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高考数学第一轮复习系列讲座11--指数函数与对数函数

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《高考数学第一轮复习系列讲座》 高考数学第一轮复习系列讲座》
(人教版) 人教版)

11讲 (第11讲)指数函数与对数函数

一、高考要求

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1.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂 理解分数指数幂的概念, 理解分数指数幂的概念 的运算性质; 的运算性质 2.掌握指数函数的概念、图像和性质 掌握指数函数的概念、 掌握指数函数的概念 图像和性质; 3.理解对数的概念,掌握对数的运算性质; 理解对数的概念, 理解对数的概念 掌握对数的运算性质; 4.掌握对数函数的概念、图像和性质. 能够 掌握对数函数的概念、图像和性质 掌握对数函数的概念 运用函数的性质、 运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质 解决某些简单的实际问题. 解决某些简单的实际问题.

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二、知识点归纳 1.指数 指数1.指数-分数指数
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①正数的正分数指数幂
a
m n

=

n

am

(a>0,m,n∈N*,且n>1) > ∈ 且 >

根指数是分母,幂指数是分子 根指数是分母,幂指数是分子. ②正数的负分数指数幂
a
? m n

=

1 a
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m n

(a>0,m,n∈N*,且n>1) > , ∈ 且 >
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二、知识点归纳 2.对数 对数 定义: 一般地,如果a 次幂等于N, ①定义: 一般地,如果a 的b次幂等于N, 就是a =N, 就是ab=N,那么数 b叫做 a为底 N的对数
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记作: log a N = b 记作: 对数符号 底数 真数
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以a为底N的对数 为底N

和底数,真数有关。 对数的值 和底数,真数有关。
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二、知识点归纳 关系式 :logaN=b ②对数性质
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ab=N;

⑴ 负数与零没有对数 ⑵ log a 1 = 0 , log a a = 1 log N ⑶对数恒等式 a a = N ③对数运算性质 ④对数的换底公式
log a (MN) = log a M + log a N (1) M log a = log a M ? log a N ( 2) N log a M n = nlog a M(n ∈ R) ( 3)

log b N log a N = log b a

自然对数lnN ⑤常用对数lgN,自然对数 常用对数 自然对数
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二、知识点归纳 3.指数函数的概念及图像与性质 3.指数函数的概念及图像与性质
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定义:形如 定义 形如

f (x) = ax (a > 0, a ≠ 1) 的函数称为指数函数 的函数称为指数函数.

(1)关于对 的规定 关于对a的规定 关于对 的规定: 若a = 0 对于x ≤ 0, a x 都无意义 若 a = 1 则1 x 无论x 取何值,它总是1, 取何值,它总是1, 对它没有研究的必要. 对它没有研究的必要. (2)关于指数函数的图像与性质: (2)关于指数函数的图像与性质: 关于指数函数的图像与性质
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a>1 图 象
(0,1) , )

0<a<1
y

y

(0,1) , )

O

x

定义域:R 定义域: 值域:( :(0, ) 值域:( ,+∞) 恒过点( , ), ),即 恒过点(0,1),即x=0时,y=1 时 在R上是增函数 上是增函数 在R上是减函数 上是减函数 x<0时,0<y<1 时 x>0时,y>1 时 x<0时, y>1 时 x>0时, 0<y<1 时

O

x

二、知识点归纳 4.对数函数 = loga x的性质分析 对数函数y 对数函数 的性质分析
函 数
y = loga x (a>1)

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y = loga x (0<a<1)



像 (0,+∞) (0,+∞) (0,+∞)

定义域 值 域 单调性

R

R

R

在(0,+∞)上是增函数 上是 在(0,+∞)上是减函数 上是 过定点 , ) (1,0) (1,0) (1,0) , ) , ) 函数值变 0<x<1时,y<0 0<x<1时,y>0 时 时 化情况 x>1时,y>0 x>1时,y<0 时 时 16
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二、知识点归纳 5. y = a x与 y = loga x互为反函数的图像交点 互为反函数的图像交点
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y

y
y

a = 1.74

a = 1.45 (1,1)
(1,1)

a = 1.35

o

x

o

o

x

y
y

(1,1)
a = 0.60 (1,1)
o x

a = 0.03
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o

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x

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三、题型讲解 例1 求下列函数的定义域
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(1)

f ( x) = 3

1 x?1

(2)
x

f ( x) = 4

1 x +1

(3) f ( x ) = (5)

2

解: (1)要使 f ( x ) 有意义 则 x ? 1 ≠ 要使 有意义,
有意义. (2)要使 f ( x ) 有意义 则 (3)要使 f ( x ) 有意义 则 要使

f ( x) = 2 x ? 1

1 x 1 (4) f ( x) = ( ) ? 3 9

1 x 1 有意义. (4) 要使 f ( x ) 有意义 则 ( ) ? ≥ 0,即x ≤ 2. 3x 9 有意义. (5) 要使 f ( x ) 有意义 则 2 ? 1 ≥ 0 , 即 x ≥ 0 .
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x + 1 > 0,即 x > ? 1 . 2 x ≥ 0,即x ∈ R

0,即x ≠ 1

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三、题型讲解 例2 画出函数 y = log 2 | x | 的图象 , 并由图象写出它们的单调区间. 并由图象写出它们的单调区间 解: 因为 f (? x) = log 2 | ? x | = log 2 | x |= f ( x) , ( x ≠ 0) C1 C2 C 所以函数是偶函数,它的图 所以函数是偶函数 它的图
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1

象关于y轴对称 象关于 轴对称. 轴对称 时的图象C 先画 x>0 时的图象 1, 当 x>0 时, log 2 | x |= log 2 x

再作出C 关于y轴对称的图形 轴对称的图形C 再作出 1关于 轴对称的图形 2. C1和C2构成函数 y = log 2 | x | 的图象 , 如图 如图. 函数的单调区递减、 函数的单调区递减、递增区间分别是 (? ∞ , 0 ), (0 , +∞ ).
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三、题型讲解 例3 解下列方程
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(1) log5 (2 x + 1) = log5 (x 2 ? 2) 1? x (2) 3 ? 2 = 0
2x +1 = x ? 2 > 0
2
1? x

解:(1) 依题意得, 依题意得 解得 x=3 (2) 依题意得 依题意得,

3

=2
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∴1 ? x = log 3 2 ∴ x = 1 ? log 3 2
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三、题型讲解 例4 解下列不等式
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?1? (1) ? ? ) ?2?
解:(1)

3? x

>5

(2 )
2
x ?3

log 3 ( x + 2 ) > 3

依题意得, 依题意得

>5

两边取以2为底的对数得 两边取以 为底的对数得

x ? 3 > log 2 5

∴ x > 3 + log 2 5
(2) 依题意得 依题意得, 所以 x+2 > 27 > 0
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log 3 ( x + 2 ) > log 3 27
即 x > 25
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四、自我操练 1.在同一坐标系中画出: 在同一坐标系中画出: 在同一坐标系中画出
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y = log 2 x、y = log 1 x、y = log3 x、y = log 1 x
的图象. 的图象
y
1 0 1
2 3

y = log 2 x y = log3 x x y = log 1 x
y = log 3 x 1
2
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四、自我操练

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2.比较下列各题中两个值的大小: 比较下列各题中两个值的大小: 比较下列各题中两个值的大小 (1)log 2 3.4 < log 2 8.5; ) , (2) 0.3 1.8 > log 0.3 2.7 ) ; log , (3)log a 5.1 ? log a 5.9(a > 0,且 ≠ 1). ) , a
函数y=log ax在(0,+∞)上是增函数 上是增函数, 当a>1时,函数 > 时 函数 在 上是增函数 于是 log a5.1<log a5.9 < 函数y=log ax在(0,+∞)上是减函数 上是减函数, 当0<a<1时,函数 < < 时 函数 在 上是减函数 于是 log a5.1>log a5.9 >
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四、自我操练

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3.判断下列函数的单调性, 增 (1) y=log 4 x (2) y=log 0.4 x (3) y=log 3 x
2

减 减


0.24

(4) y=log 1 x
2
?0.2

4.比较下列各式的大小: ?2? () ? 1? ?3?
?0.3

>
π
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?2? ? ? ?3?
? 3

?1?    ? ? (2) ?2?

> 1;
1 5

(3)π

? 2

>

?1?      ? ? (4) ?2?

<

2

?0.1
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五、小结

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1.指数1.指数-分数指数 指数 2.对数性质 2.对数性质 3.指数函数图像与性质 3.指数函数图像与性质 4.对数函数图像和性质 4.对数函数图像和性质 5. y = a x与 y = loga x互为反函数的图像交点 互为反函数的图像交点

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新疆 王新敞
奎屯

本讲到此结束, 本讲到此结束,请同学们课 后再做好复习。谢谢! 后再做好复习。谢谢!

再见!
新疆 王新敞
奎屯


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