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第6讲 双曲线(教师版)

时间:2014-08-16


第 6 讲 双曲线
【高考会这样考】 1.考查利用基本量求双曲线的标准方程,考查双曲线的定义、几何图形. 2.考查求双曲线的几何性质及其应用. 【复习指导】 本讲复习时,应紧扣双曲线的定义,熟练掌握双曲线的标准方程、几何图形以及简单的几何性质、近 几年高考多以选择题.填空题进行考查.

基础梳理 1.双曲线的概念 平面内与两个定点 F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨 迹叫做双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做焦距. 集合 P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中 a、c 为常数且 a>0,c>0; (1)当 a<c 时,P 点的轨迹是双曲线;(2)当 a=c 时,P 点的轨迹是两条射线;(3)当 a>c 时,P 点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 x2 y2 y2 x2 标准方程 - =1(a>0,b>0) 2- 2=1(a>0,b>0) a b a2 b2





范 围 对称性 顶点 性 质 渐近线 离心率 实虚轴 a、b、c 的关系

x≥a 或 x≤-a,y∈ R x∈ R,y≤-a 或 y≥a 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) b a y=± x y=± x a b c e= ,e∈ (1,+∞),其中 c= a2+b2 a 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段 B1B2 叫做双曲线的虚 轴,它的长|B1B2|=2b;a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的虚半轴长 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)

一条规律 双曲线为等轴双曲线? 双曲线的离心率 e= 2? 双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系). 两种方法 (1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线定义,确定 2a、2b 或 2c,从而求出 a2、 2 b ,写出双曲线方程. (2)待定系数法:先确定焦点是在 x 轴上还是在 y 轴上,设出标准方程,再由条件确定 a2、b2 的值,即 “先定型,再定量”; . 三个防范 (1)区分双曲线中的 a,b,c 大小关系与椭圆 a,b,c 关系,在椭圆中 a2=b2+c2,而在双曲线中 c2= a2+b2. (2)双曲线的离心率大于 1,而椭圆的离心率 e∈ (0,1). x2 y2 b y2 x2 (3)双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程是 y=± x, 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程是 a b a a b a y=± x. b

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双基自测 x2 y2 1.双曲线 - =1 的焦距为( ). 10 2 A.3 2 B.4 2 C.3 3 D.4 3 2.双曲线 2x2-y2=8 的实轴长是( ). A.2 B.2 2 C.4 D.4 2 x2 y2 3.设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的虚轴长为 2,焦距为 2 3,则双曲线的渐近线方程为( ). a b 2 1 A.y=± 2x B.y=± 2x C.y=± x D.y=± 2 2 x x2 y2 4.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x2+y2-6x+5=0 相切,且双曲线的右焦点 a b 为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为( ). x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 5 4 4 5 3 6 6 3 2 2 x y 5.设 P 是双曲线 2- =1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x-2y=0,F1、F2 分别是双曲线的左、 a 9 右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|等于________.

考向一 双曲线定义的应用 x2 y2 【例 1】?双曲线 - =1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 4,那么点 P 到左准线的距离是________. 64 36 [审题视点] 利用双曲线的第一定义和第二定义解题. 解析 由已知,双曲线中,a=8,b=6,所以 c=10,由于点 P 到右焦点的距离为 4,4<a+c=18,所以点 P 在双曲线右支上.由双曲线定义,可知点 P 到左焦点的距离为 2× 8+4=20,设点 P 到双曲线左准线的 20 c 10 距离为 d,再根据双曲线第二定义,有 = = ,故 d=16. d a 8 答案 16 由双曲线的第一定义可以判断点 P 的位置关系,在利用第二定义解题时,要注意左焦点与左准 线相对应,右焦点与右准线相对应. x2 y2 【训练 1】在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 - =1 上一点 M 的横坐标为 3,则点 M 到此双曲线 4 12 的右焦点的距离为________. 解析 由题易知,双曲线的右焦点为(4,0),点 M 的坐标为(3, 15)或(3,- 15),则点 M 到此双曲线的右 焦点的距离为 4. 答案 4 考向二 求双曲线的标准方程 5 【例 2】?设椭圆 C1 的离心率为 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26. 若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点 13 的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为( ). x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 2- 2=1 B. 2- 2=1 C. 2- 2=1 D. 2- 2=1 4 3 13 5 3 4 13 12 [审题视点] 抓住 C2 上动点满足的几何条件用定义法求方程. 解析 由题意知椭圆 C1 的焦点坐标为:F1(-5,0),F2(5,0).设曲线 C2 上的一点 P.则||PF1|-|PF2||=8. x2 y2 由双曲线的定义知:a=4,b=3. 故曲线 C2 的标准方程为 2- 2=1. 4 3 答案 A (1)当焦点位置不确定时,方程可能有两种形式,求方程时应分类讨论,或者将方程设为 mx2+ ny2=1(mn<0). (2)已知双曲线的渐近线方程 bx± ay=0,求双曲线方程时,可设双曲线方程为 b2x2-a2y2=λ(λ≠0).根据其 他条件确定 λ 的值.若求得 λ>0,则焦点在 x 轴上;若求得 λ<0,则焦点在 y 轴上.
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x2 y2 【训练 2】已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,它的一个焦点与抛物线 y2=16x a b 的焦点相同.则双曲线的方程为________. b 解析 ∵ 双曲线的渐近线为 y= 3x,∴ = 3, ① ∵ 双曲线的一个焦点与 y2=16x 的焦点相同.∴ c a 2 2 x y =4. ② ∴ 由① ② 可知 a2=4,b2=12. ∴ 双曲线的方程为 - =1. 4 12 x2 y2 答案 - =1. 4 12 考向三 双曲线的几何性质的应用 x2 y2 y2 【例 3】?已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)与双曲线 C2:x2- =1 有公共的焦点,C2 的一条渐近线与以 a b 4 C1 的长轴为直径的圆相交于 A,B 两点.若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则( ). 13 1 A.a2= B.a2=13 C.b2= D.b2=2 2 2 2 [审题视点] 取一条 C2 的渐近线,将其与 C1 联立求得弦长|AB|,令|AB|= a,方可得出结论. 3 y=2x, ? ? 2 2 ab 解析 依题意 a -b =5,根据对称性,不妨取一条渐近线 y=2x,由?x y ,解得 x=± , 4a2+b2 ? ?a2+b2=1
2 2

故被椭圆截得的弦长为

2 5ab 2 5ab 2a 2 2 2 2,又 C1 把 AB 三等分,所以 2 2= 3 ,两边平方并整理得 a =11b , 4a +b 4a +b

1 代入 a2-b2=5 得 b2= . 2 答案 C 在双曲线的几何性质中,应充分利用双曲线的渐近线方程,简化解题过程.同时要熟练掌握以 下三方面内容:(1)已知双曲线方程,求它的渐近线; (2)求已知渐近线的双曲线的方程; (3)渐近线的斜 c2-a2 b c2 率与离心率的关系,如 k= = = -1= e2-1. a a a2 【训练 3】设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直, 那么此双曲线的离心率为( ). 3+1 5+1 A. 2 B. 3 C. D. 2 2 x2 y2 b 解析 设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),F(c,0),B(0,b),则 kBF=- ,双曲线的渐近线方程为 y a b c 5+1 b bb 1± 5 =± x,∴ - ·=-1,即 b2=ac,c2-a2=ac,∴ e2-e-1=0,解得 e= .又 e>1,∴ e= . a ca 2 2 答案 D

难点突破——高考中椭圆与双曲线的离心率的求解问题 离心率是圆锥曲线的重要几何性质,是高考重点考查的一个知识点.这类问题一般有两类:一类是根 据一定的条件求椭圆或双曲线的离心率; 另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围. 无论是哪类问题, 其难点都是建立关于 a,b,c 的关系式(等式或不等式),并且最后要把其中的 b 用 a,c 表达,转化为关于 离心率 e 的关系式,这是化解有关椭圆和双曲线的离心率问题难点的根本方法. 【示例 1】?若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( ). 4 3 2 1 A. B. C. D. 5 5 5 5

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【示例 2】 ? 设圆锥曲线 Γ 的两个焦点分别为 F1, F2.若曲线 Γ 上存在点 P 满足|PF1|∶ |F1F2|∶ |PF2|=4∶ 3∶ 2, 则曲线 Γ 的离心率等于( ). 1 3 2 1 2 3 A. 或 B. 或 2 C. 或 2 D. 或 2 2 3 2 3 2

双曲线课堂练习
一、选择题 1. “ab<0”是“方程 ax2+by2=c 表示双曲线”的( ) A.必要但不充分条件 B.充分但不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2 2 x y c2 解析:若 ax2+by2=c 表示双曲线,即 + =1 表示双曲线,则 <0,这就是说“ab<0”是必要条件,然而 c c ab a b 若 ab<0,c 可以等于 0,即“ab<0”不是充分条件. 答案:A
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x2 y2 3 2.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x,若顶点到渐近线的距离为 1,则双曲线的 a b 3 方程为( ) x2 3y2 3x2 y2 x2 y2 x2 4y2 A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 4 4 4 4 4 4 4 3 3a b 3 2 3 解析:不妨设顶点(a,0)到直线 3x-3y=0 的距离为 1,即 =1,解得 a=2.又 = ,所以 b= , a 3 3 3+9 x2 3y2 所以双曲线的方程为 - =1. 4 4 答案:A 3.设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A、B 两点,|AB|为 C 的实轴 长的 2 倍,则 C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D.3 4 x2 y2 x2 y2 b2 2 b 解析: 设双曲线 C 的方程为 2- 2=1, 焦点 F(-c,0), 将 x=-c 代入 2- 2=1 可得 y = 2, 所以|AB|=2× a b a b a a c =2×2a.∴b2=2a2.c2=a2+b2=3a2.∴e= = 3. a 答案:B y2 4. 已知双曲线 x2- =1 的左顶点为 A1, 右焦点为 F2, P 为双曲线右支上一点, 则 PA ) PF2 的最小值为( 1 · 3 81 A.-2 B.- C.1 D.0 16 2 y 解析:设点 P(x,y),其中 x≥1.依题意得 A1(-1,0)、F2(2,0),则有 =x2-1,y2=3(x2-1), PA1 · PF2 = 3 1 81 (-1-x,-y)· (2-x,-y)=(x+1)(x-2)+y2=x2+3(x2-1)-x-2=4x2-x-5=4(x- )2- ,其中 x≥1. 8 16 因此,当 x=1 时, PA1 · PF2 取得最小值-2. 答案:A x2 y2 y2 5.设椭圆 + =1 和双曲线 -x2=1 的公共焦点分别为 F1、F2,P 为这两条曲线的一个交点,则 cos∠ 2 m 3 F1PF2 的值为( ) 1 1 2 1 A. B. C. D.- 4 3 3 3 解析:由题意可知 m-2=3+1,解得 m=6. x2 y2 y2 法一:由椭圆与双曲线的对称性,不妨设点 P 为第一象限内的点,F1(0,-2),F2(0,2),联立 + =1 与 2 6 3 2 3 2 -x2=1 组成方程组,解得 P( , ).所以由两点距离公式计算得|PF1|= 6+ 3,|PF2|= 6- 3. 2 2 |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 1 又|F1F2|=4,所以由余弦定理得 cos∠F1PF2= = . 2|PF1|· |PF2| 3 法二:由椭圆与双曲线对称性,不妨设点 P 为第一象限内点,F1(0,-2).F2(0,2),由题得|PF1|+|PF2|= 2 6,|PF1|-|PF2|=2 3,|F1F2|=4,得|PF1|= 6+ 3,|PF2|= 6- 3,同上由余弦定理得 cos∠F1PF2= 1 . 3 答案:B 6.已知双曲线 mx2-y2=1(m>0)的右顶点为 A,若该双曲线右支上存在两点 B、C 使得△ABC 为等腰直角 三角形,则实数 m 的值可能为( ) 1 A. B.1 C.2 D.3 2 1 1 1 解析:由题意可得,点 A 的坐标为( ,0),设直线 AB 的方程为 y=tan 45° (x- ),即 x=y+ , m m m

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1 ? ?x=y+ 2 m 2 m m 与双曲线方程联立可得, ? , 则(m-1)y2+2 my=0, 解得 y=0 或 y= .由题意知 y= 1 - m 1 -m ? ?mx2-y2=1 2 m 为 B 点的纵坐标,且满足 >0,即 0<m<1,根据选项知. 1-m 答案:A 二、填空题 x2 y2 7.已知点(2,3)在双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)上,C 的焦距为 4,则它的离心率为________. a b 4 9 解析:根据点(2,3)在双曲线上,可以很容易建立一个关于 a,b 的等式,即 2- 2=1,考虑到焦距为 4,这 a b 也是一个关于 c 的等式,2c=4,即 c=2.再有双曲线自身的一个等式 a2+b2=c2,这样,三个方程,三个 未知量,可以解出 a=1,b= 3,c=2,所以,离心率 e=2. 答案:2 8.已知双曲线 kx2-y2=1(k>0)的一条渐近线与直线 2x+y+1=0 垂直,那么双曲线的离心率为________; 渐近线方程为____________. 解析:双曲线 kx2-y2=1 的渐近线方程是 y=± kx.∵双曲线的一条渐近线与直线 2x+y+1=0 垂直,∴ k 1 +1 k 1 1 5 1 = ,k= ,∴双曲线的离心率为 e= = ,渐近线方程为 x± y=0. 2 4 2 2 1 k 5 1 答案: x± y=0 2 2 y2 9. P 为双曲线 x2- =1 右支上一点,M、N 分别是圆(x+4)2+y2=4 和(x-4)2+y2=1 上的点,则|PM| 15 -|PN|的最大值为________. 解析:双曲线的两个焦点为 F1(-4,0)、F2(4,0),为两个圆的圆心,半径分别为 r1=2,r2=1,|PM|max=|PF1| +2,|PN|min=|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值为(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=5. 答案:5 三、解答题 10.已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆 x2+y2=10 相交于点 P(3,-1),若此圆过点 P 的切线与双曲 线的一条渐近线平行,求此双曲线的方程. 解:切点为 P(3,-1)的圆 x2+y2=10 的切线方程是 3x-y=10.∵双曲线的一条渐近线与此切线平行,且 双曲线关于两坐标轴对称,∴两渐近线方程为 3x± y=0.设所求双曲线方程为 9x2-y2=λ(λ≠0). x2 y2 ∵点 P(3,-1)在双曲线上,代入上式可得 λ=80,∴所求的双曲线方程为 - =1. 80 80 9 x2 y2 11. 双曲线 2- 2=1(a>1,b>0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线 l 的距离与点 a b 4 (-1,0)到直线 l 的距离之和 s≥ c,求双曲线的离心率 e 的取值范围. 5 x y 解:直线 l 的方程为 + =1,即 bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且 a>1,得到点(1,0)到直线 l 的 a b b?a-1? b?a+1? 2ab 2ab 距离 d1= 2 2,同理得到点(-1,0)到直线 l 的距离 d2= 2 2.∴s=d1+d2= 2 2= c . a +b a +b a +b 4 2ab 4 2 2 2 2 2 4 2 由 s≥ c,得 ≥ c,即 5a c -a ≥2c .于是得 5 e -1≥2e ,即 4e -25e +25≤0. 5 c 5 5 5 解不等式,得 ≤e2≤5.由于 e>1,∴e 的取值范围是[ , 5]. 4 2 x2 y2 12.P(x0,y0)(x0≠± a)是双曲线 E: 2- 2=1(a>0,b>0)上一点,M、N 分别是双曲线 E 的左、右顶点,直 a b 1 线 PM、PN 的斜率之积为 . 5
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(1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A、B 两点,O 为坐标原点,C 为双曲线上一点,满 足 OC =λ OA + OB ,求 λ 的值. x2 y2 x2 y2 y0 y0 1 0 0 解:(1)点 P(x0,y0)(x≠± a)在双曲线 2- 2=1 上,有 2- 2=1.由题意又有 · = , a b a b x0-a x0+a 5 c 30 可得 a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,则 e= = . a 5 5c x1+x2= , 2 2 2 ? 2 x - 5 y = 5 b ? (2)联立? ,得 4x2-10cx+35b2=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 35b2 ?y=x-c ? x1x2= . 4

? ? ?



设 OC =(x3,y3), OC =λ OA + OB ,即?

? ?x3=λx1+x2, ? ?y3=λy1+y2.

2 2 又 C 为双曲线上一点,即 x2 3-5y3=5b ,

2 2 2 2 有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2.化简得:λ2(x2 1-5y1)+(x2-5y2)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b , 2 2 2 2 2 2 又 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,所以 x1-5y1=5b ,x2-5y2=5b . 由①式又有 x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2, 得:λ2+4λ=0,解出 λ=0,或 λ=-4

双曲线课后作业
一、选择题 1.双曲线 2x2-y2=8 的实轴长是( ) A.2 B.2 2 C .4 x2 y2 解析:双曲线方程可变形为 - =1,所以 a2=4,a=2,2a=4. 4 8 答案:C x2 2.与椭圆 +y2=1 共焦点且过点 P(2,1)的双曲线方程是( ) 4
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D.4 2

x2 2 x2 x2 y2 y2 -y =1 B. -y2=1 C. - =1 D.x2- =1 4 2 3 3 2 x2 2 x2 2 解析:椭圆 +y =1 的焦点为(± 3,0),因为双曲线与椭圆共焦点,所以排除 A、C.又双曲线 -y =1 4 2 经过点(2,1). 答案:B x2 y2 5 3.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个顶点与抛物线 y2=20x 的焦点重合,该双曲线的离心率为 , a b 2 则该双曲线的渐近线斜率为( ) 4 1 3 A.± 2 B .± C.± D.± 3 2 4 2 2 x y 解析:由抛物线 y2=20x 的焦点坐标为(5,0),可得双曲线 2- 2=1 的顶点坐标为(5,0),即得 a=5,又由 e a b c c 5 5 5 25 5 b 1 = = = ,可解得 c= ,则 b2=c2-a2= ,即 b= ,由此可得双曲线的渐近线的斜率为 k=± =± . a 5 2 2 4 2 a 2 答案:C x2 4. 设 F1、 F2 是双曲线 -y2=1 的两个焦点, P 在双曲线上, 当△ F1PF2 的面积为 2 时, ) PF 1 ? PF 2 的值为( 3 A.2 B.3 C.4 D.6 1 x2 0 解析:设点 P(x0,y0),依题意得,|F1F2|=2 3+1=4,S△ PF1F2= |F1F2|×|y0|=2|y0|=2,|y0|=1, -y2 0=1, 2 3 A.
2 2 x2 (2-x0,-y0)=x2 PF2 =(-2-x0,-y0)· 0=3(y0+1)=6, PF 0+y0-4=3. 1 ·

答案:B

x2 y2 5.已知双曲线 C: 2- 2=1(a,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F2 作双曲线 C 的一条渐近线的垂线, a b 垂足为 H,若 F2H 的中点 M 在双曲线 C 上,则双曲线 C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D.3

?y=ax, b a 解析:设 H(x,y)如图,OH:y= x,HF :y=- (x-c),由? a b a ?y=-bx-c,
2

b

a2 ab 解得 H( , ), c c

a2+c2 ab 所以 HF2 的中点为 M( , ),代入双曲线方程整理得:c2=2a2,所以 e= 2. 2c 2c 答案:A 二、填空题 x2 y2 6.双曲线 - =1 的右焦点到渐近线的距离是________. 3 6 x2 y2 3 2 解析:由题意得:双曲线 - =1 的渐近线为 y=± 2x.∴ 焦点(3,0)到直线 y=± 2x 的距离为 = 6. 3 6 2+1 答案: 6 y2 7.已知双曲线 x2- =1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,P 为双曲线右支上一点,则 PA 1 ? PF 2 的最小值为 3 ________. 解析: 由题可知 A1(-1,0), F2(2,0), 设 P(x, y)(x≥1), 则 PA1 =(-1-x, -y),PF2 =(2-x, -y),PA1 · PF2 =(-1-x)(2-x)+y2=x2-x-2+y2=x2-x-2+3(x2-1)=4x2-x-5.∵ x≥1,函数 f(x)=4x2-x-5 的图像 1 的对称轴为 x= ,∴ 当 x=1 时, PA1 · PF2 取得最小值-2. 8 答案:-2
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三、解答题 8.已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A、B 两点,且 AB 的中 点为 N(-12,-15),则 E 的方程. x2 y2 解:设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0),由题意知 c=3,a2+b2=9,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 a b 2 2 x1 y1 - =1, a2 b2 y1-y2 b2x1+x2 -12b2 4b2 -15-0 有: 2 2 两式作差得: = 2 = 又 AB 的斜率是 =1, 所以将 4b2 2= 2, x1-x2 a y1+y2 -15a 5a -12-3 x2 y2 - =1, a2 b2 x2 y2 =5a2 代入 a2+b2=9 得 a2=4,b2=5.所以双曲线的标准方程是 - =1. 4 5 9.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1、F2 在坐标轴上,离心率为 2,且过点 P(4,- 10). (1)求双曲线方程;

? ? ?

(2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证: MF 1 ? MF 2 =0; (3)求△ F1MF2 的面积. 解:(1)∵ e= 2,∴ 设双曲线方程 x2-y2=λ.∵ 过(4,- 10),∴ 16-10=λ,即 λ=6.∴ 双曲线为 x2-y2=6. (2)证明 法一由(1)可知,双曲线中 a=b= 6,∴ c=2 3.∴ F1(-2 3,0),F2(2 3,0). m m m2 m2 ∴ kMF = ,k MF = .,k MF · k MF = =- . 3 1 3+2 3 2 1 2 9-12 3-2 3 ∵ 点(3,m)在双曲线上,∴ 9-m2=6,m2=3.故 k MF · k =-1.∴ MF1⊥ MF2.∴MF1 · MF2 =0. 1 MF2 方法二:∵MF1 =(-3-2 3,-m), MF2 =(2 3-3,-m),∴MF1 · MF2 =(3+2 3)×(3-2 3)+m2 =-3+m2.∵ M 点在双曲线上,∴ 9-m2=6,即 m2-3=0.∴MF1 · MF2 =0. (3)△ F1MF2 的底|F1F2|=4 3,△ F1MF2 的高 h=|m|= 3,∴ S△ F MF =6. 1 2 2 2 x y 10.设 A、B 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为 4 3,焦点到渐近线的 a b 距离为 3. (1)求双曲线的方程; 3 (2)已知直线 y= x-2 与双曲线的右支交于 M、 N 两点, 且在双曲线的右支上存在点 D, 使 OM ? ON ? t OD , 3 求 t 的值及点 D 的坐标. b |bc| 解:(1)由题意知 a=2 3,∴ 一条渐近线为 y= x.即 bx-2 3y=0.∴ 2 = 3.∴ b2=3∴ 双曲线的方 2 3 b +12 x2 y2 程为 - =1. 12 3 (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则 x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.将直线方程代入双曲线方程得 x2-16 3 x+84=0,则 x1+x2=16 4 3 = , ?x y 3 3,y +y =12.∴ ?x y ?12- 3 =1.
0 0 1 2 2 0 2 0

?x0=4 3, ∴ ∴ t=4,点 D 的坐标为(4 3,3). ? ?y0=3.

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