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高一数学必修1-子集、全集、补集-课件

时间:2018-06-30


高一数学集合
子集、全集、补集 要点一 子集、真子集[重点] 在上一节中,我们用约定的字母标记了一些特殊的集合,在这些特殊的集合中,我们会发现这样 一个现象: 正整数集中的所有元素都在自然数集中; 自然数集中的所有元素都在整数集中; 整数集中的所有元素都在有理数集中; 有利数集中的所有元素都在实数集中. 其实,上述各集合之间是一种集合见得包含关系;可以用子集的概念来表示这种关系. 1.子集 (1)定义: 如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素(若 a∈A 则 a∈B),那么集合 A 成为集合 B 的子集, 记作 A?B 或 B?A,读作“集合 A 包含于集合 B”或“集合 B 包含于集合 A” . (2)举例: 例如,{4,5}?Z,{4,5}?Q,Z?Q,Q?R.A?B 可以用图 1-2-1 来表示. (3)理解子集的定义要注意以下四点: ①“A 是 B 的子集”的含义是集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素,既由 x∈A,能推出 x ∈B,例如{-1,1}?{-1,0,1,2}. ②任何一个集合是它本身的子集,即对于任何一个集合 A,它的任何一个元素都是属 于集合 A 本身,记作 A?A. ③我们规定,空集是任何集合的子集,即对于任何一个集合 A,有??A. ④在子集的定义中,不能理解为子集 A 是 B 中的“部分元素”所组成的集合.因为若 A=?,则 A 中 不含任何元素;若 A=B,则 A 中含有 B 中的所有元素,但此时都说集合 A 是集合 B 的子集. 以上②③点告诉我们,在邱某一个集合时,不要漏掉空集和它的本身两种特殊情况. (4)例题: 例1
2

设集合 A={1,3,a },B={1,a -a +1},且 A?B,求 a 的值.
2 2 2 2

解:∵A?B,∴a -a +1=3 或 a -a +1=a, 由 a -a +1=3,得 a =2 或 a =-1;由 a -a +1=a,得 a =1. 经检验,当 a =1 时,集合 A、B 中元素有重复,与集合元素的互异性矛盾,所以符合题意的 a 的 值为-1,2. 2.真子集 (1)定义: 如果 A?B,并且 A≠B,那么集合 A 称为集合 B 的真子集,记作 A?B 或 B?A,读作 “A 真包含于 B”或“B 真包含 A”.

(2)举例: {1,2}?{1,2,3}. (3)理解子集的定义要注意以下四点: ①空集是任何非空集合的真子集. ②对于集合 A、B、C,如果 A?B,B?C,那么 A?C.
?A=B?A?B且B?A ③若 A?B,则? . ?A≠B?A?B

④元素与集合的关系是属于于不属于的关系,分别用符号“∈”和“?”表示;集合 与集合之间的关系是包含于、不包含于、真包含于、相等的关系,分别用符号“?” “?” “?”和“=”. (4)例题: 例2 写出集合{a,b,c}的所有子集,并指出其中哪些是真子集,哪些是非空真子集.

解:{a,b,c}的所有子集是:?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}. 其中除了{a,b,c}外,其余 7 个集合都是它的真子集.除了?,{a,b,c}外,其余 6 个都是它的 非空真子集. 练习: 1.判断下列命题的正误: (1){2,4,6}?{2,3,4,5,6}; (3){x|x +1=0}?{0};
2

(2){菱形}?{矩形}; (4){(0,1)}?{0,1}.

解题提示: 集合的元素.

根据子集的定义,判断所给的两集合中前一个集合的任何一个元素是否都是后一个

解:根据子集的定义,(1)显然正确;(2)中只有正方形才既是菱形,也是矩形,其他 的菱形不是矩形;(3)中集合{ x | x +1= 0 }是?,而?是任何集合的子集;(4)中{(0,1)}
2

是点集,而{0,1}是数集,元素不同,因此正确的是(1)(3),错误的是(2)(4).




判断两集合之间的子集关系时,主要是看其中一个集合的元素是不是都在另一个集合中. 2.写出集合 A={p,q,r,s}的所有子集. 解题提示: 根据集合 A 的子集中所含有元素的个数进行分类,分别写出,不要漏掉.

解:集合 A 的子集分为 5 类,即 (1)?; (2)含有一个元素的子集:{p},{q},{r},{s}; (3)含有两个元素的子集:{p,q},{q,r},{r,s},{s,p},{p,r},{q,s}; (4)含有三个元素的子集有:{p,q,r},{p,q,s},{q,r,s},{p,r,s}; (5)含有四个元素的子集有:{p,q,r,s}. 综上所述:集合 A 的子集有?,{p},{q},{r},{s},{p,q},{q,r},{r,s},{s,p},{p,

r},{q,s},{p,q,r},{p,q,s},{q,r,s},{p,r,s},{p,q,r,s},共 16 个.

点 评

给定一个含有具体元素的集合,写其子集时,应根据子集所含元素的个数进行分类.以下结论可以 帮助检验所写子集数的正确性:若一个集合含有 m 个元素,则其子集有 2 个,真子集有(2 -1)个,非 空真子集有(2 -2)个. 3.给出下列命题: ①空集没有子集;②任何集合至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若? ?A,则 A≠?.其中正确的序号有____④______. 解题提示: 从子集、真子集的概念以及空集的特点入手,逐一进行判断. 解析:①错误,空集是任何集合的子集,???;②错误,如空集的子集只有 1 个;③错误,?不 是?的真子集;④正确,∵?是任何非空集合的真子集.
m m m




求解与子集、真子集概念有关的题目时,应记住以下结论:(1)空集是任何集合的子

集,即对于任意一个集合 A,有??A. (2)任何一个集合是它本身的子集,即对任何一个集合 A,有 A?A. 4.满足集合{1,2,3}?M?{1,2,3,4,5}的集合 M 的个数是 __2____ . 解题提示: 根据所给关系式,利用{1,2,3}是 M 的真子集,且 M 真包含于{1,2,3,4,5}的

关系判断集合 M 中的元素个数. 解析:依题意,集合 M 中除含有 1,2,3 外至少含有 4,5 中的一个元素,又 M?{1,2,3,4,5}, ∴M={1,2,3,4}或{1,2,3,5}.




(1)解答此题应首先根据子集与真子集的概念判断出集合 M 中含有元素的可能情况, 然后根据集合

M 中含有元素的多少进行分类讨论,防止遗漏. (2)若{ a 1,a 2,?,am } ? A ? {a 1,a 2,?,am ,am+1,?,an } ,则 A 的个数为 2 若{ a 1,a 2,?,am }?A?{a 1,a 2,?,am ,am+1,?,an },则 A 的个数为 2 要点二 补集、全集[重点] 1.补集 设 A?S,由 S 中不属于 A 的所有 元素组成的集合称为 S 的子集 A 的补集, 记作? S A(读作“A 在 S 中的补集”),即 ? S A={ x | x∈S,且 x?A}.C S A 可用图 1-2-2 中的阴影部分来表示. 2.全集. (1)定义: 如果集合 S 包含我们所要研究的各个集合,这时 S 可以看做一个全集,全集通常记作 U. (2)举例: 例如,在实数范围内讨论集合时,R 便可看做一个全集 U,在自然数范围内讨论集合时,N 便可看 做一个全集 U. 3.理解补集、全集要注意以下两点:
n-m n-m

.

-1. -2.

若{ a 1,a 2,?,am }?A?{a 1,a 2,?,am ,am+1,?,an },则 A 的个数为 2

n-m

(1)对全集概念的理解:全集是相对于所研究的问题而言的一个相对概念,它含有与所研究的问题 有关的各个集合的全部元素,因此,全集因研究问题而异.例如在研究数集时,常常把实数集 R 看做全 集;在立体几何中,三维空间是全集,这是平面是全集的一个子集;而在平面几何中,整个平面可以 看做一个全集. (2)求子集 A 在全集 U 中的补集的方法:从全集 U 中去掉所有属于 A 的元素,剩下的元素组成的集 合即为 A 在 U 中的补集.如已知 U=? a,b,c,d,e,f ? ,A=? b,f ? , 求 C U A.该题中显然 A?U, 从 U 中除去子集 A 的元素 b、f ,乘下的

a、c、d、e 组成的集合即为? UA=?a,c,d,e ? .另外,原题若是无限集,在实数范围内求补集,我们
则可以充分利用数轴的直观性来求解.如已知 U=R,A=?x ? x > 3 ? ,求? UA.用数轴表示如图 1-2-3, 可知? UA=?x ? x > 3 ?. 4.例题
?2x-1>0, 例 2 不等式组? 的解集为 A,U=R.试求 A 及 CUA,并把它们分别表示在数轴上. ?3x-6≤0

解:A=?x ? 2 x -1 > 0 且 3 x–6 ≤ 0 ?= ? x <x ? 2? ,在数轴上表示如图 1-2-4(1). 2

? 1 ?

? ?

? ? CUA= ? x x ? 1 , 或x ? 2? ,在数轴上表示如图 1-2-4(2). ? 2 ?
练习 5.已知全集 U=R,集合 A={ x |1< x ≤6},求 CUA. 解题提示: 在数轴上标出集合 A,结合补集的定义求解.

1 2

2

1 2

2

解:根据补集的定义,在实数集 R 中,由所有不属于 A 的实数组成的集合,就是 CUA,如图 1-2-5, 结合数轴可知,CUA={ x |1< x ≤6}.





0 1

6

x

涉足与数集有关的补集,求解时一般要利用数轴只管求解,求解时要注意端点值的取舍. 6.已知全集 U={不大于 5 的自然数},A={0,1},B={x|x∈A,且 x<1},C={x|x-1?A,且 x∈U}. (1)判断 A、B 的关系; (2)求 CUB、CUC,并判断其关系. 解题提示: 根据题意,先写出全集 U,按所给集合 B、C 的含义,写出 B、C,并求其补集后求解 第(2)题. 解:由题意知 U={0,1,2,3,4,5},B={0},又集合 C 中的元素必须满足以下两 个条件:x∈U,x-1?A. 若 x=0,此时 0-1=-1?A,∴0 是 C 中的元素; 若 x=1,此时 1-1=0∈A,∴1 不是 C 中的元素; 若 x=2,此时 2-1=1∈A,∴2 不是 C 中的元素; 同理可知 3,4,5 是集合 C 中的元素,∴C={0,3,4,5}.

(1)∵A={0,1},B={0},∴B?A; (2)CUB={1,2,3,4,5},CUC={1,2},∴CUC ?CUB.




若给定具体的数的集合,判断其两个子集的补集之间的关系时,应先求集合的补集. 7.设全集 U={1,2,x -2},A={1,x},求 CUA. 解题提示: 要求 CUA,必须先确定集合 A,实际上就是确定 x 的值,从而需要分类讨论.
2 2 2

解:由条件知 A?U,∴x∈U={1,2,x -2},又 x≠1,∴x=2 或 x= x -2. 若 x=2,则 x -2=2,此时 U={1,2,2},这是与互异性矛盾,舍去. 由 x=x -2 得 x -x-2=0,解得 x=-1 或 x=2(舍去). 此时 U={-1,1,2},A={1,-1},∴CUA={2}.
2 2 2




求解此题首先确定参数 x 的值, 然后确定出 U 和 A 的具体结果.在求解集合问题时必须密切关注集

合元素的特征,并且特别注意互异性,以免产生增根. 8.已知 A={x|x<5},B={x|x<a},分别求满足下列条件的 a 的取值范围:(1)B?A;(2)A?B. 解题提示: 紧扣子集、全集、补集的定义,利用数轴,数形结合求出 a 范围. 解:(1)因为 B?A,B 是 A 的子集,如图 1-2-6(1),故 a≤5.

B

A

a

A

B

(1)

5

x

5

(2)

a

x

(2)因为 A?B,B 是 A 的子集,如图 1-2-6(2),故 a≥5. 9.已知 M={x|x = a +1,a ∈N },P={ y | y =b - 6b+10,b∈N},判断集合 M 与 P 之间的关系. 解法一:集合 P 中,y=b -6b+10=(b-3) +1 当 b=4,5,6,?时,与集合 M 中 a=1,2,3,?时的值相同,而当 b=3 时,y=1∈P,1?M,∴M?P. 解法二:对任意的 x0∈M,有 x0=a 2 ,∴a0+3∈ 0 +1=(a0+3) -6(a0+3)+10∈P(∵a0∈N N),∴M?P,又 b=3 时,y=1,∴1∈P. 而 1<1+ a 2 ),∴1?M,从而 M?P. 0 +1=(a0∈N
* 2 * 2 2 2 * 2

10.已知全集 U,集合 A={1,3,5,7,9},CUA={2,4,6,8},CUB={1,4,6,8,9},求集合 B. 解题提示: 求集合 B,需根据题意先求全集 U,由于集合 A 及 CUA 已知,因此可用 Venn 图来表 示所给集合,将 A 及 CUA 填入即可得 U 解:借助 Veen 图,如图 1-2-7. 由题意知 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. ∵CUB={1,4,6,8,9} ∴B={2,3,5,7}.
4

U
2
A 1, 3,

8

5, 7, 9

6




求本题中的全集,用 Veen 较直观,本题的求解实际上应用了补集的性质 CU (CUB)=B.

方法 一
例7 取值范围. 解题提示:

数形结合思想

已知 A={ x | x <-1 或 x > 5 },B={ x ∈R | a < x <a + 4 },若 A ? B ,求实数 a 的 注意到 B≠?,将 A 在数轴上保释出来,再将 B 在数轴上表示出来,使得 A ? B ,

即可得 a 的取值范围. 解:如图-2-6,∵A ? B ,∴a + 4 ≤-1 或 a ≥5,∴a ≤-5 或 a ≥5.

B

A

A

A

A

B
a? 4

a
点 评

a ? 4 ?1

5

?1

5 a

本题利用数轴处理一些实数集之间的关系,以形助数直观、形象,体现了数形结合的思想,这在 以后的学习中会经常用到,但一定要检验端点值是否能取到,此题的易错点是各端点的取值情况,

方法 二

分类讨论思想

例 8 设 A= x x ? 8 x ? 15 ? 0 ,B= x ax ? 1 ? 0 , 若 B?A,求实数 a 的值.
2

?

?

?

?

解题提示: 集合 B 是方程 ax-1=0 的解集,该方程不一定是一次方程,当 a=0 时,B=?,此时符 合 B?A. 解:集合 A={3,5},当 a=0 时,B=?,满足 B?A.∴a=0 符合题意. 当 a≠0 时,B≠?, x ? 1 a. ∵B?A,∴ 1 1 综上,a 的值为 0 或 或 . 3 5




当 B?A 时,B 中含有参数,而 A 是一个确定的非空集合,要特别注意 B=?的情况,

不要遗漏,否则会丢解.


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