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金版教程2012高考复习考点测试73不等式选讲

时间:2014-07-06

金版教程

2012 高考复习考点测试 73

金版教程 2012 高考复习考点测试 73

不等式选讲

基础训练
【基础训练】 一、选择题 1.若 A ? {x || x ? 1 |? 2} , B ? {x | A. {x | ?1 ? x ? 3} C. {x | ?1 ? x ? 0 或 2 ? x ? 3} 2.不等式 1 ?| x ? 1 |? 3 的解集为( )

x?2 ? 0} ,则 A ∩ B 等于( x



B. {x | x ? 0 或 x ? 2} D. {x | ?1 ? x ? 0}

A. (0,2) C. (-4,0)

B. (-2,0)∪(2,4) D. (-4,-2)∪(0,2) )

3.若实数 x , y 适合不等式 xy ? 1 , x ? y ? ?2 ,则( A. x ? 0 , y ? 0 B. x ? 0 , y ? 0

C. x ? 0 , y ? 0 D . x ? 0 , y ? 0

4.若 a , b ? (0,??) ,且 a ? b , M ? A. M ? N B. M ? N

a b ? , N ? a ? b ,则 M 与 N 的大小关系是( b a
C. M ? N D. M ? N )



5.若 a , b , c ? (0,??) ,且 a ? b ? c ? 1 ,则 a ? b ? c 的最大值是( A.1 B. 2 C. 3 D.2

3 3 3 2 2 2 6. 已知 a ? 0 , 且 M ? a ? (a ? 1) ? (a ? 2) ,N ? a (a ? 1) ? (a ? 1) (a ? 2) ? a(a ? 2) , 则M 与N

的大小关系是( A. M ? N 答案: CDAACA 二、填空题

) B. M ? N C. M ? N D. M ? N

7.不等式 | x | · (1 ? 2 x) ? 0 的解集为___ _____ 8.函数 y ? 12 ? 2x ?

x ? 1 的最大值是________

9.已知 | a ? b |? ?c ( a , b , c ? R ) ,给出下列不等式: ① a ? ?b ? c ;② a ? ?b ? c ;③ a ? b ? c ;④ | a |?| b | ?c ;⑤ | a |? ? | b | ?c 。其中一定成立的不等式
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是________(把所有成立的不等式的序号都填上) 答案:7. x ? 三、解答题 10.解不等式 | 5 x ? 1 |? 2 ? x 。 解: x ? ?

1 且x ? 0; 2

8. 15 ;

9.①②④。

3 1 或x? 。 4 6

11.若 a , b ? (0,??) ,且 2c ? a ? b ,求证: c ? c2 ? ab ? a ? c ? c2 ? ab 。 12.若 a , b , c ? (0,??) ,且 a ? b ? c ? 1 ,求 a ? b ? c 的最小值。
2 2 2

解: a ? b ? c 的最小值为
2 2 2

1 。 3

高考·模拟
【高考专栏】 1. (2010·江西卷)不等式

x?2 x?2 的解集是( ? x x

) D. (??,0)

A. (0, 2)

B. (??, 0)

C. (2, ??)

(0, ??)

【解析】选择 A。由已知,原不等式等价于

x?2 ? 0 ,即 x?x ? 2? ? 0 .∴解集为 ?0,2? 。 x

2. (2010·天津卷)设 A ? {x || x ? a |? 1, x ? R} , B ? {x || x ? b |? 2, x ? R} 。若 A ? B ,则实数 a , b 必 满足( ) B. | a ? b |? 3 C. | a ? b |? 3 D. | a ? b |? 3

A. | a ? b |? 3 【解析】选择 D。

因为 A ? {x | x ? a ? 1} ? {x | ?1? a ? x ? 1? a}B ? {x | x ? b ? 2} ? {x | x ? 2 ? b, 或x ? ?2 ? b} , 又∵ A ? B ,∴ 1 ? a ? ?2 ? b, 或 ? 1 ? a ? 2 ? b ,即 a ? b ? ?3, 或a ? b ? 3 ,也就是 a ? b ? 3 。 3. (2010·陕西卷)不等式 | x ? 3| ? | x ? 2 |? 3 的解集为 【答案】 {x | x ? 1} 【解析】

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4. (2009·广东卷)不等式

| x ?1| ? 1 的实数解为 | x?2|

【解析】 x ? ?

3 且 x ? ?2 。 2
2 2 2

5. (2010·辽宁卷)已知 a, b, c 均为正数,证明: a ? b ? c ? ( 何值时,等号成立。 证明:(证法一) 因为 a,b,c 均为正数,由平均值不等式得
2

1 1 1 2 ? ? ) ? 6 3 ,并确定 a, b, c 为 a b c

a2+b2+c2≥ 3( abc) 3
1 ? 1 1 1 ? ? ≥ 3(abc) 3 a b c



2 ? ? 1 1 1? 所以 ? ? ? ? ≥ 9(abc) 3 . ?a b c? 2 2 ? ? 1 1 1? ? ? ? ≥ 3( abc) 3 ?9(abc) 3 ?a b c? ? 2 3

2



2

故 a +b +c + ?
2

2

2

2

又 3( abc) 3 ?9(abc)

≥ 2 27 ? 6 3 ,



所以原不等式成立. 当且仅当 a=b=c 时,①式和②式等号成立.当且仅当 3(abc) ? 9(abc) 即当且仅当 a=b=c= 3 时,原式等号成立。 (证法二) 因为 a,b,c 均为正数,由基本不等式 a2+b2≥2ab, b2+c2≥2bc c2+a2≥2ac. 2 2 2 所以 a +b +c ≥ab+bc+ac
1 4
2 3 ? 2 3

时, ③式等号成立.

① ②

1 1 1 1 1 1 ? 2? 2 ≥ ? ? 2 a b c ab bc ac 1 1 1 2 2 2 2 故 a +b +c +( ? ? ) a b c
同理

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≥ab+bc+ac+3 ≥6 3 .

1 1 1 +3 +3 ab bc ac


所以原不等式成立 2 2 2 当且仅当 a=b=c 时,①式和②式等号成立,当且仅当 a=b=c,(ab) =(bc) =(ac) =3 时,③式等号成立。
1

即当且仅当 a=b=c= 3 4 时,原式等号成立。 6. (2010·福建卷)已知函数 f ( x) ?| x ? a | 。 (Ⅰ)若不等式 f ( x) ? 3 的解集为 {x | ?1 ? x ? 5} ,求实数 a 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 f ( x )+ f ( x ? 5 )≥ m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围。

【解析】 (1) x ? a ? 3 ? ?3 ? x ? a ? 3 ? a ? 3 ? x ? a ? 3 ,对应系数得 a ? 2 ; (2) g ( x) ? x ? 2 ? x ? 3 的图像为 所以 g ( x) ? 5 ,故 m ? 5 。 y

5

【模拟专栏】 7. (2010·广东汕头)不等式 | x ? 1 | ? | x ? 2 |? 5 的解集为( )

-3

O

2

x

A. (-∞,-2]∪[2,+∞)

B. (-∞,-1]∪[2,+∞)

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C. (-∞,-2]∪[3,+∞) 8. (2010·辽宁沈阳)若实数 x , y 满足

D. (-∞,-3]∪[2,+∞)

1 1 ? 2 ? 1 ,则 x 2 ? 2 y 2 有( 2 x y
C.最大值 6



A.最大值 3 ? 2 2

B.最小值 6

D.最小值 3 ? 2 2

9. (2010·山东济宁一模)若关于 x 的不等式 | x ? a | ? | x ? 4 |? 1 的解集是全体实数,则实数 a 的取值范 围是( A.[3,5] C.[3,5] 答案:DDD 10. (2010·广东深圳一模)若不等式 | x ? 1 | ? | x ? 3 |? a ? 围是_____ 答案: a ? 0 或 a ? 2 。 11. (2010·陕西宝鸡一模)若不等式 | x ? _____ 答案:3。 12. (2009· 东北三校联考) 对于任意实数 a( a ? 0 ) 和b , 不等式 | a ? b | ? | a ? b |?| a | (| x ? 1 | ? | x ? 2 |) 恒成立,求实数 x 的取值范围。 解: ) B. (-∞,3]∪[5,+∞) D. (-∞,-5]∪[-3,+∞)

4 对任意的实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范 a

1 |?| a ? 2 | ?1 对一切非零实数 x 均成立,则实数 a 的最大值是 x

1 5 ?x? 。 2 2

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