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2013版高三(理)一轮复习 8.7 抛物线

时间:2012-12-14


(45 分钟 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分)

100 分)

1.设抛物线 y =8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离 是( (A)4 ) (B)6 (C)8 (D)12

2

2.(2012?深圳模拟)顶点在原点,准线方程为 y-3=0 的抛物线焦点坐标 为( ) (B)(0,-3) (C)(3,0)
2

(A)(0,3)

(D)(-3,0)

3.过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y =4x 仅有一个公共点,这样的直线共 有( (A)1 条 ) (B)2 条 (C)3 条 (D)4 条
2

4.(2012?佛山模拟)已知抛物线 C1:y=2x 与抛物线 C2 关于直线 y=-x 对称,则 C2 的准线 方程是( 1 (A)x= 8 1 (C)x= 2 ) (B)x=- 1 8 1 2
2

(D) x=-

5.(2012?广州模拟)已知抛物线 C:y =8x 的焦点为 F,准线与 x 轴的交点为 K,点 A 在 C 上,且|AK|= 2|AF|,则△AFK 的面积为( (A)4 (B)8
2

)

(C)16

(D)32

6.已知抛物线 y =2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( (A)x=1 (C)x=2 (B)x=-1 (D)x=-2 )

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 1 2 y x 7.抛物线 y= x 的焦点与双曲线 - =1 的上焦点重合,则 m= 16 3 m
2 2 2

.

8.过抛物线 y=8x 的焦点作直线交抛物线于 A,B 两点,线段 AB 的中点 M 的纵坐标为 2,则 线段 AB 的长为 .
2

9.(易错题)设 F 为抛物线 y =4x 的焦点, B 为该抛物线上两点, FA +2 FB =0, FA | A、 若 则| +2| FB |=

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.
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三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 10.(2011?江西高考)已知过抛物线 y =2px(p>0)的焦点,斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2) (x1<x2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程; (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若 OC = OA +λ OB ,求 λ 的值. 16 2 2 2 11.(预测题)如图,已知抛物线 C1:x =2py(p>0)与圆 C2:x +y = 交 9 于 M、N 两点,且∠MON=120°. (1)求抛物线 C1 的方程; (2)设直线 l 与圆 C2 相切. ①若直线 l 与抛物线 C1 也相切,求直线 l 的方程. ②若直线 l 与抛物线 C1 交于不同的 A、B 两点,求 OA ? OB 的取值范 围. 【探究创新】 (16 分)已知抛物线 x =2y 的焦点为 F,准线为 l,过 l 上一点 P 作抛物线的两条切线,切点 分别为 A、B. 某学习小组在研究讨论中提出如下三个猜想: (1)直线 PA、PB 恒垂直; (2)直线 AB 恒过焦点 F; (3)等式 FA ? FB =λ FP 中的 λ 恒为常数. 现请你一一进行论证.
2 2

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??? 2

答案解析 1.【解析】选 B.∵点 P 到 y 轴的距离是 4,延长使得和准线相交于点 Q,则|PQ|等于点 P 到 焦点的距离,而|PQ|=6,所以点 P 到该抛物线焦点的距离为 6. 【方法技巧】抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离的求解技巧 抛物线上的点到焦点的距离与抛物线上的点到准线的距离经常相互转化: (1)若求点到焦点的距离,则可联想点到准线的距离;(2)若求点到准线的距离,则经常联想 点到焦点的距离.解题时一定要注意.

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2.【解析】选 B.准线方程为 y=3,焦点在 y 轴负半轴上,标准方程为 x =-12y,故焦点坐 标为(0,-3). 3. 【解析】选 C.作出图形,可知点(0,1)在抛物线 y =4x 外.因此,过该点可作抛物线 y
2 2 2

2

=4x 的切线有两条,还能作一条与抛物线 y =4x 的对称轴平行的直线,因此共有三条直线 与抛物线只有一个交点. 1 2 2 4.【解析】选 A.抛物线 C2 的方程为-x=2y ,即 y =- x. 2 1 1 p 1 1 故 2p= ,∴p= , = .故准线方程为 x= . 2 4 2 8 8 5.【解析】选 B.∵抛物线 C:y =8x 的焦点为 F(2,0),准线为 x=-2, ∴K(-2,0), 设 A(x0,y0),过 A 点向准线作垂线 AB,则 B(-2,y0), ∵|AK|= 2|AF|,又|AF|=|AB|=x0-(-2)=x0+2, ∴由 BK =AK -AB 得 y0=(x0+2) ,即 8x0=(x0+2) ,解得 A(2,±4), 1 1 ∴△AFK 的面积为 |KF|?|y0|= ?4?4=8. 2 2 6.【解析】选 B.方法一:设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线 AB 的方 p 2 2 2 程为:y=x- ,与 y =2px 联立得:y -2py-p =0,∴y1+y2=2p, 2 由题意知:y1+y2=4, ∴p=2,∴抛物线的方程为 y =4x, 其准线方程为 x=-1,故选 B. 方法二:设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由题意得 y1+y2=4,y1=2px1,y2=2px2, y1-y2 2p p 两式相减得:kAB= = = =1,∴p=2, x1-x2 y1+y2 2 ∴抛物线的方程为 y =4x,其准线方程为 x=-1. 【方法技巧】弦中点问题的常用结论及求解技巧 (1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,同时,要注意使用条件是 Δ ≥0. x y b x0 (2)在椭圆 2+ 2=1(a>b>0)中,以 P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率 k=- 2 . a b a y0 x y b x0 (3)在双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)中, P(x0, 0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率 k= 2 . 以 y a b a y0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

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p 2 (4)在抛物线 y =2px(p>0)中,以 P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率 k= . y0 1 2 y 2 7. 【解析】 因为抛物线 y= x 的标准方程为 x =16y, 焦点坐标为(0,4), 又因为双曲线 - 16 3 x =1 的上焦点坐标为(0, 3+m),依题意有:4= 3+m,解得 m=13. m 答案:13 1 2 1 【误区警示】本题易出现 y= x 的焦点为(0, )的错误,原因是对抛物线的标准方程记 16 64 忆不准确. 8.【解析】设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4. 1 1 1 2 2 又∵y=8x 即 x = y,∴2p= ,p= , 8 8 16 65 ∴|AB|=y1+y2+p= . 16 65 答案: 16 9.【解题指南】先过 A,B 两点分别作准线的垂线,再过 B 作 AC 的垂线,垂足为 E,在直角 AE 1 三角形 ABE 中,求得 cos∠BAE= = ,得出直线 AB 的斜率,进而得到直线 AB 的方程为: AB 3 y=2 2(x-1), 将其代入抛物线的方程求得 A, 的坐标, B 最后利用距离公式求得结果即可. 【解析】过 A,B 两点分别作准线的垂线,再过 B 作 AC 的垂线,垂足为 E, 设 BF=m,则 BD=m, ∵ FA +2 FB =0, ∴AC=AF=2m, 如图,在直角三角形 ABE 中, AE=AC-BD=2m-m=m, AE 1 AB=3m,∴cos∠BAE= = , AB 3 ∴直线 AB 的斜率为:k=tan∠BAE=2 2, ∴直线 AB 的方程为:y=2 2(x-1), 将其代入抛物线的方程化简得:2x -5x+2=0, 1 ∴x1=2,x2= 2 1 ∴A(2,2 2),B( ,- 2),又 F(1,0), 2
2 2 2

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则| FA |+2| FB |= 1+8+2 答案:6

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1 2 ( ) +2=6. 2

p p 2 10.【解析】(1)抛物线 y =2px(p>0)的焦点坐标为( ,0),所以直线 AB 过点( ,0),斜率 2 2 p 2 2 为 2 2,所以直线 AB 的方程是 y=2 2(x- ),与抛物线方程 y =2px 联立,消去 y 得:4x 2 -5px+p =0,所以 x1+x2= 此抛物线方程为:y =8x. (2)由 p=4 及 4x -5px+p =0 得 x -5x+4=0, 解得: 1=1, 2=4, 1=-2 2, 2=4 2, x x y y 从而 A(1,-2 2),B(4,4 2),设 C(x3,y3),则有 OC =(x3,y3), OA +λ OB =(1,- 2 2)+λ (4,4 2)=(1+4λ ,-2 2+4 2λ ),又因为 OC = OA +λ OB ,所以(x3,y3) =(1+4λ ,-2 2+4 2λ ),即 x3=1+4λ ,y3=-2 2+4 2λ , 又因为 y3=8x3,即(-2 2+4 2λ ) =8(1+4λ ), 即(2λ -1) =4λ +1,解得λ =0 或λ =2. 【变式备选】动点 P 在 x 轴与直线 l:y=3 之间的区域(含边界)上运动,且到点 F(0,1)和 直线 l 的距离之和为 4. (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 Q(0,-1)作曲线 C 的切线,求所作的切线与曲线 C 所围成区域的面积. 【解析】(1)设 P(x,y),根据题意, 得 x +(y-1) +3-y=4, 1 2 化简,得 y= x (y≤3). 4 (2)设过 Q 的切线方程为 y=kx-1,代入抛物线方程,整理得 x -4kx+4=0. 由Δ =16k -16=0.解得 k=±1. 于是所求切线方程为 y=±x-1(亦可用导数求得切线方程). 切点的坐标为(2,1),(-2,1). 由对称性知所求的区域的面积为 4 2 1 2 S=2∫0[ x -(x-1)]dx= . 4 3 2 3 11. 解析】 【 (1)因为∠MON=120°, 所以 OM 与 x 轴正半轴成 30°角, 所以点 M 的坐标为( , 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

5p ,由抛物线的定义得:|AB|=x1+x2+p=9,解得 p=4,因 4

??? ?

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??? ?

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2 2 3 2 2 ),代入抛物线方程得( ) =2p? ,求得 p=1, 3 3 3 所以抛物线 C1 的方程为 x =2y. (2)由题意可设 l:y=kx+b,即 kx-y+b=0, 因为 l 与圆 C2 相切,所以 即 9b =16(k +1)
2 2 2

|b|
2

4 = , k +1 3

(Ⅰ)

1 2 1 2 1 2 2 ①设直线 l 与抛物线 C1: =2y 即 y= x 相切于点 T(t, t ), x 因为函数 y= x 的导数为 y′ 2 2 2

?k=t ? =x,所以?1 2 ?2t =kt+b ?

(Ⅱ)

?t=2 2 由(Ⅰ)、(Ⅱ)解得?k=2 2 ?b=-4
? ?x =2y ②由? ?y=kx+b ?
2

?t=-2 或?k=-2 ?b=-4

2 2

所以直线 l 的方程为 y=-2 2x-4 或 y=2 2x-4, 得 x -2kx-2b=0,
2

设 A(x1,y1),B(x2,y2) 则 x1+x2=2k,x1x2=-2b,且由Δ =4k +8b>0 得 k +2b>0 9 ?k =16b -1≥0 ? 由(Ⅰ)、(Ⅲ)可得? 9 ?16b -1+2b>0 ?
2 2 2 2 2

(Ⅲ)

4 ,解得 b≥ 或 b<-4, 3

???? ??? ? ???? ??? ? 1 8 2 2 所以 OA ? OB =x1x2+y1y2= (x1x2) +x1x2=b -2b∈[- ,+∞),即 OA ? OB 的取值范 4 9
8 围是[- ,+∞). 9 【探究创新】 x x1 x2 2 【证明】(1)由 x =2y,得 y= ,对其求导,得 y′=x,设 A(x1, )、B(x2, ), 2 2 2 则直线 PA、PB 的斜率分别为 kPA=x1,kPB=x2, x1 由点斜式得直线 PA 方程为 y- =x1(x-x1), 2 x1 即 y=x1x- 2
2 2 2 2 2

①,

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x2 同理,直线 PB 方程为 y=x2x- 2

2

②,

x1+x2 x1x2 由①、②两式得点 P 坐标为( , ), 2 2 1 ∵点 P 在准线 y=- 上, 2 x1x2 1 ∴ =- ,即 x1x2=-1. 2 2 ∴kPA?kPB=x1x2=-1, ∴PA⊥PB,猜想(1)是正确的. x2 x1 - 2 2 x1+x2 (2)直线 AB 的斜率 k= = , x2-x1 2 x1 x1+x2 由点斜式得直线 AB 方程为 y- = (x-x1), 2 2 x1+x2 1 将上式变形并注意到 x1x2=-1,得 y= x+ , 2 2 1 显然,直线 AB 恒过焦点 F(0, ),猜想(2)是正确的. 2 1 1 1 (3)当 AB∥x 轴时,根据抛物线的对称性知 A(-1, )、B(1, )或 A(1, )、 2 2 2 1 B(-1, ), 2 1 这时点 P 坐标为(0,- ). 2
2 2 2

??? ??? ? ? ??? FA ? FB =(-1,0)?(1,0)=-1, FP =(0,-1),

??? 2 FP =1,有λ =-1.
下面证 FA ? FB =- FP 必成立,

??? ?

??? ?
2

??? 2

??? ? x1 1 x1-1 ∵ FA =(x1, )-(0, )=(x1, ), 2 2 2
2 2 2 ??? ? x2 1 x2-1 FB =(x2, )-(0, )=(x2, ),

2

2

2

??? ??? ? ? 1 2 2 ∴ FA ? FB =x1x2+ (x1-1)(x2-1)
4 1 2 2 2 2 =x1x2+ (x1x2-x1-x2+1) 4 1 2 2 =x1x2+ [(x1x2) +2x1x2-(x1+x2) +1] 4 1 2 2 =-1+ [(-1) +2?(-1)-(x1+x2) +1] 4

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1 2 =-1- (x1+x2) . 4

??? x1+x2 x1x2 1 又 FP =( , )-(0, ) 2 2 2
x1+x2 1 1 x1+x2 =( ,- )-(0, )=( ,-1), 2 2 2 2

??? ??? ? ? ??? 2 1 ??? 2 2 ∴ FP = (x1+x2) +1,故 FA ? FB =- FP ,λ 恒为-1.猜想(3)也是正确的. 4
【变式备选】已知抛物线 y =4x,过点 M(0,2)的直线 l 与抛物线交于 A、B 两点,且直线 l 与 x 轴交于点 C. (1)求证:|MA|,|MC|,|MB|成等比数列; (2)设 MA =α AC , MB =β BC ,试问α +β 是否为定值,若是,求出此定值;若不 是,请说明理由. 【解析】(1)由题意设直线 l 的方程为:y=kx+2(k≠0) ,
?y=kx+2 ? 联立方程可得? 2 ? ?y =4x
2

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????

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得:k x +(4k-4)x+4=0①

2 2

2 设 A(x1,y1) ,B(x2 ,y2),又 C(- ,0),则 k 4k-4 4 x1+x2=- 2 ,x1?x2= 2② k k 4(1+k ) 2 2 |MA|?|MB|= 1+k |x1-0|? 1+k |x2-0|= , 2 k 2 4(1+k ) 2 2 2 而|MC| =( 1+k |- -0|) = , 2 k k ∴|MC| =|MA|?|MB|≠0 , 即|MA|,|MC|,|MB|成等比数列. (2)由 MA =α AC , MB =β BC 得, 2 (x1,y1-2)=α (-x1- ,-y1) k 2 (x2,y2-2)=β (-x2- ,-y2) k 即得:α = -kx1 -kx2 ,β = ,则 kx1+2 kx2+2
2 2 2 2

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??? ?

????

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-2k x1x2-2k(x1+x2) α +β = 2 k x1x2+2k(x1+x2)+4 由(1)中②代入得α +β =-1, 故α +β 为定值且定值为-1.
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