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高中数学 2.3.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件 新人教A版必修4_图文

时间:2019-06-28

2.3.1 平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角

物理背景

1.力做功的计算

如图2-46,一个力 f 作用于一个物体,
使该物体位移s,f 与 s 夹角为? ,如

f
?s
f cos?

何计算这个力所做的功.

图2-46

解析 由物理学的知识我们得到这个力所

做的功为

其中 f cos?是 f 在物体前进方向上分量的数量。

2.两个向量的夹角

已知两个非零向量a,(b 图2-47),作向量OA ? a,
OB ? b, 则称?AOB是向量a和向量b的夹角.
并规定:0 ?? a,b ???

说明: (1)两个向量的夹角是两个从 同一始点出发的向量的正向所成 的角;

图2-47

规定:零向量与任一向量垂直

3.向量在轴上的正射影

已知向量a和轴l(图2-48),作OA ? a,过点O, A

分别作轴l的垂线,垂足分别为 O1, A1, 则向量O1 A1叫做向量a在轴l上的 正射影。

该射影在轴l上的坐标,称作

a在轴l上的数量

O1

A1

l

图2-48

警示:向量在轴上的正射影仍是 一个向量,其坐标是一个数量

想 若OA ? a在轴l上正射影的坐标

一 想

记作al ,向量a的方向与轴l的正

? 方向所成的角为?,则al如何表

A

示? A

a

O? B

B

a
?
O

O1

A1

l

(1)

A1

O1

l

(2)

由三角中的余弦定义得

4. 平面向量的数量积(内积)的定义:

?

?

??

若 | a |? 4,| b |? 3,它们的夹角为300,求 a? b

1. 平面向量的数量积(内积)的定义: 已知两个非零向量 a 和 b,它们的
夹角为? ,我们把数量 | a || b | cos? 叫做
a 与 b 的数量积(或内积) .
记为:a ? b , 即 a ? b ? | a || b | cos? .
规定: 零向量与任一向量的数 量积 为0,即a ? 0 ? 0 .

向量的数量积是一个数量,那么它什 么时候为正,什么时候为负?
a·b=|a| |b| cosθ
当0°≤θ < 90°时a·b为正; 当90°<θ ≤180°时a·b为负。 当θ =90°时a·b=0。

对于两个非零向量 a, b,设

其夹角为θ,那么 b cos? 的几何

意义?

A

b

O

θ

a B

b cos? A1

︱b︱cosθ 叫做:b在a方向上的投影(数量)

练习:

若 | a | ? 4 , | b | ? 8 , a 与 b 夹角为 ?,
(1)当 ? ? 30 °时,a 在 b 上的数量为 2 3 ;

(2)当? ? 90°时,a在 b 上的数量为 0 ;

(3)当? ?120 °时,a 在 b 上的数量为 ?2 ;

?4 (4)当 ? ? 120 °时,b 在 a 上的数量为

.

2.数量积 a b ? a b cos? 的几何意义
数量积a·b等于a的模与b在a方向上的 投影︱b︱cosθ 的乘积,或等于b的模与a 在b方向上的投影︱a︱cosθ 的乘积,

3. 两个向量的数量积的性质:
设 a、b 为两个非零向量 ,
??
(1) a ? b ? a? b ? 0

2. 两个向量的数量积的性质:
??
(2) 当 a 与 b 同向时, a ?b ? a b

当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? a ? b .

特别地,

2
a?a ? a

?

2
a

或a

?

a?a .

(3) cos? ? a ?b . (4) a ?b ? a b .
ab

例1.已知 a =5,b ? 4, a,b ? 1200,求a b.
解:a b= a b cos a,b ? 5 ? 4 ? cos1200 ? ?10.

变式练习:
已知 a ? 3, b ? 6,当
?1?a / /b?2?a ? b?3?a与b的夹角为600时,
分别求a b.
解: (1)a∥b时, a·b =±18; (2)a⊥b时,a·b=0; (3) a与b的夹角是60°时,a·b=9.

练习:
1.若a =0,则对任一向量b ,有a · b=0.√
2.若a ≠0,则对任一非零向量b ,有a ·b≠0. ×
3.若a ≠0,a · b =0,则b=0 × 4.若a · b=0,则a · b中至少有一个为0×.
5.若a≠0,a ·b= b ·c,则a=c ×
6.若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当
a=0 时成立.× 7.对任意向量 a 有 a2 ?| a |2 √

平面向量数量积的运算律
已知向量 a,b, c 和实数 ? ,则向量的数量
积满足:
(1) a ?b ? b?a. (交换律)
(2)(?a) ? b ? ?(a ? b) ? a ? (?b). (数乘结合律)
(3) (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c. (分配律)
注意:数量积运算不满足结合律.

例2.求证:
? ? (1) a ? b 2 ? a 2 ? 2a ?b ? b 2 ; ? ? ? ? (2) a ? b ? a ? b ? a 2 ? b 2 ;
(3)a b ? 1 ( a+b 2 - a 2 - b 2 ). 2

例2:已知 a ? 4, b ? 2,且a与b夹角为120?.求:

?1??a - 2b???a ? b?; ?2?a与a ? b的夹角.

解:a ? b ? a ? b ? cos120? ? ?4

?1??a ? 2b? ??a ? b? ? a2 ? a ? b ? 2b2 ? 16 ? ??4? ? 2? 4 ? 12; ?2? a ??a ? b? ? a2 ? a ? b ? 16 ? 4 ? 12,

a ? b ? ?a ? b?2 ? 2 3,

a??a ?b?

?cos ? a, a ? b ??

?

12

? 3,

a ? a ?b 4?2 3 2

?a与a ? b的夹角是30?.

1.下列叙述不正确的是( C )

A.向量的数量积满足交换律

B.向量的数量积满足分配律

C.向量的数量积满足结合律

D. a ? b是一个实数

2.已知 a ? 6, b ? 4,a与b的夹角为600则?a+2b? ??a-3b?

等于? ???B??? ?

A.72

B.-72

C.36 D.-36

1.在 ABC中,AB? BC ? 0,则 ABC的形状是( C )

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.不能确定

2.在 ABC中,AB? BC ? 0,则 ABC的形状是( D )

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.不能确定

3.下列命题中,不正确的是? D ?

A. a ? a2

B.? ?a ?b? ? a ???b?

C.?a ? b? ? c ? a ? c ? b ? c ?D.a与b共线 ? a ? b= a b


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