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高中数学必修1第三章试题及答案

时间:2018-06-30


数学必修 1 第三章测试题
班别 姓名 学号 考分

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 函数 y ? log x ?1 (5 ? 4 x ) 的定义域是( A. (?1, 0) B. (0, log 4 5) ) 。 D. (?1, 0) ? (0, log 4 5)

C. (?1, log4 5) ) 。

2. 函数 y ? log a ( x ? 2) ? 1 的图象过定点( A.(1,2) B.(2,1)

C.(-2,1) ) 。

D.(-1,1)

3. 设 f (log2 x) ? 2x ( x ? 0) ,则 f (3) 的值为( A. 128 B. 256 C. 512

D. 8

4.

5

log5 ( ? a ) 2
化简的结果是( B. ) 。 C. |a| ) 。 B. D. D. a

A. –a

a2

5. 函数 y ? 0.2? x ? 1 的反函数是( A. C. 6. 若

y ? log5 x ? 1

y ? log5 ( x ? 1)
y ? log5 x ? 1

y ? log x 5 ? 1

y ? log3a2 ?1 x 在(0,+∞)内为减函数,且 y ? a ? x 为增函数,则 a 的取值范围是
3 , 1) 3
B. (0,

( ) 。 A. (

1 ) 3

C. (0,

3 ) 3

D. (

3 6 , ) 3 3

7. 设 x ? 0, 且a x ? b x ? 1, a, b ? 0 ,则 a、b 的大小关系是( A.b<a<1 B. a<b<1 C. 1<b<a 8. 下列函数中,值域为(0,+∞)的函数是( ) 。 A. y ? 2
1 x

) 。 D. 1<a<b

?1? B. y ? ? ? ?2?

1? x

1 C. y ? ( ) x ? 1 D. y ? 1 ? 2x 2

9. 设偶函数 f ( x) 在[0,π ]上递减,下列三个数 a= f (lg 系为( )。 A. a>b>c B. b>a>c

1 ? 2? ), b ? f ( ), c ? f (? ) 的关 100 2 3

C. b>c>a

D. c>a>b

1

10. 已知 0<a<1,b>1,且 ab>1,则下列不等式中成立的是(

) 。

1 ? loga b 1 C. loga b ? loga ? logb b
A. loga b ? logb

1 b 1 b

1 1 ? loga b ? loga b b 1 1 D. logb ? loga ? loga b b b
B. logb

? a, ( a ? b) 11. 定义运算 a ? b 为: a ? b ? ? 如 1? 2 ? 1,则函数 f ( x) ? 2 x ? 2 ? x 的值域为 ?b, (a ? b ) ,
( ) 。 A. R B. (0,+∞)
a b

C. (0,1]
c

D. [1,+∞) ) 。 D.

12. 设 a、b、c 都是正数,且 3 ? 4 ? 6 ,则以下正确的是(

1 1 1 A. ? ? c a b
8

2 2 1 B. ? ? c a b

1 2 2 C. ? ? c a b

2 1 2 ? ? c a b

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上.

? 13 13. ? x 3 x ?2 ? ?

? 5 ? 化成分数指数幂为 ? ?

?



14. 若不等式 log a ( x ? 3) ? log a ( x ? 2) 成立,则 x 的取值范围是 15. 已知 log 4m (9 m ? 2) ? 0 ,则 m 的取值范围是 16. 给出下列四种说法: 。

,a 的取值范围是



⑴ 函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 与函数 y ? loga a x (a ? 0, a ? 1) 的定义域相同; ⑵ 函数 y ? x3与y ? 3x 的值域相同; ⑶ 函数 y ?

(1 ? 2 x ) 2 1 1 ? x 与y? 均是奇函数; 2 2 ?1 x ? 2x

⑷ 函数 y ? ( x ? 1) 2 与 y ? 2x ? 1在 (0, ? ?) 上都是增函数。 其中正确说法的序号是 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 解答应写出文字的说明,证明过程或演算步骤. 17. 已知 f ( x) ? a3 x ?5 ,且 f (lg a) ? 100 ,求 a 的值。 18. 已知函数 f ( x) ? log a ( x ? 1) (a ? 0, a ? 1) 在区间[1,7]上的最大值比最小值大 的值。 19. 已 知 指 数 函 数 y ? ( ) x , 当 x ? ( 0 , ? ? ) , 有 y ? 1 , 解 关 于 x 的 不 等 式 时

1 ,求 a 2

1 a

loga ( x ? 1) ? loga ( x2 ? x ? 6) 。
20. 已知函数 f ( x) ? loga (1 ? a x ) (a ? 0, a ? 1) 。

2

⑴ 求 f ( x) 的定义域; ⑵ 当 a>1 时,判断函数 f ( x) 的单调性,并证明你的结论。

1 ? 2x ? 4x a ( a ? R ) ,若当 x ? (??, 1] 时, f ( x) 有意义,求 a 的取值范围。 3 22. 某商品在最近 100 天内的价格 f (t ) 与时间 t 的函数关系是:
21. 设 f ( x) ? lg

?1 (0 ? t ? 40, t ? N ) ? 4 t ? 22 ? f (t ) ? ? ?? 1 t ? 52 (40 ? t ? 100, t ? N ), ? 2 ?
销售量 g (t ) 与时间 t 的函数关系是: g(t) = - 这种商品的日销售额 S(t)的最大值。

1 109 t+ (0≤t≤100 , t∈N), 求 3 3

参考答案
一、DDBCB DBBBA CB

?5 ? 4 x ? 0 ? x ? log 4 5 ? ? 提示:1. ? x ? 1 ? 0 ? ? x ? ?1 ? x ? 1 ? 1, ?x ? 0 ? ?
2. 代入验证。

故选 D。

3. 设 log 2 x ? 3 ,则 x ? 23 ? 8 ,代入已知等式,得 f (3) ? 28 ? 256 。 4.

5

log5 ( ? a )2

? 5

log

5

( ? a )2

? 5

log 5 |a|

?| a |

?1? 5. 由 y ? 0.2? x ? 1 ,得 ? ? ?5?
y ? log5 (x ? 1)。

?x

? y ? 1 即 5x ? y ? 1 ,两边取对数,得 x ? log5 ( y ? 1) ,即

?0 ? 3a 2 ? 1 ? 1 ? 6. 解不等式组 ? 1 ? ? 1, ?a

即可。

7. 由指数函数的性质,得 0<a<1,0<b<1,又由幂函数 y ? xn 的性质知,当 n>0 时, 它在第一象限内递增,故 a<b<1。
1

8. 在 y ? 2 x 中 x ? 0 ,∴

1 1 ;而 ? 0, y ? 1;在 y ? ( )x ? 1 中,值域为(-1,+∞) 2 x

。 y ? 1 ? 2x 的值域为[0,1) 9. 由题意知, a ? f (?2) ? f (2), b ? f ( ), c ? f (

?

2

2? ) ,因为 f ( x) 在[0,π ]上递减,且 3
y

3

1

O

x

0?

?
2

?2?

2? ?? , ∴ 3

? 2? f ( ) ? f (2) ? f ( ) , 即 b>a>c。 2 3

10. 取 a ?

1 , b?4。 2
的图象就是

11. 由题意知, a ? b 的结果为 a 、 b 中较小者,于是 f ( x) ? 2 x ? 2 ? x ,故值域为(0,1]。 y ? 2x 与y ? 2? x 的图象的较小的部分(如图)

12. 设 3a ? 4b ? 6c ? k ,则 k>0 且 k≠1,取对数得 a ? log3 k , b ? log 4 k , c ? log6 k , ∴ ∴

1 1 1 ? logk 3, ? logk 4 ? 2logk 2, ? logk 6 ? logk 2 ? log k 3 , a b c 2 2 1 ? ? 。 c a b
4 15

? 1 ?2 1? 二、13. x 。提示:原式= ?( x 3 ? x 3 ) 2 ? ? ?
14. x ? 2, 0 ? a ? 1 。提示:∵

?

8 5

? (x

?

1 4 ? 3 5

4

)

? x15 。

x ? 3 ? x ? 2, 且 log a ( x ? 3) ? log a ( x ? 2) ,



?x ? 3 ? 0 0<a<1。 由 ? ,得 x ? 2 。 ?x ? 2 ? 0

15. ( ,

?0 ? 4m ? 1 ? 4m ? 1 2 1 1 。 或? ) ? ( , ? ?) 。提示:解不等式组 ? 9 4 3 ?0 ? 9m ? 2 ? 1 ?9m ? 2 ? 1

16. ⑴⑶。 提示: ⑴中两个函数的定义域都是 R; ⑵中两个函数的值域分别是 R 与 (0, +∞) ; ⑶中两个函数均满足 f (? x) ? ? f ( x) ,是奇函数;⑷中函数 y ? ( x ? 1)2 在 (0, ? ?) 不 是增函数。 三、17. 解:因为 f (lg a) ? a3lg a ?5 ? 100 ,两边取对数,得 lg a(3lg a ? 5) ? 2 , 所以 3(lg a)2 ? 5lg a ? 2 ? 0 ,解得 lg a ? ? 或 lg a ? 2 , 即 a ? 10
? 1 3

1 3

或 a ? 100 。

18. 解:若 a>1,则 f ( x) ? log a ( x ? 1) ( a ? 0, a ?1) 在区间[1,7]上的最大值为 loga 8 ,最 小值为 loga 2 ,依题意,有 loga 8 ? loga 2 ?

1 ,解得 a = 16; 2

若 0<a<1,则 f ( x) ? log a ( x ? 1) (a ? 0, a ? 1) 在区间[1,7]上的最小值为 loga 8 , 最大值为 loga 2 ,依题意,有 loga 2 ? loga 8 ?

1 1 ,解得 a = 。 2 16

4

综上,得 a = 16 或 a =

1 。 16 1 ? 1, 即 0 ? a ? 1 。 a

19. 解:∵ y ? ( ) x 在 x ? (0, ? ?) 时,有 y ? 1 , ∴
2

1 a

? x ? 1 ? x2 ? x ? 6 ? 于是由 loga ( x ? 1) ? loga ( x ? x ? 6) ,得 ? 2 , ?x ? x ? 6 ? 0 ?
解得 2 ? x ? 5 , ∴ 不等式的解集为 {x | 2 ? x ? 5} 。 20. 解:⑴ 由 1 ? a x ? 0 ,得 a x ? 1 。 当 a>1 时,解不等式 a x ? 1 ,得 x ? 0 ; 当 0<a<1 时,解不等式 a x ? 1 ,得 x ? 0 。 ∴ 当 a >1 时, f ( x) 的定义域为 {x | x ? 0} ;当 0< a <1 时, f ( x) 的定义域为 {x | x ? 0} 。 ⑵ 当 a>1 时, f ( x) 在(-∞,0)上是减函数,证明如下: 设 x1 , x2 是(-∞,0)内的任意两个数,且 x1 ? x2 ,则

f ( x1 ) - f ( x2 ) = log a (1 ? a x1 ) ? log a (1 ? a x2 ) ? log a
∵ a>1, x1 ? x2 ? 0 , ∴ 从而

1 ? a x1 , 1 ? a x2

0 ? a x1 ? a x2 ? 1 , ∴ 1 ? a x1 ? 1 ? a x2 ? 0 。

1 ? a x1 1 ? a x1 ? 1, log a ? 0 ,即 f ( x1 ) > f ( x2 ) . 1 ? a x2 1 ? a x2 ∴当 a>1 时, f ( x) 在(-∞,0)上递减。
21. 解:根据题意,有

1 ? 2x ? 4x a ? 0 , x ? (??, 1] , 3

1 ? ? 1 即 a ? ? ?( ) x ? ( ) x ? , x ? (??, 1] , 2 ? ? 4

1 1 ?( ) x 与 ? ( ) x 在 ( ??, 1] 上都是增函数, 4 2 1 x 1 x ∴ ?[( ) ? ( ) ] 在 ( ??, 1] 上也是增函数, 4 2 1 1 3 ∴ 它在 x ? 1 时取最大值为 ?( ? ) ? ? , 4 2 4


1 ? 3 ? 1 即 ? ?( ) x ? ( ) x ? ? ? , 2 ? 4 ? 4

3 a?? 。 4 22. 解:因为 S (t ) ? f (t ) ? g (t ) ,所以
∴ ⑴ 当 0 ? t ? 40时, S (t ) ? ( t ? 22)(? t ? 当 t ? 10或11时, Smax ? 808.5 ;

1 4

1 3

109 1 从而可知 ),即S (t ) ? ? (t ? 88)(t ? 109) , 3 12

5

⑵ 当40 ? t ? 100时, S (t ) ? (? t ? 52)(? t ?

1 2

1 3

109 1 ) ? (t ? 104)(t ? 109) ,当 t = 40 时, 3 6

Smax ? 736 ? 808.5 。
综上可得, 当0 ? t ? 100时, Smax ? 808.5 。 答:在最近的 100 天内,这种商品的日销售额的最大值为 808.5。

6


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