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山东省2015年高考模拟冲刺卷(二)数学文科

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山东省 2015 年高考模拟冲刺卷(二) 数学文科
说明:本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试 时间 120 分钟。

第Ⅰ 卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.若集合 A ? { y | 0 ? y ? 2}, B ? {x | ?1 ? x ? 1} ,则 A (?R B) ? A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | ?1 ? x ? 0} B. {x |1 ? x ? 2} D. {x | 0 ? x ? 1} ( ) ( )

2.已知复数 z ? (1 ? i)(1 ? 2i) ,其中 i 为虚数单位,则 z 的实部为 A. ? 3 C. ?1 B. 1 D. 3

3.数列 {an } 为等差数列, a1 , a2 , a3 为等比数列, a1 ? 1 ,则 a10 ? A. 5 C. 0 B. ?1 D. 1





0 ?? ?? ) 4. 函数 f ( x)=A sin(? x+? ) ( A ? 0,? ? 0, 的图象如图所示, 则 f (0)

2

y

的值为 A. 1 C. 2 B. 0 D. 3




O

? 6

11? 12

x

?2

第 4 题图

5.在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,直线 l : x ? ky ? 1 ? 0 与圆 C : x2 ? y 2 ? 4 相交于 A, B 两点,

OM ? OA ? OB .若点 M 在圆 C 上,则实数 k ?
A. ?2 C. 0 B. ?1 D. 1





6.如图是一个算法的流程图.若输入 x 的值为 2 ,则输出 y 的值是 A. 0 C. ?2 B. ?1 D. ? 3
开始





7 .某防疫站对学生进行身体健康调查,欲采用分层抽样的办法抽取样 本.某中学共有学生 2000 名,抽取了一个容量为 200 的样本,已知样 本中女生比男生少 6 人,则该校共有女生( A. 1030 人 C. 950 人 B. 97 人 D. 970 人
| y ? x |? 1
是 输出 否 输入 x



y ? 1 x ?1 2

x ? 2y

8.已知点 P(a, b) 与点 Q(1, 0) 在直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的两侧,且 a ? 0, b ? 0 , 则 w ? a ? 2b 的取值范围是
2 1 A. [ ? , ] 3 2
1 C. (0, ) 2





y

2 B. (? , 0) 3 2 1 D. ( ? , ) 3 2

结束

9.已知三棱锥 D ? ABC 中, AB ? BC ? 1 , AD ? 2 , BD ? 5 , AC ? 2 , BC ? AD ,则关于该 三棱锥的下列叙述正确的为
1 A.表面积 S ? ( 5 ? 2 2 ? 3) 2





B.表面积为 S ? C.体积为 V ? 1 D.体积为 V ?
2 3

1 ( 5 ? 2 2 ? 2) 2

10.已知定义在实数集 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,且当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x2 ,则 关于 x 的方程 f ( x ) ? A. 2
1 | x | 在 [?1, 2] 上根的个数是 2

( D. 8



B. 4

C. 6

第Ⅱ 卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

11.抛物线 x2 ? 4 y 的焦点坐标为



12 .已知 y 与 x 之间具有很强的线性相关关系,现观测得到
( x, y ) 的四组观测值并制作了右边的对照表,由表中数据

x

18

13

10

?1

y

粗略地得到线性回归直线方程为 y ? bx ? 60 ,其中 b 的值 没有写上.当 x 等于 ?5 时,预测 y 的值为 13.已知 | a |? 2, | b |? 4, a 和 b 的夹角为 形,则该四边形的面积为 ;

24

34

38

64

? ,以 a, b 为邻边作平行四边 3

5 3

y

l
(4 , 5)

14. 如图,y ? f ( x) 是可导函数, 直线 l 是曲线 y ? f ( x) 在 x ? 4 处的切线, 令 g ( x) ?
f ( x) ,则 g ?(4) ? x
O

y ? f ( x)

4



x
1 2 ?a? ; 2 3

15.对于下列命题:①函数 f ( x) ? ax ? 1 ? 2a 在区间 (0,1) 内有零点的充分不必要条件是

②已知 E , F , G, H 是空间四点,命题甲: E , F , G, H 四点不共面,命题乙:直线 EF 和 GH 不相 交,则甲是乙成立的充分不必要条件; ③“ a ? 2 ”是“对任意的实数 x , | x ? 1| ? | x ? 1|? a 恒成立”的充要条件; ④“ 0 ? m ? 1 ”是“方程 mx2 ? (m ?1) y 2 ? 1 表示双曲线”的充分必要条件. 其中所有真命题的序号是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 2 sin

?
8

x cos

?
8

x ? 2 2 cos 2

?
8

x? 2 ,x?R .

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ) 若函数 f ( x) 图象上的两点 P, Q 的横坐标依次为 2, 4 , O 为坐标原点,求 ?OPQ 的外接圆的面 积.

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ?
4 . x

(Ⅰ)从区间 (?2, 2) 内任取一个实数 a ,设事件 A ={函数 y ? f ( x) ? 2 在区间 (0, ?? ) 上有两个不 同的零点},求事件 A 发生的概率; (Ⅱ)若连续掷两次骰子(骰子六个面上标注的点数分别为 1, 2, 3, 4, 5, 6 )得到的点数分别为

a 和 b ,记事件 B ? { f ( x) ? b2 在 x ? (0, ??) 恒成立},求事件 B 发生的概率.

18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 E ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, AE ? 平面 CDE ,已知 AE ? DE ? 2 ,F 为 线段 DE 的中点. (Ⅰ)求证: BE // 平面 ACF ; (Ⅱ)求四棱锥 E ? ABCD 的体积.
B A

C

E
F

D

19. (本小题满分 12 分)
1 已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 , a2 ? , 2

且 [3 ? (?1)n ]an?2 ? 2an ? 2[(?1)n ?1] ? 0 , n ? N* . (Ⅰ)令 bn ? a2 n?1 ,判断 {bn } 是否为等差数列,并求出 bn ; (Ⅱ)记 {an } 的前 2n 项的和为 T2 n ,求 T2 n .

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? ax , g ( x) ? ax ? ln x ,其中 a ? 0 , e 为自然对数的底数. (Ⅰ)若 g ( x) 在 (1, g (1)) 处的切线 l 与直线 x ? 3 y ? 5 ? 0 垂直,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 在 x ? [0, 2] 上的最小值; (Ⅲ)试探究能否存在区间 M ,使得 f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上具有相同的单调性?若能存在, 说明区间 M 的特点,并指出 f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上的单调性;若不能存在,请说明理 由.

21. (本小题满分 14 分) 已知动圆 P 与圆 F1 : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 81 相切,且与圆 F2 : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 相内切,记圆心 P 的轨迹 为曲线 C ;设 Q 为曲线 C 上的一个不在 x 轴上的动点, O 为坐标原点,过点 F2 作 OQ 的平行线 交曲线 C 于 M , N 两个不同的点. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)试探究 | MN | 和 | OQ |2 的比值能否为一个常数?若能,求出这个常数;若不能,请说明理 由; (Ⅲ)记 ?QMN 的面积为 S ,求 S 的最大值.

山 东 省 2015 年 高 考 模 拟 冲 刺 卷 参 考 答 案
1---5B D D A C ②④ 16.解: (Ⅰ) f ( x) ? 2 2 sin 6--10 C D D A B 11 . (0,1) 12. 70 13. 4

3

14. ?

3 16

15.①

?
8

x cos

?
8

x ? 2(2 cos 2

?
8

x ? 1)

x ? ) ,…2 分 4 4 4 4 2? 所以,函数 f ( x) 的最小正周期为 T ? ? 8 . ………………3 分

? 2 sin

?

x ? 2 cos

?

x ? 2sin(

?

?

?

? x ? ? 2k? ? ( k ? Z )得 8k ? 3 ? x ? 8k ? 1( k ? Z ) , 2 4 4 2 ? 函数 f ( x) 的单调递增区间是 ?8k ? 3 , 8k ?1? ( k ? Z )………………………………5 分
(Ⅱ)

由 2 k? ?

?

?

?

?

4

f (2) ? 2sin( ? ) ? 2 cos ? 2 , 2 4 4

?

?

?

f (4) ? 2sin(? ? ) ? ?2sin ? ? 2 , ……………7 分 ? P(2, 2), Q(4, ? 2) 4 4 ? | OP |? 6, | PQ |? 2 3, | OQ |? 3 2
从而 cos ?POQ ?

?

?

OP ? OQ 2 ? 4 ? 2 ? (? 2) 3 ? ? 3 | OP | ? | OQ | 6 ?3 2

?sin ?POQ ? 1 ? cos 2 ?POQ ?
设 ?OPQ 的外接圆的半径为 R , 由

6 ,………………………………………………10 分 3

| PQ | | PQ | 2 3 3 2 ? 2R ? R ? ? ? sin ?POQ 2sin ?POQ 2 6 2? 3 9 ? ?OPQ 的外接圆的面积 S ? ? R 2 ? ? ………………………………………………12 分 2 17.解: (Ⅰ) 函数 y ? f ( x) ? 2 在区间 (0, ??) 上有两个不同的零点,

? f ( x) ? 2 ? 0 ,即 ax 2 ? 2 x ? 4 ? 0 有两个不同的正根 x1 和 x2
? a?0 ? 1 ? x1 ? x2 ? 2 ? 0 1 1 ? a ? 0 ? a ? …4 分 ? P( A) ? 4 ? ?? 4 4 16 ? xx ? 4 ?0 1 2 ? a ?? ? 4 ? 16a ? 0 ?
(Ⅱ)由已知: a ? 0, x ? 0 ,所以

…………………6 分

4 f ( x) ? 2 ax ? ,即 f ( x) ? 4 a x

? f ( x)min ? 4 a ,

f ?x? ? b 2 在 x ? ? 0, ??? 恒成立 ?4 a ? b2 …… (?) ……………………………8 分 当 a ? 1 时, b ? 1 适合 (?) ; 当 a ? 2,3, 4,5 时, b ? 1, 2 均适合 (?) ; 当 a ? 6 时, b ? 1, 2,3 均适合 (?) ; 满足 (?) 的基本事件个数为 1 ? 8 ? 3 ? 12 .…10 分 12 1 ? P( B) ? ? . …………12 分 而基本事件总数为 6 ? 6 ? 36 ,…………11 分 36 3 18.证明: (Ⅰ) 连结 BD 和 AC 交于 O ,连结 OF ,…………………………………………1 分 ABCD 为 正 方 形 , ? O 为 BD 中 点 , ? F 为 DE 中 点 , B ? OF // BE , ………4 分 BE ? 平面 ACF , OF ? 平面 ACF A ? BE // 平面 ACF .……………………………5 分 O (Ⅱ) 作 EG ? AD 于 G G ? AE ? 平面 CDE , CD ? 平面 CDE ,? AE ? CD , E ABCD ? CD ? AD 为 正 方 形 , , C F AE AD ? A, AD, AE ? 平面 DAE , D ? CD ? 平 面 D A E , … … … … … 7 分 ? CD ? EG , AD CD ? D , ? EG ? 平面 ABCD ………8 分 ? AE ? 平面 CDE , DE ? 平面 CDE ,? AE ? DE , AE ? DE ? 2 ,
? AD ? 2 2 , EG ? 2
…10 分

1 1 8 2 ………12 分 ? 四棱锥 E ? ABCD 的体积 V ? S ABCD ? EG ? ? (2 2)2 ? 2 ? 3 3 3 19.解: (Ⅰ) [3 ? (?1)n ]an?2 ? 2an ? 2[(?1)n ?1] ? 0 ,

?[3 ? (?1)2n?1 ]a2n?1 ? 2a2n?1 ? 2[(?1)2n?1 ?1] ? 0 , 即 a2n?1 ? a2n?1 ? 2 …………4 分 bn ? a2 n?1 ,?bn?1 ? bn ? a2n?1 ? a2n?1 ? 2 ?{bn } 是以 b1 ? a1 ? 1 为首项,以 2 为公差的等差数列 ……5 分 bn ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1 …………6 分
(Ⅱ)对于

[3 ? (?1)n ]an?2 ? 2an ? 2[(?1)n ?1] ? 0 ,
an ? 2 1 ? , an 2

当 n 为偶数时,可得 (3 ? 1)an?2 ? 2an ? 2(1 ?1) ? 0 , 即

? a2 , a4 , a6 , ? a1 , a3 , a5 ,

1 1 为首项,以 为公比的等比数列;………………………8 分 2 2 当 n 为奇数时,可得 (3 ?1)an?2 ? 2an ? 2(?1 ?1) ? 0 , 即 an? 2 ? an ? 2 ,
是以 a2 ? 是以 a1

?T2n ? (a1 ? a3 ?
…12 分 20.解: (Ⅰ)

? 1 为首项,以 2 为公差的等差数列…………………………10 分 1 1 [(1 ? ( )n ] 1 1 2 ? n2 ? 1 ? n ? a2n?1 ) ? (a2 ? a4 ? ? a2n ) ? [n ?1 ? n(n ? 1) ? 2] ? 2 1 2 2 1? 2
1 x

g ( x) ? ax ? ln x ,? g (1) ? a , g ?( x) ? a ?
处 的 切 线

g ( x) 在 (1, g (1))

l

与 直 线

x ? 3y ? 5 ? 0

垂 直 , ? g ?(1) ?

1 ? ?1 3

1 ? (a ? 1) ? ? ?1 ? a ? ?2 ………3 分 3 x (Ⅱ) f ( x ) 的定义域为 R ,且 f ?( x) ? e ? a .令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ln(?a) . …4 分 若 ln(?a) ? 0 , 即 ?1 ? a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 x ? [0, 2] 上为增函数, ………… ? f ( x)min ? f (0) ? 1;
5分 若 ln(?a) ? 2 ,即 a ? ?e 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 x ? [0, 2] 上为减函数,?
2

f ( x)min ? f (2) ? e2 ? 2a ;……

6分 若 0 ? ln(?a) ? 2 ,即 ?e ? a ? ?1 时,由于 x ? [0, ln(?a)) 时, f ?( x) ? 0 ; x ? (ln(?a), 2] 时, f ?( x) ? 0 ,
2

所以

f ( x)min ? f (ln(?a)) ? a ln(?a) ? a

1, ?1 ? a ? 0 ? ? e 2 ? 2a , a ? ?e 2 … … … 8 分 ( Ⅲ ) g ( x ) 的 定 义 域 为 ( 0 , ?? ) 综 上 可 知 f ( x) min ? ? ,且 ? a ln(?a) ? a, ?e 2 ? a ? ?1 ? 1 ax ? 1 a ? 0 时,? g ?( x) ? 0 ,? g ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递减.………9 分 g ?( x ) ? a ? ? . x x 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ln(?a) ①若 ?1 ? a ? 0 时, ln(?a) ? 0 ,在 (ln(?a ), ? ? ) 上 f ?( x) ? 0 ,? f ( x) 单调递增,由于 g ( x) 在 (0, ? ?) 上 单调递减,所以不能存在区间 M ,使得 f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上具有相同的单调性;……………10 分 ②若 a ? ?1 时, ln(?a) ? 0 ,在 (??, ln(?a)) 上 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减; 在 (ln(?a), ??) 上 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单 调 递 增 . 由 于 g ( x) 在 (0, ? ?) 上 单 调 递 减 , ? 存 在 区 间 M ?(0, ln ?a ( ,使得 ) ] f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上均为减函数. 综上,当 ?1 ? a ? 0 时,不能存在区间 M ,使得 f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上具有相同的单调性;当 a ? ?1 时, 存在区间 M ? (0,ln(?a)] ,使得 f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上均为减函数.………………13 分 2 2 21 解 : ( I ) 设 圆 心 P 的 坐 标 为 ( x , y ), 半 径 为 R 由 于 动 圆 P 与 圆 F 1 : ( x ? 3) ? y ? 81 相 切 , 且 与 圆

F2 : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 相 内 切 , 所 以 动 圆 P 与 圆 F1 : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 81 只 能 内 切

?| PF |? 9 ? R ?| PF1 | ? | PF2 |? 8 ?| F1F2 |? 6 ……2 分 ?? 1 ?| PF2 |? R ? 1 ? 圆心 P 的轨迹为以 F1 , F2 为焦点的椭圆,其中 2a ? 8, 2c ? 6 ,
x2 y 2 ? 1 ……………………4 分 ?a ? 4, c ? 3, b ? a ? c ? 7 故圆心 P 的轨迹 C : ? 16 7 (II)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), Q( x3 , y3 ) ,直线 OQ : x ? my ,则直线 MN : x ? my ? 3
2 2 2

? 2 ? 2 112m 2 112m 2 ? x ? my x ? x ? ? ? ? 3 ? 7 m 2 ? 16 , ? ? 7 m 2 ? 16 2 由 ? x2 可得: ? ? y ?1 ? y 2 ? 112 ? y 2 ? 112 ? ? ?16 7 3 2 ? ? 7 m ? 16 7 m 2 ? 16 ? ? 112m2 112 112(m2 ? 1) ? | OQ |2 ? x32 ? y32 ? ? ? ……………………………6 分 7m2 ? 16 7m2 ? 16 7m2 ? 16 ? x ? my ? 3 ? 2 2 由 ? x2 可得: (7m ? 16) y ? 42my ? 49 ? 0 y2 ?1 ? ? ?16 7

? y1 ? y2 ? ?

42m 49 , y1 y2 ? ? 2 7m ? 16 7m 2 ? 16

? | MN |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? [(my2 ? 3) ? (my1 ? 3)]2 ? ( y2 ? y1 ) 2
? m 2 ? 1 | y2 ? y1 | ? m2 ? 1 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2

42m 2 49 56(m2 ? 1) …8 分 ) ? 4( ? ) ? 7m2 ? 16 7m2 ? 16 7m2 ? 16 56(m2 ? 1) | MN | 7m2 ? 16 ? 1 ? ? | OQ |2 112(m2 ? 1) 2 7m2 ? 16 1 | MN | 和 | OQ |2 的比值为一个常数,这个常数为 ………9 分 2 (III) MN / / OQ ,? ?QMN 的面积 ? ?OMN 的面积 O 到直线 MN : x ? my ? 3 的距离 ? m2 ? 1 (?
1 1 56( m 2 ? 1) 3 84 m 2 ? 1 | MN | ?d ? ? ? ? …11 分 2 2 2 7 m 2 ? 16 m 2 ? 1 7 m ? 16 m2 ? 1 84t 84t 84 2 2 2 令 m ? 1 ? t ,则 m ? t ? 1 (t ? 1) S? 2 ? 2 ? 7(t ? 1) ? 16 7t ? 9 7t ? 9 t 9 3 9 9 14 14 ,亦即 m ? ? 时取等号)? 当 m ? ? 时, 7t ? ? 2 7t ? ? 6 7 (当且仅当 7t ? ,即 t ? t 7 7 t t 7

d?

3

?S ?

S 取最大值 2 7 …………14 分


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