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2000年全国高中数学联赛试题

时间:2011-02-12


2000 年全国高中数学联合竞赛试卷
(10 月 15 日上午 8:00?9:40) 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.设全集是实数,若 A={x| x ? 2 ≤0},B={x| 10 x ? 2 = 10 x },则 A ∩ B 是( ) (A){2} (B){?1} (C){x|x≤2} (D) ? α α α 2.设 sinα>0,cosα<0,且 sin >cos ,则 的取值范围是( ) 3 3 3 π π 2kπ π 2kπ π (A)(2kπ+ ,2kπ+ ), k∈Z (B)( + , + ),k∈Z 3 3 6 3 6 3 5π 5π π π (C)(2kπ+ ,2kπ+π),k∈Z (D)(2kπ+ ,2kπ+ ) ∪ (2kπ+ ,2kπ+π),k∈Z 4 3 6 6 3.已知点 A 为双曲线 x2?y2=1 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右分支上,△ABC 是等边三角形,则△ ABC 的面积是( )
2

3 3 3 (D)6 3 (B) (C)3 3 3 2 4.给定正数 p,q,a,b,c,其中 p≠q,若 p,a,q 是等比数列,p,b,c,q 是等差数列,则一元二次方程 bx2?2ax+c=0( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 5 4 5.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线 y = x + 的距离中的最小值是( ) 3 5
(A)

(A)

34 170

(B)

6.设 ω = cos

π

5 5 (A)x4+x3+x2+x+1=0 (C) x4?x3?x2+x+1=0

+ i sin

π

34 85

(C)

1 20

(D)

1 30 )

,则以ω,ω3,ω7,ω9 为根的方程是(
(B) x4?x3+x2?x+1=0 (D) x4+x3+x2?x?1=0

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.arcsin(sin2000°)=__________.
8.设 an 是(3? x ) n 的展开式中 x 项的系数(n=2,3,4,…),则 lim (
n →∞

3 2 33 3n + +?+ )=________. a 2 a3 an

9.等比数列 a+log23,a+log43,a+log83 的公比是____________. x2 y2 10.在椭圆 2 + 2 = 1 (a>b>0)中,记左焦点为 F,右顶点为 A,短轴上方的端点为 B.若该椭圆的离心率 a b 5 ?1 ,则∠ABF=_________. 2 11.一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为 a,则这个球的体积是________. 12.如果:(1)a,b,c,d 都属于{1,2,3,4}; (2)a≠b,b≠c,c≠d,d≠a; (3)a 是 a,b,c,d 中的最小值,



那么,可以组成的不同的四位数 abcd 的个数是_________.

三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) Sn 的最大值. 13.设 Sn=1+2+3+…+n,n∈N,求 f(n)= ( n + 32) S n +1

1 13 14.若函数 f ( x) = ? x 2 + 在区间[a,b]上的最小值为 2a,最大值为 2b,求[a,b]. 2 2

15.已知 C0:x2+y2=1 和 C1:

x2 y2 + = 1 (a>b>0)。试问:当且仅当 a,b 满足什么条件时,对 C1 上任意一点 a2 b2 P,均存在以 P 为项点,与 C0 外切,与 C1 内接的平行四边形?并证明你的结论。

加试题
一、(满分 50 分)如图,在锐角△ABC 的 BC 边上有两点 E、F,满足∠BAE=∠CAF,作 FM⊥AB, FN⊥AC(M,N 是垂足),延长 AE 交△ABC 的外接圆于点 D。证明:四边形 AMDN 与△ABC 的面积相等。

A
二、(满分 50 分)设数列{an}和{bn}满足 a0=1,b0=0,且 ?an +1 = 7an + 6bn ? 3, ,n=0,1,2,…,证明:an(n=0,1,2,…)是完全平方 ? ?bn +1 = 8an + 7bn ? 4, 数。

M N B D
EF

C

三、(满分 50 分)有 n 个人,已知他们中的任意两人至多通电话一次,他们中的任意 n?2 个人之间通电话的 总次数相等,都是 3k 次,其中 k 是自然数,求 n 的所有可能的值。


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