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湖南省娄底市新化一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析

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2014-2015 学年湖南省娄底市新化一中高一(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每个小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求) 1. (5 分)下列关系式正确的是() A. ∈Q B.{2}={x|x =2x}
2

C.{a,b}={b,a}

D.Φ∈{2006}

2. (5 分)设集合 A={1,3},集合 B={1,2,4,5},则集合 A∪B=() A.{1,3,1,2,4,5} B. {1} C. {1,2,3,4,5} D. {2,3,4,5} 3. (5 分)函数 y=log A.(3,+∞) (x﹣3)的定义域为() B.[3,+∞) C.(﹣∞,3) D.(﹣∞,3]

4. (5 分)函数 y=(m +2m﹣2)x A.1 5. (5 分) A.﹣ B . ﹣3 等于() B. ﹣

2

是幂函数,则 m=() C . ﹣3 或 1 D.2

?

C.

D.

6. (5 分)已知 log2m=2.013,log2n=1.013,则 等于() A.2 B. C.10 D.

7. (5 分)下列函数中,图象关于 y 轴对称的是() A.y=log2x B.y= C.y=x|x| D.y=x

8. (5 分)下列各式中错误的是() 0.9 0.8 A.3 >3 C. 0.65
﹣0.1

B. log0.5 >log0.5 D.3 <2

0.4

0.5

<0.65

0.1

9. (5 分)已知函数 f(x)是偶函数,且定义域为 R,若 x>0 时,f(x)=x+2,则函数 f(﹣ 1)等于() A.1 B. 3 C . ﹣3 D.﹣1

10. (5 分)设函数

,已知 f(a)>1,则实数 a 的取值范围

是() A.(﹣2,1) B.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞) (﹣∞,﹣1)∪(0,+∞)

C. (1,+∞)

D.

二、填空题(本大题共 5 小题,共 25 分,请把正确答案填在题中的横线上) 11. (5 分)函数 y=( ) +3 的值域是.
x

12. (5 分)函数 y=loga(x﹣1)+2 的图象恒过定点,这个定点的坐标为. 13. (5 分)计算 =.

14. (5 分)奇函数 f(x)在[3,6]上是增函数,在区间[3,6]上的最大值为 8,最小值为﹣1, 则 2f(﹣6)+f(﹣3)=. 15. (5 分)定义:区间[x1,x2](x1<x2)的长度为 x2﹣x1,已知函数 y=2 的定义域为[a,b], 值域为[1,2],则区间[a,b]的长度的最大值与最小值的差为.
|x|

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答时写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (12 分)设集合 A={x|3≤x<7},B={x|2<x<7}.求: (1)A∪B; (2) (?RA)∩B. 17. (12 分)设 f(x)=ax +(b﹣8)x﹣a﹣ab 的图象与 x 轴的两个交点为(﹣3,0) , (2,0) (1)求 f(x) ; (2)当函数 f(x)的定义域为[0,2]时,求 f(x)的值域. 18. (12 分)已知函数 f(x)=log3(ax+b)的图象经过点 A(2,1) 、B(5,2) , (1)求函数 f(x)的解析式及定义域; (2)求
x 2

的值.

19. (13 分)设 f(x)=2a ﹣5(a>0 且 a≠1)在[﹣1,2]上的最大值为 3 (1)求 a 的值; (2)当 a>1 时,求 f(x)在(﹣∞,0)上的值域. 20. (13 分)函数 f(x)=loga(a ﹣1) (a>0,且 a≠1)
x

(1)求 f(x)的定义域; (2)求 f(x)的单调区间; (3)求 f(x)>1 的解集. 21. (13 分)已知 f(x)=loga 是奇函数(a>0 且 a≠1)

(1)求 m 的值; (2)当 0<a<1 时,判断 f(x)在区间(1,+∞)上的单调性并用定义证明; (3)当 a>1 时,x∈(r,a﹣2)时,f(x)的值域是(1,+∞) ,求 a 与 r 的值.

2014-2015 学年湖南省娄底市新化一中高一(上)期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每个小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求) 1. (5 分)下列关系式正确的是() 2 A . ∈Q B.{2}={x|x =2x} C.{a,b}={b,a} D.Φ∈{2006} 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 常规题型;集合. 分析: 正确利用集合与元素,集合与集合之间的关系用恰当利用. 2 解答: 解:选项 A: ?Q,选项 B:{x|x =2x}={0,2},故不相等, 选项 C:正确, 选项 D:Φ?{2006}, 故选 C. 点评: 本题考查了元素与集合,集合与集合的关系,属于基础题. 2. (5 分)设集合 A={1,3},集合 B={1,2,4,5},则集合 A∪B=() A.{1,3,1,2,4,5} B. {1} C. {1,2,3,4,5} D. {2,3,4,5} 考点: 并集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 集合 A 的所有元素和集合 B 的所有元素合并到一起,构成集合 A∪B,由此利用集 合 A={1,3},集合 B={1,2,4,5},能求出集合 A∪B. 解答: 解:∵集合 A={1,3},集合 B={1,2,4,5}, ∴集合 A∪B={1,2,3,4,5}. 故选 C. 点评: 本题考查集合的并集及其运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.

3. (5 分)函数 y=log A.(3,+∞)

(x﹣3)的定义域为() B.[3,+∞) C.(﹣∞,3) D.(﹣∞,3]

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 对数的真数大于 0,就是 x﹣3>0,直接求,解即可求出函数的定义域. 解答: 解:函数 y=log (x﹣3)有意义 必须 x﹣3>0 即:x>3 故选:A. 点评: 本题考查对数函数的定义域,是基础题.

4. (5 分)函数 y=(m +2m﹣2)x A.1 B . ﹣3

2

是幂函数,则 m=() C . ﹣3 或 1 D.2

考点: 幂函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数 y=(m +2m﹣2)x 解答: 解:∵函数 y=(m +2m﹣2)x
2 2 2

是幂函数,可得 m +2m﹣2=1,m﹣1≠0,解出即可. 是幂函数,

2

∴m +2m﹣2=1,m﹣1≠0, 解得 m=﹣3. 故选:B. 点评: 本题考查了幂函数的定义,属于基础题.

5. (5 分) A.﹣

?

等于() B. ﹣ C. D.

考点: 根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 专题: 计算题. 分析: 首先将根式化为分数指数幂的形式,再按照指数式的运算法则计算即可. 解答: 解: ? = = = .

故选 D. 点评: 指数式的运算法则和运算性质是进行指数运算的依据,熟练掌握并运用它们是解题 的关键.

6. (5 分)已知 log2m=2.013,log2n=1.013,则 等于() A.2 B. C.10 D.

考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 根据对数的运算性质欲求 ,log2n﹣log2m=log2 ,从而可求答案. 解答: 解:∵log2n﹣log2m=log2 =1.013﹣2.013=﹣1, ∴ .

故选 B. 点评: 本题主要考查对数的运算,属于基础题. 7. (5 分)下列函数中,图象关于 y 轴对称的是() A.y=log2x B.y= C.y=x|x| D.y=x

考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意,因为偶函数图象关于 y 轴对称,所以只要在选项中找出函数是偶函数即可. 解答: 解:由题意,因为偶函数图象关于 y 轴对称, 所以在选项中选择偶函数即可; 对于选项 A,B,函数的定义域关于原点不对称,是非奇非偶的函数; 对于选项 C,﹣x|﹣x|=﹣x|x|,是奇函数; 对于选项 D, ,显然是偶函数;

故选 D. 点评: 本题考查了偶函数的图象特征;偶函数图象关于 y 轴对称,奇函数图象关于原点对 称. 8. (5 分)下列各式中错误的是() A.3 >3 C. 0.65
0.9 0.8 0.1

B. log0.5 >log0.5 D.3 <2

0.4

0.5

﹣0.1

<0.65

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. x 分析: A.考察指数函数 y=3 在 R 上单调递增,即可判断出; B.考察对数函数 y=log0.5x 在(0,+∞)上单调递减,即可判断出; x C.考察指数函数 y=0.65 在 R 上单调递减,即可判断出;

D.考察幂函数

在在(0,+∞)上单调递减,即可判断出.
x 0.9 0.8

解答: 解:A.∵指数函数 y=3 在 R 上单调递增,∴3 >3 ,正确; 0.4 0.5 B.∵对数函数 y=log0.5x 在(0,+∞)上单调递减,∴log0.5 >log0.5 ,正确; ﹣0.1 x 0.1 C.∵指数函数 y=0.65 在 R 上单调递减,∴0.65 >0.65 ,因此错误; D.考察幂函数 在在(0,+∞)上单调递减,∴ < ,正确.

故选:C. 点评: 本题考查了指数函数对数函数与幂函数的单调性,属于基础题. 9. (5 分)已知函数 f(x)是偶函数,且定义域为 R,若 x>0 时,f(x)=x+2,则函数 f(﹣ 1)等于() A.1 B. 3 C . ﹣3 D.﹣1 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据 f(﹣x)=f(x) ,f(﹣1)=f(1)求解. 解答: 解:∵函数 f(x)是偶函数, ∴f(﹣x)=f(x) , ∵若 x>0 时,f(x)=x+2, ∴f(﹣1)=f(1)=1+2=3, 故选:B 点评: 本题考查了函数的性质,属于容易题,简单的计算.

10. (5 分)设函数

,已知 f(a)>1,则实数 a 的取值范围

是() A.(﹣2,1) B.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞) (﹣∞,﹣1)∪(0,+∞) 考点: 其他不等式的解法;函数单调性的性质. 专题: 计算题;不等式的解法及应用.

C. (1,+∞)

D.

分析: 由 f(x)=

,f(a)>1,知当 a≤0 时, ( ) ﹣3>1;当 a>0

a

时,

.由此能求出实数 a 的取值范围.

解答: 解:∵f(x)=

,f(a)>1,

∴当 a≤0 时, ( ) ﹣3>1,即 当 a>0 时, ,解得 a>1.

a

>4,解得 a<﹣2;

∴实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞) . 故选 B. 点评: 本题考查不等式的解法和应用,解题时要认真审题,注意分段函数的性质和应用. 二、填空题(本大题共 5 小题,共 25 分,请把正确答案填在题中的横线上) 11. (5 分)函数 y=( ) +3 的值域是(3,+∞) .
x

考点: 函数的值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 观察法求函数的值域. 解答: 解:∵( ) >0, ∴( ) +3>3, 故函数 y=( ) +3 的值域是(3,+∞) . 故答案为: (3,+∞) . 点评: 本题考查了函数值域的求法.高中函数值域求法有:1、观察法,2、配方法,3、反 函数法,4、判别式法;5、换元法,6、数形结合法,7、不等式法,8、分离常数法,9、单调 性法,10、利用导数求函数的值域,11、最值法,12、构造法,13、比例法.要根据题意选择. 12. (5 分)函数 y=loga(x﹣1)+2 的图象恒过定点,这个定点的坐标为(2,2) . 考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 loga1=0 得 x﹣1=1,求出 x 的值以及 y 的值,即求出定点的坐标. 解答: 解:∵loga1=0, ∴当 x﹣1=1,即 x=2 时,y=2, 则函数 y=loga(x﹣1)+1 的图象恒过定点 (2,2) . 故答案为: (2,2) . 点评: 本题考查对数函数的性质和特殊点,主要利用 loga1=0,属于基础题. 13. (5 分)计算 =1.
x x x

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数的运算法则即可得出.

解答: 解:原式=

=

=1.

故答案为:1. 点评: 本题考查了对数的运算法则,属于基础题. 14. (5 分)奇函数 f(x)在[3,6]上是增函数,在区间[3,6]上的最大值为 8,最小值为﹣1, 则 2f(﹣6)+f(﹣3)=﹣15. 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先利用条件找到 f(3)=﹣1,f(6)=8,再利用 f(x)是奇函数求出 f(﹣3) ,f(﹣ 6)代入即可. 解答: 解:由题意 f(x)在区间[3,6]上是增函数,在区间[3,6]上的最大值为 8,最小值 为﹣1, 得 f(3)=﹣1,f(6)=8, ∵f(x)是奇函数, ∴f(﹣3)+2f(﹣6)=﹣f(3)﹣2f(6)=1﹣2×8=﹣15. 故答案为:﹣15. 点评: 本题考查了函数奇偶性和单调性的应用.若已知一个函数为奇函数,则应有其定义 域关于原点对称,且对定义域内的一切 x 都有 f(﹣x)=﹣f(x)成立,本题属于基础题. 15. (5 分)定义:区间[x1,x2](x1<x2)的长度为 x2﹣x1,已知函数 y=2 的定义域为[a,b], 值域为[1,2],则区间[a,b]的长度的最大值与最小值的差为 1. 考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数函数的图象和性质,结合函数的值域求出 a,b 的取值情况即可得到结论. |x| 解答: 解:若 2 =1,则 x=0. |x| 若 2 =2,则 x=1 或 x=﹣1, |x| ∵函数 y=2 的定义域为[a,b],值域为[1,2], ∴若 a=﹣1,则 0≤b≤1, 若 b=1,则﹣1≤a≤0, 即当 a=﹣1,b=0 或 a=0,b=1 时,b﹣a 最小为 1, 当 a=﹣1,b=1 时,b﹣a 的值最大为 1﹣(﹣1)=2, 故区间[a,b]的长度的最大值与最小值的差为 2﹣1=1, 故答案为:1
|x|

点评: 本题主要考查函数最值的求解, 根据指数函数的图象和性质, 结合函数的值域求出 a, b 的取值情况是解决本题的关键. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答时写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (12 分)设集合 A={x|3≤x<7},B={x|2<x<7}.求: (1)A∪B; (2) (?RA)∩B. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: (1)根据并集的运算求出 A∪B; (2)由补集的运算求出?UA,再由交集的运算求出(?RA)∩B. 解答: 解: (1)A∪B={x|3≤x<7}∪{x|2<x<7}={x|3≤x<7}; (2)由集合 A={x|3≤x<7}得,?RA={x|x<3 或 x≥7}, 又 B={x|2<x<7},所以(?RA)∩B={x|2<x<3}. 点评: 本题考查了交、并、补集的混合运算,属于基础题. 17. (12 分)设 f(x)=ax +(b﹣8)x﹣a﹣ab 的图象与 x 轴的两个交点为(﹣3,0) , (2,0) (1)求 f(x) ; (2)当函数 f(x)的定义域为[0,2]时,求 f(x)的值域. 考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)根据 f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标分别是﹣3 和 2,可知﹣3 和 2 为方程 2 ax +(b﹣8)x﹣a﹣ab=0 的两个根,利用韦达定理,列出方程组,求解即可得到 f(x) ; (2) 根据 ( 1) 所得的解析式, 求出二次函数的对称轴, 根据定义域在对称轴的右边为减区间, 即可判断出 f(x)的最值,从而求得函数 f(x)的值域. 2 解答: 解: (1)∵函数 f(x)=ax +(b﹣8)x﹣a﹣ab 的图象与 x 轴的交点的横坐标分别是 ﹣3 和 2, 2 ∴﹣3 和 2 为方程 ax +(b﹣8)x﹣a﹣ab=0 的两个根,
2



,解得



∴f(x)=﹣3x ﹣3x+18; 2 (2)由(1)知,f(x)=﹣3x ﹣3x+18, ∵函数 f(x)的定义域是[0,2], ∴x∈[0,2], f(x)=﹣3x ﹣3x+18=﹣3(x+ ) +
2 2

2

,对称轴 x=﹣ ,

则区间[0,2]在对称轴的右边,为减区间, ∴当 x=2 时,f(x)取得最小值 0, 当 x=0 时,f(x)取得最大值 18, ∴函数 f(x)的值域为[0,18]. 点评: 本题考查了求函数的解析式,求函数解析式常见的方法有:待定系数法,换元法, 凑配法,消元法等,考查了函数的零点问题,函数的零点等价于对应方程的根,等价于函数的 图象与 x 轴交点的横坐标, 解题时要注意根据题意合理的选择转化. 同时考查了二次函数在闭 区间上的最值问题.属于中档题. 18. (12 分)已知函数 f(x)=log3(ax+b)的图象经过点 A(2,1) 、B(5,2) , (1)求函数 f(x)的解析式及定义域; (2)求 的值.

考点: 函数解析式的求解及常用方法;函数的定义域及其求法;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由函数图象经过点 A(2,1) 、B(5,2) ,得 a,b; (2)把 14, 带入解析式即可求得. ,解方程组即可求得

解答: 解: (1)因为函数 f(x)=log3(ax+b)的图象经过点 A(2,1) 、B(5,2) , 所以 ,即 ,

所以

,解得



所以 f(x)=log3(2x﹣1) ,定义域为( ,+∞) . (2)f(14)÷f( )=log327÷ =3÷ =6.

点评: 本题考查函数解析式的求法及函数求值问题,考查学生运算能力,属基础题. 19. (13 分)设 f(x)=2a ﹣5(a>0 且 a≠1)在[﹣1,2]上的最大值为 3 (1)求 a 的值; (2)当 a>1 时,求 f(x)在(﹣∞,0)上的值域.
x

考点: 指数函数综合题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)函数为指数类型的函数,分底数 0<a<1 和 a>1 进行讨论在区间上的单调性, 然后利用最值求参数 a; x (2)利用(1)中条件求得 a=2,代入函数解析式,得 y=2×2 ﹣5,利用单调性求值域即可. 解答: 解: (1)当 0<a<1 时,函数在区间[﹣1,2]内是递减函数,因此当 x=﹣1 时,y 取 最大值,即 2a ﹣5=3,解得 a= , 当 a>1 时,函数 y 在区间[﹣1,2]内是递增函数,因此当 x=2 时,y 取最大值,即 2a ﹣5=3, 解得 a=2, 综上所述,a= 或 2. (2)由(1)可知,a>1 时,a=2,函数为 y=2×2 ﹣5,且在(﹣∞,0)上单调递增,值域为 (﹣∞,﹣3) . 点评: 本题考查指数函数的单调性和利用单调性求最值的相关知识,属于基础题目. 20. (13 分)函数 f(x)=loga(a ﹣1) (a>0,且 a≠1) (1)求 f(x)的定义域; (2)求 f(x)的单调区间; (3)求 f(x)>1 的解集. 考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. x 分析: (1)由对数的定义可得,a ﹣1>0,讨论 a>1,0<a<1,运用指数函数的单调性, 即可得到定义域; (2)令 t=a ﹣1,则 y=logat,讨论 a>1,0<a<1 函数的单调性,注意运用复合函数的单调 性:同增异减,即可得到单调区间; (3)讨论 a>1,0<a<1,运用指数函数和对数函数的单调性,即可得到解集. x 解答: 解: (1)由对数的定义可得,a ﹣1>0, x x 当 a>1 时,a >1 解得,x>0;当 0<a<1 时,a >1 解得 x<0. 则 a>1 的定义域为(0,+∞) ,0<a<1 的定义域为(﹣∞,0) ; x (2)令 t=a ﹣1,则 y=logat, 当 a>1 时,t 在 x>0 上递增,y 在 t>0 上,则函数的增区间为(0,+∞) ; 当 0<a<1 时,t 在 x<0 上递减,y 在 t>0 上递减,则函数的增区间为(﹣∞,0) 故函数 f(x)的增区间为(﹣∞,0) (0<a<1) , (0,+∞) (a>1) ; (3)f(x)>1 即为 loga(a ﹣1)>1. x 0 x 当 a>1 时,loga(a ﹣1)>a ,即有 a ﹣1>0,解得 x>0; x x 当 0<a<1 时,loga(a ﹣1)>1,即有 a ﹣1<0,解得,x>0. 故解集为(0,+∞) . 点评: 本题考查指数函数和对数函数的定义域和值域,以及单调性,考查运算能力,以及 分类讨论的思想方法,属于中档题.
x x x x 2
﹣1

21. (13 分)已知 f(x)=loga

是奇函数(a>0 且 a≠1)

(1)求 m 的值; (2)当 0<a<1 时,判断 f(x)在区间(1,+∞)上的单调性并用定义证明; (3)当 a>1 时,x∈(r,a﹣2)时,f(x)的值域是(1,+∞) ,求 a 与 r 的值. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据函数 f(x)是奇函数,建立条件关系,即可求出 m 的值; (2)根据函数单调性的定义进行证明; (3)由题设 x∈(r,a﹣2)时,f(x)的值的范围恰为(1,+∞) ,可根据函数的单调性确定 出两个参数 a 及 r 的方程,解方程得出两个参数的值. 解答: 解: (1)∵f(x)=loga ∴f(﹣x)=﹣f(x) , 即 f(﹣x)+f(x)=0, ∴loga 即 m=±1, ∵m≠1, ∴m=﹣1, 此时 f(x)=loga 即 f(x)是奇函数. ∴m=﹣1. (2)解:设 1<x1<x2,则: ﹣ = ; ,满足 f(﹣x)=﹣f(x) , +loga =0, (a>0 且 a≠1,m≠1)是奇函数,

∵1<x1<x2,∴x2﹣x1>0,x1﹣1>0,x2﹣1>0; ∴ > ;

又 0<a<1, 则 loga ﹣loga <0,

即 f(x1)<f(x2) ; ∴函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数; (3) (3)因为 x∈(r,a﹣2) ,定义域 D=(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) , 1°当 r≥1 时,则 1≤r<a﹣2,即 a>3,…(14 分) 所以 f(x)在(r,a﹣2)上为减函数,值域恰为(1,+∞) ,所以 f(a﹣2)=1,…(15 分) 即 loga =loga =1,即 =a,…(16 分)

所以 a=2+ 且 r=1 …(18 分) 2°当 r<1 时,则(r,a﹣2)?(﹣∞,﹣1) ,所以 0<a<1,这与 a>1 不合, 所以 a=2+ 且 r=1.

点评: 本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识, 考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于中档题.


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