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数列不等式的证明方法

时间:2011-07-07


数列型不等式的证明
数列型不等式问题在近年逐渐成为高考热点,数列型不等式问题常被设置为高考压轴题, 能力要求较高。因其仍然是不等式问题,可用处理不等式的方法:基本不等式法;比较法;放 缩法,函数单调性法等都是常用的方法;但数列型不等式与自然数有关,因而还有一种行之有 效的方法:数学归纳法。 1、重要不等式法 若数列不等式形如下式,可用均值不等式法求证。 a+b (1) a 2 + b 2 ≥ 2ab(a, b ∈ R) ; (2) ≥ ab (a, b ∈ R + ) 2 (3)
x1 + x 2 + x3 + ? ? ? ? ? ? + x n ≥ n n x1 x 2 ? ? ? ? ? ? x n ( x1 , x 2 ,? ? ? ? ?, x n ∈ R + ) n

2、比较法 比较法是证明不等式的基本方法,可以作差比较也可以作商比较,是一种易于掌握的方法。 3、放缩法 常用的放缩结论:

①、

1 1 1 1 1 1 1 ? = < 2 < = ? , 其中( k ≥ 2 ) k k + 1 k (k + 1) k k (k ? 1) k ? 1 k

②、

1 1 1 1 > ; < ; 2 2 (2n ? 1)(2n + 1) (2n ? 1) (2n ? 3)(2n ? 1) (2n ? 1) 2 k + k +1 < 1 k < 2 k + k ?1

1 1 < 2 2 n ( 2 n + 2) (2n + 1)

③、

用放缩法解题的途径一般有两条,一是先求和再放缩,二是先放缩再求和。 (1) 、先求和再放缩 一般先分析数列的通项公式,如果此数列的前 n 项和能直接求和或通过变形后可以求 和,则采用先求和再放缩的方法证明不等式。数列求和的方法较多,我们在数列求和的专 题中有具体的讲解,主要用的有公式法、裂项法、倒序相加法、分组求和法等方法。 1 例 1、已知函数 f (x) 对任意实数 p, q 都满足 f ( p + q ) = f ( p ) ? f (q ) ,且 f (1) = , 3 3 (1) n ∈ N + 时, f (n) 的表达式; 2) a n = nf (n)(n ∈ N + ) , n 是其前 n 项和, 当 求 ( 设 T 试证明 Tn < . 4 1 1 分析:不难求得 f (n) = ( ) n ,于是 a n = n( ) n .对于 Tn ,这是一个“差比”数列的和,可以用 3 3 3 错位相减法求出 Tn ,然后再与 比较大小.于是有: 4 1 1 2 1 1 Tn = 1 ? ( ) + 2 ? ( ) + 3 ? ( ) 3 + ? + n ? ( ) n ①, 3 3 3 3 1 1 1 1 1 ? Tn = 0 + 1 ? ( ) 2 + 2 ? ( ) 3 + 3 ? ( ) 4 + ? + n ? ( ) n +1 ②, 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 1 两式相减得: ? Tn = + ( ) 2 + ( ) 3 + ( ) 4 + ? + ( ) n ? n ? ( ) n +1 , 3 3 3 3 3 3 3 3 3 + 2n 1 n 3 ? ( ) ,显然有 Tn < . 化简得 Tn = ? 4 4 3 4
1

(2) 、先放缩再求和 高考数列不等式证明一般用此法的较多,对此法往往又有以下几个具体情况。 ①、将数列的通项进行去项或添项的适当放缩,使之成为我们所熟悉的等差、等比或差比数列 进而进行求和证明; ②、对通项式进行裂项处理,并对其中某些项的分母进行适当放缩,构成便于加减相消的结构 或变形出能使用重要不等式法的结构,使题目便于证明。 ③、 以某一不等关系为依据建立起相邻两项的不等关系进行逐层递推放缩, 以寻求各项与首项 的不等关系。 ④、 利用二项式定理将通项展开后进行适度放缩, 有时展开后只需保留其中一部分就可达到放 缩的目的。 ⑤、先分组在放缩比较
2 例 2、 (2002 全国卷) 设数列 {an } 满足 an +1 = an ? nan + 1, n = 1, 2,? , (1) a1 = 2 时, a2 , a3 , a4 , 当 求

并由此猜想出 an 的一个通项公式; (2)当 a1 ≥ 3 时,证明对所有的 n ≥ 1 ,有(Ⅰ) an ≥ n + 2 ; (Ⅱ)
1 1 1 1 + +? + ≤ . 1 + a1 1 + a2 1 + an 2

分析: 略.对于 (1) (2) (Ⅱ) 由 an +1 = an (an ? n) + 1 及 中的 , (Ⅰ) 中的 an ≥ n + 2 可知 an +1 ≥ 2an + 1 , 从而 1 + an +1 ≥ 2(an + 1) ,
1 1 1 1 1 ≤ ? ≤? ≤ ? n ?1 , 1 + an +1 2 1 + an 1 + a1 2

1 1 ? ( )n 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ≤ 2 ≤1. (1 + + 2 + ? + n ?1 ) = 于是 + +? + ≤ ? 1 + a1 1 + a2 1 + an 1 + a1 2 2 2 1 + a1 1 ? 1 1 + a1 2 2 说明:对于一些复杂的数列不等式,考虑将每一项进行确当的放大或缩小是一种常见的方法, 而方法的寻找要结合题设条件和要证的结论, 看它们的内在关系, 考虑将通项朝什么方向进行

放缩。请你思考一下,直接由 an ≥ n + 2 得

1 1 ≤ ,能证明这个问题吗? 1 + an n + 3
n

例 3、 (2004 全国卷改编)已知数列 {an } 的前 n 项和 sn 满足:sn = 2an + ( ?1) , n ≥ 1 , (1)写出数列 {an } 的 (2)证明对任意的整数 m > 4 ,有 前三项 a1 , a2 , a3 ,并求数列 {an } 的通项公式; 分析: (1) a1 = 1, a2 = 0, a3 = 2, an =

1 1 1 7 + +? + < . a4 a5 am 8

2 n?2 ? 2 ? (?1) n ? ,过程略. ? 3?

对于(2) ,显然 a4 = 2 .当 n ≥ 3 且 n 为奇数时,

1 1 3 1 1 3 2 n ?1 + 2n ? 2 3 2n ?1 + 2n ? 2 3 1 1 + = ( n?2 + n ?1 ) = ? 2 n ?3 < ? = ? ( n ? 2 + n ?1 ) , n ?1 n?2 2 n ?3 an an +1 2 2 + 1 2 ? 1 2 2 + 2 ? 2 ?1 2 2 2 2 2

2

所以当 m > 4 且 m 为偶数时,

1 1 1 1 1 1 1 1 + +? + = + ( + ) +? + ( + ) a4 a5 am a4 a5 a6 am ?1 am

<

1 3 1 1 1 1 3 1 1 3 7 + ( 3 + 4 + ? + m? 2 ) = + ? (1 ? m? 4 ) < + = ; 2 2 2 2 2 2 8 2 2 8 8 1 1 1 1 1 1 1 7 + +?+ < + +?+ + < , a4 a5 am a4 a5 am am +1 8 1 1 1 7 + +? + < 成立. a4 a5 am 8 1 1 1 + +? + 难度很大, a4 a5 am

当 m > 4 且 m 为奇数时,

综上所述对任意的整数 m > 4 ,有

说明:通过计算比较可以发现该数列的通项规律较复杂,用求和的方法计算

这时可以通过两个方面来寻找解题方向,一是看通项的特点,二是从特殊入手,例如取 m = 5, 6, 7,8 等进行 比对发现.此外发现数值

7 1 3 = + 也是很重要的一点. 8 2 8

4、数学归纳法 5、构造数列法. 6、函数单调性法

3


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