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七年级上一元一次方程培优讲义(精品)

时间:2016-11-20


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###### 知识点: 1、了解一元一次方程的概念,理解等式的基本性质。 教学 2、理解移项法则,会解一元一次方程。 目标 3、了解一元一次方程在解决问题中的应用。 方法:讲解和练习
重点 教学重点;一元一次方程的概念、解法 难点 教学难点;一元一次方程的解法应用 课前 检查 作业完成情况:优□ 良□ 中□ 差□ 建议__________________________________________

年级

######

性别

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教学课题

一元一次方程培优讲 义

一元一次方程复习提高 要点一:方程及一元一次方程的相关概念 方程的概念:含有未知数的等式叫做方程。 一元一次方程的概念:方程两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的指数 是一次的方程叫做一元一次方程。 其中“元”是指未知数, “一元”是指一个未知数; “次”是指含有未知数的项的最 高次数, “一次”是指含有未知数的项的最高次数是一次。 等式、方程、一元一次方程的区别和联系: 教 区别 学 内 容 等式 方程 用等号连接的式子。 含有未知数的等式。 举例 3+2=5,x+1=0 X+1=0,x+y=2 联系 都是 用等 号连 接的 式子

一 元 一 次 方程两边都是整式,只含有一个未知数并且 X+1=0 , 2 5 方程 未知数的指数是一次的方程。 1 y+1= y 2 方程的解的概念: 使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。 (1)解方程的概念:求方程的解或判定方程无解的过程叫做解方程。

(2)判断一个未知数的值是不是方程的解:将未知数的值代入方程,看左右两边的 值是否相等,能使方程左右两边相等的味之素的值就是方程的解。否则就不是方程 的解。

一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤、注意点、基本思路。 一般步骤 (1)去分母 (2)去括号 注意点 方程的每一项都要乘以最简公分母 去掉括号, 括号内的每项符号都要同时变或不 变 (3)移项 (4)合并同类项 移项要变号 只要把系数合并,字母和它的指数不变。

(5)方程两边同除 相除时系数不等于 0。若为 0,则方程可能无 以未知数的系数 重点题型总结及应用 知识点一:一元一次方程的概念 例 1、 已知下列各式: ①2x-5=1;②8-7=1;③x+y;④ ⑥5x+3y+4z=0;⑦ A、5 举一反三: 【变式 1】判断下列哪些方程是一元一次方程: (1)-2x2+3=x (2)3x-1=2y (3)x+
1 =2 x 1 x-y=x2;⑤3x+y=6; 2

解或有无穷多解。

1 1 - =8;⑧x=0。其中方程的个数是( m n

)

B、6

C、7

D、8

(4)2x2-1=1-2(2x-x2)

【变式 2】若关于 x 的方程 mx m? 2 ? m ? 3 ? 0 是一个一元一次方程,则 m ? _______. 【变式 3】若关于 x 的方程 ? k ? 2 ? x3 ? kx ?
k2 ? 0 是一元一次方程,则 k ? _______ 2

【变式 4】若关于 x 的方程 ?m ? 2?x m?3 ? mx ? 5 是一元一次方程,则 m ? _______. 【变式 5】若关于 x 的方程 ?m ? 2?(m ? 2) x 2 ? (m ? 2) x ? 5 是一元一次方程, 则 m ? _______. 【变式 6】已知:(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+6=0 是关于 x 的一元一次方程,

则 a=_______. 知识点二:方程的解 题型一:已知方程的解,求未知常数 例 2、当 k 取何值时,关于 x 的方程
4 x ? k 5x ? 0.8 k ? x 的解为 x ? ?2 ? ? ? 0.5 0.2 0.1

举一反三: 已知
y ? m ? my ? m . (1)当 m ? 4 时,求 y 的值; (2)当 y ? 4 时,求 m 的值. 2

题型二:已知一方程的解,求另一方程的解 例 3、已知 x ? 1 是关于 x 的方程 1 ? (m ? x) ? 2 x 的解,解关于 y 的方程:
m( y ? 3) ? 2 ? m(2 y ? 5) .

1 3

题型三:同解问题

例 4、方程 2 x ? 3 ? 3 与 1 ?

3a ? x ? 0 的解相同,求 a 的值. 3

举一反三: 【变式 1】已知方程 4 x ? 2m ? 3x ? 1 与方程 3x ? 2m ? 6 x ? 1 的解相同. (1)求 m 的值; (2)求代数式 (m ? ) 2010 ? (2m ? 2) 2011 的值. 【变式 2】已知方程 2 ? k 的值.
x ?1 1 ? x kx ? 2 2 ? 2x ? ? 3 ? x 与方程 4 ? ? 3k ? 的解相同,求 3 2 3 4
3 2

【变式 3】方程 2 ? 3( x ? 1) ? 0 的解与关于 x 的方程 求 k 的值。

k?x ? 3k ? 2 ? 2 x 的解互为倒数, 2

题型四:已知方程解的情况,求未知常数的取值范围

例 5、要使方程 ax=a 的解为 1,则( A.a 可取任何有理数 B.a>0

) C. a<0 D.a≠0 )

例 6、关于 x 的方程 ax+3=4x+1 的解为正整数,则 a 的值为( A. 2 举一反三: 已知方程 2ax=(a+1)x+6,求 a 为何整数时,方程的解是正整数. B. 3 C.1 或 2 D.2 或 3

知识点三:等式的性质(方程变形——解方程的重要依据) 注:分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数(特别是分母中的小数)化 为, 如方程:
x?4 x?3 - =1.6,将其化为:-=1.6。方程的右边没有变化, 0 .2 0 .5

这要与“去分母”区别开。 例 7、下列等式变形正确的是( A.若 x ? y ,则 x ? 5 ? y ? 5 C.若
a b ? ,则 2a ? 3b c c

) B. 若 a ? b ,则 ac ? bc D. 若 x ? y ,则
x y ? m m

举一反三: 1、若 ax ? ay ,下列变形不一定正确的是( A. ax ? 5 ? by ? 5 B. ax ? 3 ? by ? 3 ) C.由 x+2=y+2 得 x=y D.由 x÷3=3 )
1 1 C. ? ax ? ? ay 3 3

D. x ? y

2、下列等式变形错误的是( A.由 a=b 得 a+5=b+5 ÷y 得 x=y

B.由 a=b 得 6a=6b

3、运用等式性质进行的变形,正确的是( A.如果 a=b 那么 a+c=b-c; C.如果 a=b 那么 a×3=b÷3 ;

) B.如果 6+a=b-6 那么 a=b;

D.如果 a2=3a 那么 a=3

4、下列等式变形错误的是( A.由 a=b 得 a+5=b+5 x=-y

)
a b ? C.由 x+2=y+2 得 x=y ?9 ?9

B.由 a=b 得

D.由-3x=-3y 得

5、运用等式性质进行的变形,正确的是( A.如果 a=b,那么 a+c=b-c; C.如果 a=b,那么
a b ? ; c c

) B.如果
a b ? ,那么 a=b; c c

D.如果 a2=3a,那么 a=3 ) D.
1 1 ma ? mb 2 2

6、如果 ma=mb,那么下列等式中不一定成立的是( A. ma+1=mb+1 B.ma—3=mb—3 C. a=b )。 B.如果

7、运用等式性质进行的变形,正确的是( A.如果 a=b,那么 a+c=b-c; C.如果 a=b,那么
a b ? c c

a b ? ,那么 a=b; c c

D.如果 a 2 ? 3a ,那么 a=3

知识点四:解一元一次方程的一般步骤: 例 8、 (用常规方法)解方程: 1 ?
x ?1 2x ?1 =2 ? 2 3

(非常规方法解方程) (一)巧凑整数解方程

例 9、解方程:

11 9 2 5 + x= - x 9 7 9 7

思路点拨:仔细观察发现,含未知数的项的系数和为, 常数项和为,故直接移项凑成比先去分母简单。

举一反三:

【变式】解方程:

0.4 x+0.9 0.04+0.3 x - =2x-5 0.05 0.02

(二)巧用观察法解方程 例 10、解方程: ( y+1)+ ( y+2)=3- ( y+3)
1 2 1 3 1 4

(三)巧去括号法解方程 含多层括号的一元一次方程,要根据方程中各系数的特点,选择适当的去括号的方 法,以避免繁杂的计算过程。
? ? 例 11、解方程: 3 ? 4 ? 2 +4 ?-6?=1 ? ? ? ? 1 ? 3 3x-5 ?

思路点拨:因为题目中分数的分子和分母具有倍数关系,所以从向去括号可以使计 算简单。

举一反三: 【变式】解方程: 2 ? 2 ?? 2 x-2 ?-2?-2?-2=2
? ?? ? ?

1 ? 1 ?? 1

? ?

?

?

(四)运用拆项法解方程

在解有分母的一元一次方程时,可以不直接去分母,而是逆用分数加减法法则,拆 项后 再合并,有时可以使运算简便。 例 12、解方程:
x+3 2-3x 5 - = 4 8 2

思路点拨:注意到_____________________,这样逆用分数加减法法则,可使计算简 便。

(五)巧去分母解方程 当方程的分母含有小数,而小数之间又没有特殊的倍数关系时,若直接去分母则会 出现 比较繁琐的运算。为了避免这样的运算。应把分母化成整数。化整数时,利用分数 的基 本性质将各个分子、分母同时扩大相同的倍数即可。 例 13、解方程:
x 1.3-2 x - =1 0.07 0 .7

(六)巧组合解方程 例 14、解方程:
x-5 x+5 x-3 2 x+3 + = + 3 8 4 9

思路点拨:按常规解法将方程两边同乘化去分母,但运算较复杂,注意到左边 的第一项和右边的第项中的分母有公约数,左边的第项和右 边的第一项的分母有公约数,移项局部通分化简,可简化解题过程。

(七)巧解含有绝对值的方程 解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号,转化为一般的一元一次方程。 对于只含一重绝对值符号的方程,依据绝对值的意义,直接去绝对值符号,化为两 个 一元一次方程分别解之,即若|x|=m,则_________________________。 例 15、解方程:|x-2|-3=0 解法一: 解法二:

举一反三: 【变式 1】5|x|-16=3|x|-4

【变式 2】

3x ? 1 2

?4

解一元一次方程常用的技巧有: (1)有多重括号,去括号与合并同类项可交替进行。 (2)当括号内含有分数时,常由外向内先去括号,再去分母。 (3)当分母中含有小数时,可用分数的基本性质化成整数。 (4)运用整体思想,即把含有未知数的代数式看作整体进行变形。 知识点五:理解方程 ax=b 在不同条件下解的各种情况,并能进行简单应用 题型一:方程有唯一解 例 16、若(3a+2b)x2+ax+b=0 是关于 x 的一元一次方程,且 x 有唯一解,求这个解.

题型二:方程有无数解 例 17、关于 x 的方程 3x-4=a-bx 有无穷多个解,则 a. b 的值应是( A. 数 题型三:方程无解
x x 1 例 18、已知关于 x 的方程 ? a ? ? ( x ? 6) 无解,则 a 的值是( 3 2 6

)

a=4, b=-3

B.a=-4, b=-3

C.

a=4 , b=3

D.a .b 可取任意



A.1 举一反三:

B.-1

C.±1

D.不等于 1 的数

1、已知关于 x 的方程 a(2x-1)=3x-2 无解,试求 a 的值.

2、若关于 x 的方程 ︳2x-1 ︳+m=0 无解,则 m=____________.

3.(1)关于 x 的方程 4k(x+2)-1=2x 无解,求 k 的值; (2)关于 x 的方程 kx-k=2x-5 的解为正数,求 k 的取值范围.

4、已知关于 x 的方程 a(2x-1)=4x+3b,当 a、b 为何值时: (1)方程有唯一解? (2)方程有无数解? (3)方程没有解?

总结升华:理解方程 ax=b 在不同条件下解的各种情况 (1)a≠0 时,方程有唯一解 x=
b ; a

(2)a=0,b=0 时,方程有无数个解; (3)a=0,b≠0 时,方程无解。


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