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高中数学专题训练(教师版)—指数与指数函数

时间:2012-03-22


高中数学专题训练(教师版)— 高中数学专题训练(教师版)—指数与指数函数
一、选择题 1.(2011·郑州质检)给出下列结论: 3 ①当 a<0 时,(a2) =a3; 2 n ② an=|a|(n>1,n∈N*,n 为偶数); 7 1 ③函数 f(x)=(x-2) -(3x-7)0 的定义域是{x|x≥2 且 x≠3}; 2 1 ④若 2x=16,3y= ,则 x+y=7. 27 其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 答案 B 3 解析 (a2)2>0 a3<0,故①错, 1 ∵2x=16 ∴x=4 ∵3y=27 ∴y=-3 ∴x+y=4+(-3)=1 故④错. - 2.函数 f(x)=3 x-1 的定义域、值域是( ) A.定义域是 R,值域是 R B.定义域是 R,值域是(0,+∞) C.定义域是 R,值域是(-1,+∞) D.以上都不对 答案 C 1 解析 f(x)=( )x-1 3 1x ∵(3) >0 ∴f(x)>-1. 1 3.设 y1=40.9,y2=80.48,y3=(2)-1.5,则( ) A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3 C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2 答案 D 解析 y1=21.8,y2=21.44,y3=21.5 ∵y=2x 在定义域内为增函数 ∴y1>y3>y2. 4.下列函数中值域为(0,+∞)的是( ) 1 1 A.y=5 B.y=(3)1-x 2-x 1 C.y= (2)x-1 D.y= 1-2x 答案 B

x 5.函数 f(x)= ·ax(a>1)的图象的大致形状是( |x|

)

答案 解析

B
x ?a (x>0) ? x f(x)= ?-a (x<0)

x2 y2 6.(2010·湖北卷)设集合 A={(x,y)| 4 +16=1},B={(x,y)|y=3x},则 A∩B 的子集的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案 A x2 y2 解析 在同一坐标系下画出椭圆 4 +16=1 及函数 y=3x 的图象, 结合图形不难得知它们的图象有两个公共点,因此 A∩B 中的元素有 2 个, 其子集共有 22=4 个,选 A. 7.若函数 y=ax+b-1(a>0 且 a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则一定 有( ) A.0<a<1 且 b>0 B.a>1 且 b>0 C.0<a<1 且 b<0 D.a>1 且 b<0 答案 C

解析 结合图象可得.(右图) 8.(2011·山东泰安)设函数 f(x)=a-|x|(a>0,且 a≠1),f(2)=4,则 ( ) A.f(-2)>f(-1) B.f(-1)>f(-2) C.f(1)>f(2) D.f(-2)<f(2) 答案 A 1 ?1? 解析 ∵f(2)=4,∴a-|2|=4,a=2,∴f(x)=?2?-|x|=2|x|,则函数 f(x)为偶函 ? ? 数,x≥0 时,递增,x<0 时,递减,故选 A. 9.(09·宁夏、海南)用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值.设 f(x) =min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则 f(x)的最大值为( )

A.4 B.5 C.6 D.7 答案 C (0≤x<2) ? 由题意易知 f(x)=?x+2 (2≤x<4) ?10-x (x≥4) 2x ,画出 f(x)的图象,易知 f(x)的

解析

最大值为 6. 二、填空题 a 10.函数 y=ax(a>0 且 a≠1)中,若 x∈[1,2]时最大值比最小值大2,则 a 的 值为________. 1 3 答案 2或2 解析 不论 a 取何值 y=ax 在[1,2]上都是单调的. a ∴2=|f(1)-f(2)|=|a-a2|. 1 3 解得 a=2或2. (x<2)?2-x (x≥2) ,则 f(-3)的值为________. 11.函数 f(x)={f(x+2) 1 答案 8 1 解析 f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(-1+2)=f(1)=f(1+2)=f(3)=2-3=8. 12.已知 f(x)=ax(a>1),g(x)=bx(b>1),当 f(x1)=g(x2)=2 时,有 x1>x2,则 a、 b 的大小关系是________. 答案 a<b 解析 x1=loga2>x2=logb2>0,∴log2a<log2b. ∴a<b. 三、解答题 ax-a-x 13.已知 f(x)= x (0<a<1). a +a-x (1)证明 f(x)是定义域上的减函数; (2)求 f(x)的值域. 答案 (1)略 (2)(-1,1) 解析 (1)由已知 f(x)的定义域为 R, ax-a-x a2x-1 2 f(x)= x =1- 2x , -x= 2x a +a a +1 a +1 设 x1,x2∈R,且 x1<x2,则 2 2 f(x2)-f(x1)=(1- )-(1- ) a2x2+1 a2x1+1 2(a2x2-a2x1) = (a2x2+1)(a2x1+1) ∵0<a<1, ∴y=ax 为减函数 ∴当 x2>x1 时,a2x2-a2x1<0,

又 a2x1+1>0, a2x2+1>0, 故当 x2>x1 时,f(x2)-f(x1)<0 即 f(x2)<f(x1),所以 f(x)在 R 上是减函数 a2x-1 1+y (2)令 y=f(x)= 2x ,解得 a2x= a +1 1-y 1+y ∵a2x>0, ∴ >0,解得-1<y<1. 1-y 故 f(x)的值域为(-1,1). 14.是否存在实数 a,使函数 y=a2x+2ax-1(a>0, 且 a≠1)在[-1,1]上的最 大值是 14? 1 答案 a=3 或 a= 3 x 解析 令 t=a ,则 y=t2+2t-1. (1)当 a>1 时,∵x∈[-1,1], 1 1 ∴ax∈[a,a],即 t∈[a,a]. 1 1 ∴y=t2+2t-1=(t+1)2-2 在[a,a]上是增函数(对称轴 t=-1<a). ∴当 t=a 时 ymax=(a+1)2-2=14. ∴a=3 或 a=-5.∵a>1,∴a=3. 1 (2)当 0<a<1 时 t∈[a,a], 1 ∵y=(t+1)2-2 在[a,a]上是增函数, 1 ∴ymax=(a+1)2-2=14, 1 1 1 ∴a=3或 a=-5.∵0<a<1,∴a=3. 1 综上,a=3 或 a=3. a 15.已知 f(x)= 2 (ax-a-x)(a>0 且 a≠1). a -1 (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)讨论 f(x)的单调性; (3)当 x∈[-1,1]时,f(x)≥b 恒成立,求 b 的取值范围. 答案 (1)奇函数 (2)在 R 上是增函数 (3)(-∞,-1] 解析 (1)函数定义域为 R,关于原点对称. a 又因为 f(-x)= 2 (a-x-ax)=-f(x), a -1 所以 f(x)为奇函数. (2)当 a>1 时,a2-1>0,y=ax 为增函数,y=a-x 为减函数,从而 y=ax-a-x 为增函数.所以 f(x)为增函数. 当 0<a<1 时,a2-1<0, y=ax 为减函数,y=a-x 为增函数, 从而 y=ax-a-x 为减函数.所以 f(x)为增函数. 故当 a>0,且 a≠1 时,f(x)在定义域内单调递增.

(3)由(2)知 f(x)在 R 上是增函数, 所以在区间[-1,1]上为增函数. 所以 f(-1)≤f(x)≤f(1). 2 a a 1-a 所以 f(x)min=f(-1)= 2 (a-1-a)= 2 · =-1. a -1 a -1 a 所以要使 f(x)≥b 在[-1,1]上恒成立,则只需 b≤-1. 故 b 的取值范围是(-∞,-1].

3 6 4 3 4 1.下列等式 6a3=2a; -2= (-2)2;-3 2= (-3)4×2中一定成立 的有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 答案 A 3 解析 3 6 3 3 6 3 6a3= 6a≠2a; -2=- 2<0, (-2)2= 22= 2>0,

3 6 4 4 4 4 ∴ -2≠ (-2)2;-3 2<0, (-3)4×2>0,故-3 2≠ (-3)4×2.故选 A. 2.函数 y= 4-2x的定义域是( ) A.(0,2] B.(-∞,2] C.(2,+∞) D.[1,+∞) 答案 B 解析 由 4-2x≥0,得 x≤2. 3.(2010·重庆)函数 y= 16-4x的值域是( ) A.[0,+∞) B.[0,4] C.[0,4) D.(0,4) 答案 B 4.若 0<a<1,0<b<1,且 alogb(x-3)<1,求 x 的取值范围. 答案 (3,4) 解析 logb(x-3)>0,∴0<x-3<1 ∴3<x<4.


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