2 P1P2 的长为 . 3 【点评】 本题一改平时学生常练的三角图象变换习题,试题面目有所创新,但仍考查的是 三角函数的图象、数形结合思想.从近几年高考试题来看,正弦函数、余弦函数、正切函数、 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质是高考的重点内容,也是高考的必考内容之一.选择填空题和 解答题的形式均能考查三角函数的图象、单调性、周期、值域、最值、对称性等,不论试题 形式如何变化,难度会以低档题、中档题为主. π 2. (2010·四川卷)将函数 y=sinx 的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度,再把所 10 得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是 . π 【解析】将函数 y=sinx 的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度,所得函数图 10 π 象的解析式为 y=sinx- ;再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得 10 1 π 图象的函数解析式是 y=sin x- . 10 2 π 3. (2010·福建卷)将函数 f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移 个单位,所得图象与原图象重合,若 2 ω∈{5,6,7,8},则 ω 的值为 . π π 【解析】将 f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移 个单位,若与原图象重合,则 为函数 f(x)的周 2 2 π 2π 期的整数倍,不妨设 =k· (k∈Z),得 ω=4k,即 ω 为 4 的倍数,故 ω=8. 2 ω π π 4. 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的图象关于直线 x= 对称,它的最小正周期为 π.则函 2 3 数 f(x)图象上离坐标原点 O 最近的对称中心是 . π π π 【解析】 由题意知 T=π,∴ω=2,由函数图象关于直线 x= 对称,得 2× +φ= +kπ(k∈Z),即 φ= 3 3 2 π π π π π π k - +kπ(k∈Z).又|φ|< ,∴φ=- .∴f(x)=Asin(2x- ),由 2x- =kπ(k∈Z),∴x= + π(k∈Z).∴最 6 2 6 6 6 12 2 π 近的对称中心为( ,0). 12 4 π 5. (2010·全国卷)若 cos α=- ,α 是第三象限的角,则 sin(α+ )等于 . 5 4

π 4 3 π 【解析】∵由于 α 是第三象限角且 cos α=- ,∴sin α=- ,∴sin?α+4?=sin αcos +cos ? ? 5 5 4 π 2 4 3 7 2 αsin = ?-5-5?=- . ? 4 2? 10 π π 6. 已知函数 y=Asin(ωx+φ)+m 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 ,直线 x= 是其图象的 2 3 一条对称轴,则其解析式为 . π π 2π π 【解析】由 A+m=4,-A+m=0,可得 A=2,m=2.又由 = ,得 ω=4,再由 4× +φ=kπ+ ,k∈Z,得 3 2 ω 2 5π π π φ=kπ- ,k∈Z,故 φ 的一个可能取值为 .故 y=2sin(4x+ )+2. 6 6 6 7. 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象与直线 y=b(0<b<A)的三个相邻交点的横坐标 分别是 2,4,8,则 f(x)的单调递增区间是________________. 【解析】如图 x=3,x=6 是 y=Asin(ωx+φ)的对称轴,∴ 周期 T=6,∴ 单调递增区间为[6k,6k+3],k∈ Z. π 存在 α∈ ),使 (0, 8. 对于函数 f(x)=cos x+sin x,给出下列命题:① 2 4 π f(α)= ;② 存在 α∈ ),使 f(x+α)=f(x+3α)恒成立;③ (0, 存在 θ∈ R, 3 2 3π 函数 f(x)的图象关于点( ,0)对称.其中正确命题的序 使函数 f(x+θ)的图象关于 y 轴对称;④ 4 号是________. π π 4 π 4 【解析】 f(x)= 2sin(x+ ),①当 x∈(0, )时,1<f(x)≤ 2,而 ∈(1, 2].故存在 α∈(0, ),使 f(α)= . 4 2 3 2 3 π π ②f(x)= 2sin(x+ )的周期 T=2π.若存在 α∈(0, ),使 f(x+α)=f(x+3α)恒成立,则 T=2α 是它的周期, 4 2 π π π π ∵α∈(0, ),∴T=2α∈(0,π),这与 T=2π 相矛盾.③取 θ= ,则 f(x+θ)= 2sin(x+ + )= 2cos x.这是一 4 4 4 2 3π π 个偶函数,它关于 y 轴对称.④点( ,0)是 f(x)= 2sin(x+ )与 x 轴的交点,故函数 f(x)的图象关于 4 4 3π 点( ,0)对称.答案 ①③④ 4 9. 已知函数 f(x)=2 3sinxcosx+2cos 2x-1(x∈R). π (1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间 0, 上的最大值和最小值; 2 π (2)若函数 f(x+φ)为偶函数,且|φ|< ,求角 φ 的值. 2 【解答】 (1)由 f(x)=2 3sinxcos+2cos2 x-1,得 f(x)= 3(2sinxcosx)+(2cos 2x-1) π = 3sin2x+cos2x=2sin2x+ , 6 所以函数 f(x)的最小正周期为 π π π π ππ π 因为 f(x)=2sin2x+ 在区间 0, 上为增函数,在区间 , 上为减函数,又 f(0)=1,f =2,f?2?= ? ? 6 6 62 6 π -1,所以函数 f(x)在区间 0, 上的最大值为 2,最小值为-1. 2 π (2)由(1)可知 f(x+φ)=sin2x+2φ+ ,且为偶函数,由偶函数的定义可知 f(-x+φ)=f(x+φ), 6 π π π π π π 即 2sin-2x+2φ+ =2sin2x+2φ+ ,整理得 2sin2x·cos2φ+ =0,所以 cos2φ+ =0,2φ+ =kπ+ , 6 6 6 6 6 2 π π π 又|φ|< ,所以 k=-1,φ=- ,或 k=0,φ= . 2 3 6

10.

(2010·广东卷) 已知函数 f(x)=Asin(3x+φ)(A>0,x∈ (-∞,+∞)),0<φ<π 在 x= 最大值 4. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的解析式; 2 π 12 (3)若 f( α+ )= ,求 sinα 3 12 5 2π 【解答】 (1)T= ; 3 (2)由 f(x)的最大值是 4 知,A=4, π π π f(x) max=f =4sin3× +φ=4,即 sin +φ=1, 12 12 4 π π 5π π π π π ∵0<φ<π,∴ < +φ< .∴ +φ= ,∴φ= ,∴f(x)=4sin3x+ ; 4 4 4 4 2 4 4 2 π 2 π π 12 2 π π 3 (3)f( α+ )=4sin(3 α+ + )= ,即 sin(3 α+ + )= , 3 12 3 12 4 5 3 12 4 5 π 3 3 3 1 5 Sin(2α+ )= ,cos2α= ,1-2sin2 α= ,sin 2α= ,sinα=± . 2 5 5 5 5 5

π 时取得 12


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