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(四川专版)2016高考数学二轮复习 专题二十 函数与方程思想、数形结合思想课件 理_图文

时间:2016-06-07

核 心 知 识 聚 焦 考 点 考 向 探 究

专题二十 函数与方程思想、数形结合思 想

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第20讲

函数与方程思想、数形结合思想

核 心 知 识 聚 焦

1.[2015· 全国卷Ⅱ改编] 已知等比数列{an}满足 a1=3, a1+a3+a5=21,则 a3+a5+a7=________.
[答案] 42

[解析] 由 a1=3,得 a1+a3+a5=3(1+q2+q4)=21,所以 1+q2+q4=7,即(q2+3)(q2-2)=0,解得 q2=2,所以 a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=21× 2=42.

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第20讲

函数与方程思想、数形结合思想

核 心 知 识 聚 焦

2.[2015· 全国卷Ⅱ] 设向量 a,b 不平行,向量 λa+b 与 a+2b 平行,则实数 λ=________.
1 2

[答案]

[解析] 因为 λa+b 与 a+2b 平行,所以存在唯一实数 t,使 得
? ?λ=t, λa+b=t(a+2b),所以? 解得 ? 1 = 2 t , ?

1 λ=t=2.

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函数与方程思想、数形结合思想

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3. [2013· 新课标全国卷Ⅰ改编] 设 m 为正整数, (x+y)2m + 展开式的二项式系数的最大值为 a, (x+y)2m 1 展开式的 二项式系数的最大值为 b, 若 13a=7b, 则 m=________.
[答案] 6

[解析] (x+y)2m 展开式的二项式系数的最大值是 Cm 即 a=Cm 2m, 2m; + m (x+y)2m 1 展开式的二项式系数的最大值是 Cm 2m+1,即 b=C2m+1, 因 为 13a = 7b , 所 以
m 13C m 2m = 7C 2m+1 , 所 以

(2m)! 13 = m!· m!

(2m+1)! 7 ,解得 m=6. (m+1)!· m!
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函数与方程思想、数形结合思想

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4.[2015· 全国卷Ⅱ改编] 设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R) 的导函数,f(-1)=0,当 x>0 时,xf′(x)-f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是________.

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函数与方程思想、数形结合思想

核 心 知 识 聚 焦

[答案] (-∞,-1)∪(0,1)

f(x) xf′(x)-f(x) [解析] 设函数 g(x)= x ,则 g′(x)= . x2 因为当 x>0 时,xf′(x)-f(x)<0,所以当 x>0 时,g′(x)<0, 所以 g(x)在(0,+∞)上单调递减.又因为函数 f(x)(x∈R) 是奇函数,所以函数 g(x)是偶函数,所以 g(x)在(-∞, 0) 上单调递增,且 g( - 1) = g(1) = 0. 故当 0<x<1 时, g(x)>0,则 f(x)>0;当 x<-1 时,g(x)<0,则 f(x)>0. 综上所述,使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是(-∞,- 1)∪(0,1).
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函数与方程思想、数形结合思想

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5.[2014· 辽宁卷改编] 当 x∈[-2,1]时,不等式 ax3-x2+4x +3≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是________.

[答案] [-6,-2]

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函数与方程思想、数形结合思想

核 心 知 识 聚 焦

x2-4x-3 [解析] 当-2≤x<0 时,不等式转化为 a≤ , x3 x2-4x-3 令 f(x)= (-2≤x<0), x3 -x2+8x+9 -(x-9)(x+1) 则 f′(x)= = , 故 f(x)在[- x4 x4 2 ,- 1] 上单调递减,在 ( - 1 , 0) 上单调递增,此时有 1+4-3 a≤ =-2.当 x=0 时,不等式恒成立. -1

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函数与方程思想、数形结合思想

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x2-4x-3 x2-4x-3 当 0<x≤1 时,a≥ ,令 g(x)= (0<x≤1), x3 x3 -x2+8x+9 -(x-9)(x+1) 则 g′(x)= = , x4 x4 1-4-3 故 g(x)在(0,1]上单调递增,此时有 a≥ 1 =-6. 综上,-6≤a≤-2.

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函数与方程思想、数形结合思想

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6.[2013· 山东卷] 过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4 的 弦,其中最短弦的长为________.

[答案] 2

2

[解析] 设弦与圆的交点为 A,B,最短弦长以(3, ?|AB|?2 1)为中点,由垂径定理得? 2 ? +(3-2)2+(2-1)2 ? ? =4,解之得|AB|=2 2.

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函数与方程思想、数形结合思想
2 ? ?|x +5x+4|,x≤0, f(x)=? 若 ? ?2|x-2|,x>0.

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7. [2014· 天津卷] 已知函数

函数 y=f(x)-a|x|恰好有 4 个零点,则实数 a 的取值范 围为________.
[答案] (1,2)

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函数与方程思想、数形结合思想

核 心 知 识 聚 焦

[解析] 在同一坐标系内分别作出 y=f(x)与 y=a|x|的图像, 如 图 所 示 , 当 y = a|x| 与 y = f(x) 的 图 像 相 切 时 , 联 立
2 ? ?-ax=-x -5x-4, ? ? ?a>0,

整理得 x2+(5-a)x+4=0,则 Δ=(5-a)2-4× 1× 4=0,解 得 a=1 或 a=9(舍去), ∴当 y=a|x|与 y=f(x)的图像有 4 个 交点时,有 1<a<2.

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函数与方程思想、数形结合思想

—— 教师知识必备 ——
知识必备
函 数 与 方 程 思 想 、 数 形 结 合 思 想 数 形 结 合 思 想 函 数 与 方 程 思 想 方程 思想 函数 思想

函数与方程思想、数形结合思想
函数思想的实质是抛开所研究对象的非 数学特征,用联系和变化的观点提取数 学对象,抽象其数学特征,建立各变量 之间固有的函数关系,通过函数形式, 利用函数的有关性质,使问题得到解决 方程思想的实质就是将所求的量设成未 知数,用它表示问题中的其他各量,根 据题中隐含的等量关系,列方程(组), 通过解方程(组)或对方程(组)进行研究, 以求得问题的解决 函数与方程思想在一定的条件下是可以 相互转化的,是相辅相成的,函数思想 重在对问题进行动态的研究,方程思想 则是在动中求静,研究运动中的等量关 系

以形 根据数与形之间的对应关系,把数转化 助数 为形,通过对形的研究解决数的问题

数形结合的重点是研究“以形助数”,这 在解选择题、填空题中更显其优越性,

根据数与形之间的对应关系,把形转化 要注意培养这种思想意识,做到心中有 以数 为数,通过数的计算、式子的变换等解 图、见数想图,以开拓自己的思维视野 助形 决数学问题

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函数与方程思想、数形结合思想

? 考点一

函数与方程思想

方程思想———— 列方程求解待定系数

函数思想————把问题函数化后使用研究函数的方法解决问题

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题型:选择、填空、解答 分值:5-12 分 难度:中等 热点:数列、解三角形、函数等试题中,多角度、全方位地考查函 数与方程思想

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函数与方程思想、数形结合思想

1 1 2 例 1 已知函数 f(x)=2+ln x,g(x)=2x . (1)若直线 l 与 f(x)以及 g(x)的图像相切于同一点, 求 l 的方程; (2)若对任意 x1>x2>0,不等式 t[g(x1)-g(x2)]>x1f(x1) -x2f(x2)恒成立,求 t 的取值范围.
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1 解: (1)易得 f′(x)=x (x>0),g′(x)=x,令 f′(x)=g′(x),则 1 x=x ,可得 x=1. 1 故直线 l 的斜率为 f′???1???=g′???1???=1.又因为 f???1???=g???1???=2,所 1 以直线 l 的方程为 y=x-2.
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函数与方程思想、数形结合思想

(2)原不等式可以转化为 tg???x1???-x1f???x1???>tg???x2???-x2f???x2???, t 2 x ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? x x x 构造函数 u =tg? ?-xf? ?=2x -xln x-2?x>0?.
? ? ? ? ? ?

要使原不等式恒成立,只要使函数 u???x???在区间??0,+∞??上
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?

?

3 x 是增函数即可,即 u′ =tx-ln x-2≥0 在区间(0,+∞)恒成 3 ln x+2 立,所以 t≥ x 在区间(0,+∞)恒成立.
? ? ? ? ? ?

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函数与方程思想、数形结合思想

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3 1 ln x+2 +ln x 2 再令 h???x???= x ???x>0???,则 h′???x???=- x2 ,故函数 h???x???在区 ? ? 1 ? 1? ? ? ? 间?0, ?上单调递增, 在区间? ,+∞? 上单调递减, 所以 h???x???max ? e? ? ? e ? ? 1 ? ? =h? ? e?= e,故 t∈[ e,+∞). ? ? 又当 t= e时,函数 u(x)不是常数函数,所以 t∈[ e,+∞).

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函数与方程思想、数形结合思想

[小结]方程思想的本质是根据已知得出方程,通过 方程的解解决问题;函数思想的本质是使用函数方法解 决数学问题(不一定只是函数问题),构造函数解题是函 数思想的一种重要形式.
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函数与方程思想、数形结合思想

变式题 已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,若 过点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线相交于 M, N 两点, 且|MN| =8. (1)求抛物线 C 的方程; (2)设直线 l 为抛物线 C 的切线, 且 l∥MN, P 为 l 上一 → ·PN → 的最小值. 点,求PM
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?p ? F?2,0?,则该直线的方程为 ? ?
2

解: (1)由题可知
2

p y=x-2,

p2 将其代入 y =2px(p>0)中,得 x -3px+ 4 =0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则有 x1+x2=3p.
? ?MN?=8,∴ x +x +p=8,即 3p+p=8,解得 p=2. ∵ ? ? ? 1 2

∴ 抛物线 C 的方程为 y2=4x.
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函数与方程思想、数形结合思想

(2)设直线 l 的方程为 y=x+b,代入 y2=4x, 得 x2+(2b-4)x+b2=0. ∵直线 l 为抛物线 C 的切线, ∴Δ=(2b-4)2-4b2=0, 解得 b=1,∴直线 l 的方程为 y=x+1. 由(1)可知,x1+x2=6,x1x2=1. → =(x1-m,y1-(m+1)),PN →= 设 P(m,m+1),则PM (x2-m,y2-(m+1)),
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→· → =(x1-m)(x2-m)+[y1-(m+1)][y2-(m+1)] ∴PM PN =x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2-(m+1)(y1+y2)+(m+1)2. 又 x1+x2=6,x1x2=1, ∴(y1y2)2=16x1x2=16,∴y1y2=-4.
2 又∵y2 1-y2=4(x1-x2),∴

x1-x2 y1+y2=4· =4, y1-y2
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函数与方程思想、数形结合思想

→· → =1-6m+m2-4-4(m+1)+(m+1)2=2(m2 ∴PM PN -4m-3)=2[(m-2)2-7]≥-14, →· →取 当且仅当 m=2, 即点 P 的坐标为(2, 3)时, PM PN 得最小值-14.
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函数与方程思想、数形结合思想

? 考点二

数形结合思想

数形结合思想—————以形助数探究解题思路,或者直接画图得 出结论

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题型:选择、填空、解答 分值:5-12 分 热点:函数、几何中的全方位运用

难度:中等

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函数与方程思想、数形结合思想

? 1 ? (x≠2), | x - 2| 例 2 (1)定义在 R 上的函数 f(x)=? ? ?1(x=2), 若关于 x 的方程 f2(x)-mf(x)+m-1=0(其中 m>2)有 n 个不同的实数根 x1,x2,…,xn,则
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? n ? f ? ? xi ? 的值为( ? i ?1 ?

)

1 A.4 1 C.12

1 B.8 1 D.16

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函数与方程思想、数形结合思想

(2)已知圆 P:x2+y2=4y 及抛物线 S:x2=8y,过 圆心 P 作直线 l,此直线与上述两曲线的四个交点,自 左向右顺次记为 A,B,C,D,如果|AB|,|BC|,|CD|按 此顺序构成一个等差数列,则直线 l 的斜率为( ) 2 2 A.± B. 2 2
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C.± 2
[答案] (1)B (2)A

D. 2

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函数与方程思想、数形结合思想

[解析] (1)方程 f2(x)-mf(x)+m-1=0 的解是 f(x)=1 或 f(x)= m-1>1.在坐标系中画出函数 f(x)的图像,以及直线 y=1,y=m -1(如图所示).由图像可知函数 f(x)的图像与直线 y=1,y=m- 1 有五个公共点,即方程 f2(x)-mf(x)+m-1=0 有五个实根.设
xi =10,所以 x1<x2<x3<x4<x5,则 x1+x5=x2+x4=4,x3=2,所以 ? i ?1
5

1 ? 5 ? f ? ? xi ? =f(10)= 8 ? i ?1 ?

.

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函数与方程思想、数形结合思想

考 点 考 向 探 究

(2)由题意可知,圆 P 的圆心坐标为(0,2),半径为 2.抛物线 S 的焦点为(0,2),准线方程为 y=-2,画出图 像如图所示,其中|BC|=4.由于|AB|,|BC|,|CD|成等差数 列,所以|AB|+|CD|=8,所以|AB|+|BC|+|CD|=12.所求 问题等价于当过抛物线 S 的焦点的直线被抛物线所截得 的线段的长度为 12 时,求直线的斜率.设 A(x1,y1), D(x2,y2),过 A,D 分别向抛物线的准线作垂线,垂足 分别为 A′, D′.根据抛物线定义得|AP|=|AA′|=y1+2, |DP| =|DD′|=y2+2,所以|AD|=|AP|+|DP|=y1+y2+4=12, 得 y1+y2=8.由题意可知,直线 l 的斜率存在,且不为 0. 设直线 l 的斜率为 k(k≠0),则直线 l 的方程为

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函数与方程思想、数形结合思想

y-2 y=kx+2, 即 x= k , 代入抛物线方程得 y2-(4+8k2)y+4=0, 2 2 故 y1+y2=4+8k =8,解得 k=± 2 .

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函数与方程思想、数形结合思想

[ 小结 ] 数形结合思想的主要方法是根据函数图像 (或者其他几何图形),找到解决问题的思路.

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函数与方程思想、数形结合思想

变式题 (1)抛物线 y=x2 在 A(1,1)处的切线与 x 轴及 该抛物线所围成图形的面积为__________. 2-sin x (2)函数 y= 的值域是_________. 3-cos x

1 [答案] (1)12
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?3- (2)? ? 4 ?

3 3+ 3? ? , 4 ?
?

[解析] (1)函数 y=x2 的导数为 y′=2x,所以在 A(1,1) 处的切线斜率为 2,所以该切线方程为 y-1=2(x-1),即 1 y=2x-1,令 y=0,得 x=2. 1 1 1 1 1 1 2 故所求的面积为∫0x dx-2×2×1=3-4=12.

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函数与方程思想、数形结合思想

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2-sin x (2) 的几何意义是指坐标平面上定点 A(3, 2)与动点 M(cos 3-cos x x,sin x)连线的斜率.又 cos2x+sin2x=1,所以动点 M 的轨迹是坐标平 面内的单位圆,所求问题等价于求定点 A 和单位圆上动点的连线的斜 率的取值范围,如图所示.函数的值域的两个端点,就是过点 A 向单 位圆引的两条切线 AM,AN 的斜率.设切线方程为 y-2=k(x-3), 即 kx-y-3k+2=0,所以 圆心(0,0)到切线的距离为 ? ? ?-3k+2? ? ? 2 =1,解得 k= 1+k 3± 3 4 ,故所求函数的值域
?3- 为? ? 4

3 3+ 3 ? , 4 ?.
?

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函数与方程思想、数形结合思想

—— 教师备用例题 ——
例 【配例 2 使用】 [2013· 新课标全国卷Ⅰ] 已知函数 f(x)
2 ? ?-x +2x,x≤0, ? ? ? =? 若? ?f(x)?≥ax,则 ? ?ln(x+1),x>0.

a 的取值范围是(

)

A.(-∞,0] C.[-2,1]

B.(-∞,1] 为. D.[-2,0]

[答案] D

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函数与方程思想、数形结合思想

2 ? ? ? ? 2 ? ? ? [解析] 方法一:若 x≤0,? ?f(x)?=?-x +2x?=x -2x, x=0 时,不等 式恒成立,x<0 时,不等式可变为 a≥x-2,而 x-2<-2,可得 a≥-2; ? ? ? ? ? ? ? 若 x>0 , ? ?f(x)? = ?ln(x+1)? = ln(x + 1) ,由 ln(x + 1)≥ax ,可得 ln(x+1) a≤ 恒成立, x

x -ln(x+1) x + 1 ln ( x + 1 ) x ? ? ? 令 h? ,则 h ′ ,再令 g ( x ) = - ?x?= ?x?= 2 x x x+1 -x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ln(x+1),则 g′? ?x?=? ?2<0,故 g?x?在区间?0,+∞?上单调递减,所以 g?x? ?x+1? ? ? x -ln (x+1) x + 1 ? ? ? ? ? ?0,+∞?上单 <g? <0 ,故 h ( x ) 在区间 ?0?=0,可得 h′?x?= 2 ? ? x
? 调递减,x→+∞时,h? ?x?→0, ? 所以 h? ?x?>0,a≤0,综上可知,-2≤a≤0,故选 D.

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函数与方程思想、数形结合思想

2 ? ?x -2x,x≤0, 方法二:数形结合:画出函数|f(x)|=? 与直线 ? ln ( x + 1 ), x >0 ?

y=ax 的图像,如图所示,要使|f(x)|≥ax 恒成立,只要使直线 y= ax 的斜率最小时与函数 y=x2-2x,x≤0 在原点处的切线斜率相 等,最大时与 x 轴重合, 因为 y′=2x-2,所以 y′|x=0=-2,所以-2≤a≤0.

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