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2016届黑龙江省大庆一中高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

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2015-2016 学年黑龙江省大庆一中高三(上)期末数学试卷(理 科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符 合题目要求的. 1.设 i 是虚数单位,若复数 A.2 2.函数
2

为纯虚数,则实数 m 的值为(



B.﹣2 C.

D. ) C.坐标原点对称 D.直线 y=x 对称 )

的图象关于(

A.y 轴对称 B.直线 y=﹣x 对称

3. a∈N}, N={y|y=b2﹣4b+5, b∈N}, N 之间的关系是 已知 M={x|x=a +2a+2, 则 M, ( A.M? N B.N? M C.M=N D.M 与 N 之间没有包含关系 4.设函数 ①f(x)的图象关于直线 ②f(x)的图象关于点 ③f(x)的图象向左平移 ,则下列结论正确的是( 对称 对称 个单位,得到一个偶函数的图象 上为增函数. D.①③④ ,且满足条件 ) D.2015 )

④f(x)的最小正周期为 π,且在 A.③ B.①③ C.②④

5.已知等差数列{an}的前 =( A. B.2016 C.

6.已知 F1、F2 为双曲线 C:x2﹣y2=2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|,则 cos ∠F1PF2=( ) A. B. C. D.

7.已知实数 x,y 满足

,则 z=

的取值范围为(



A.[0,

] B. (﹣∞,0]∪[

,+∞)

C.[2,

] D. (﹣∞,2]∪[

,+∞)

8.对于下列四个命题
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p1:? x0∈(0,+∞) , ( )x0<( )x0 p2:? x0∈(0,1) ,log x0>log x0 x x.

p3:? x∈(0,+∞) , ( )x>log p4:? x∈(0, ) , ( )x<log

其中的真命题是( ) A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3

D.p2,p4 dx,则 a2014(a2012+2a2014+a2016)

9.已知数列{an}是等比数列,且 a2013+a2015=

的值为( ) 2 A.π B.2π C.π D.4π2 10.若曲线 C1:x2+y2﹣4x=0 与曲线 C2:y(y﹣mx﹣x)=0 有四个不同的交点,则实数 m 的取值范围是( ) A. (﹣ ﹣ , ) B. (﹣ ,+∞) ,0)∪(0, ) C.[﹣ , ] D. (﹣∞,

)∪(

11.已知椭圆

(a>b>0)上一点 A 关于原点的对称点为点 B,F 为其右焦点,

若 AF⊥BF,设∠ABF=α,且 A. 12.已知 B. C.

,则该椭圆离心率 e 的取值范围为( D.



,平面区域 D 由所有满足 )

(1≤λ

≤a,1≤μ≤b)的点 P 构成,其面积为 8,则 4a+b 的最小值为( A.13 B.12 C. D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.过抛物线 y2=8x 的焦点 F 作倾斜角为 135°的直线交抛物线于 A、B 两点,则弦长 AB 的 长为 . 14.如图所示,由若干个点组成形如三角形的图形,每条边(包括两个端点)有 n(n>1, n∈N)个点,每个图形总的点数记为 an,则 a6= ; + +

+…+

=



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15.设非直角△ABC 的内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,则下列结论正确的是 (写出所有正确结论的编号) . ①“sinA>sinB”是“a>b”的充分必要条件; ②“cosA<cosB”是“a>b”的充分必要条件; ③“tanA>tanB 是“a>b”的充分必要条件; ④“sin2A>sin2B”是“a>b”的充分必要条件; ⑤“cos2A<cos2B”是“a>b”的充分必要条件. 16.已知圆 O1: (x﹣2)2+y2=16 和圆 O2:x2+y2=r2(0<r<2) ,动圆 M 与圆 O1、圆 O2 都 e2 相切, 切圆圆心 M 的轨迹为两个椭圆, 这两个椭圆的离心率分别为 e1, (e1>e2) , 则 e1+2e2 的最小值是 . 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知函数 f(x)=2cosx(sinx﹣cosx)+m(m∈R) ,将 y=f(x)的图象向左平移 单位后得到 y=g(x)的图象,且 y=g(x)在区间 (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 ,且 a+c=2,求△ 内的最大值为 . 个

ABC 的周长 l 的取值范围. 18.已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是菱形,∠ABC=60°,AB=PC=2, (1)求证:平面 PAD⊥平面 ABCD; (2)求二面角 A﹣PC﹣B 的余弦值.



19.已知数列{an}中, .

的对称轴为

(1)试证明{2n?an}是等差数列,并求{an}的通项公式; (2)设{an}的前 n 项和为 Sn,求 Sn. 20.已知 D 为圆 O:x2+y2=8 上的动点,过点 D 向 x 轴作垂线 DN,垂足为 N,T 在线段 DN 上且满足 . (1)求动点 T 的轨迹方程; (2)若 M 是直线 l:x=﹣4 上的任意一点,以 OM 为直径的圆 K 与圆 O 相交于 P,Q 两点, 求证:直线 PQ 必过定点 E,并求出点 E 的坐标; (3)若(2)中直线 PQ 与动点 T 的轨迹交于 G,H 两点,且 ,求此时弦 PQ 的长 度. 21.已知函数 f(x)=lnx+x2.
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(Ⅰ)若函数 g(x)=f(x)﹣ax 在其定义域内为增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 a>1,h(x)=e3x﹣3aexx∈[0,ln2],求 h(x)的极小值; (Ⅲ)设 F(x)=2f(x)﹣3x2﹣kx(k∈R) ,若函数 F(x)存在两个零点 m,n(0<m<n) , 且 2x0=m+n.问:函数 F(x)在点(x0,F(x0) )处的切线能否平行于 x 轴?若能,求出 该切线方程;若不能,请说明理由. 请考生从第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.如图:已知圆上的弧 ,过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点,证明: (Ⅰ)∠ACE=∠BCD. (Ⅱ)BC2=BE?CD.

23.已知关于 x 的不等式|x+a|<b 的解集为{x|2<x<4} (Ⅰ)求实数 a,b 的值; (Ⅱ)求 + 的最大值. 24.选修 4~4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数)在极坐标系(与直

角坐标系 xOy 取相同的长度单位.且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的 方程为 ρ=6sinθ. (I)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B.若点 P 的坐标为(1,2) ,求|PA|+|PB|的最小值.

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2015-2016 学年黑龙江省大庆一中高三(上)期末数学试 卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符 合题目要求的. 1.设 i 是虚数单位,若复数 A.2 B.﹣2 C. D. 为纯虚数,则实数 m 的值为( )

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】化简复数为 a+bi 的形式,利用复数的基本概念,列出方程求解即可. 【解答】解:依题意 由复数 求得 m=2. 故选:A. 为纯虚数可知 ,且 , .

2.函数

的图象关于(

) C.坐标原点对称 D.直线 y=x 对称

A.y 轴对称 B.直线 y=﹣x 对称

【考点】奇偶函数图象的对称性. 【分析】根据函数 f(x)的奇偶性即可得到答案. 【解答】解:∵f(﹣x)=﹣ +x=﹣f(x) ∴ 故选 C. 3. a∈N}, N={y|y=b2﹣4b+5, b∈N}, N 之间的关系是 已知 M={x|x=a2+2a+2, 则 M, ( A.M? N B.N? M C.M=N D.M 与 N 之间没有包含关系 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【分析】判断两个集合的元素的特征,即可推出结果. 【解答】解:M={x|x=a2+2a+2=(a+1)2+1,a∈N}={2,5,10,…}, N={y|y=b2﹣4b+5=(b﹣2)2+1,b∈N}={1,2,5,10,…}, 所以 M?N. 故选:A. ) 是奇函数,所以 f(x)的图象关于原点对称

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4.设函数 ①f(x)的图象关于直线 ②f(x)的图象关于点 ③f(x)的图象向左平移

,则下列结论正确的是( 对称 对称 个单位,得到一个偶函数的图象 上为增函数.



④f(x)的最小正周期为 π,且在

A.③ B.①③ C.②④ D.①③④ 【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调 性;正弦函数的对称性. 【分析】研究函数 的性质,可利用代入法,将 2x+ 看做整体,若它

的取值为正弦函数的对称轴或对称中心横坐标, 则其对应的 x 值即为所研究函数的对称轴或 对称中心横坐标,同理 2x+ 所在区间为正弦函数的单调增区间,则其对应的 x 所在区间

为所研究函数的单调增区间, 由此判断①②④的正误, 利用函数图象的平移变换理论和诱 ③ 导公式、偶函数的定义可证明 正确 【解答】解:①∵2× ②∵2× + = + , ( =π,x=π 不是正弦函数的对称轴,故①错误; ,0)不是正弦函数的对称中心,故②错误; 个单位,得到 y=sin[2(x+ )+ ]=sin(2x+ )=cos2x,

③f(x)的图象向左平移

y=cos2x 为偶函数,故③正确; ④由 x∈ 区间,故④错误; 故选 A ,得 2x+ ∈[ , ],∵[ , ]不是正弦函数的单调递增

5.已知等差数列{an}的前 =( A. B.2016 C. ) D.2015

,且满足条件

【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】由已知得 a1+a2015=1,由此能求出等差数列{an}的前 2015 项和. 【解答】解:∵ ∴a1+a2015=1, ∵等差数列{an},
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,且



∴ 故选:C.

=



6.已知 F1、F2 为双曲线 C:x2﹣y2=2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|,则 cos ∠F1PF2=( ) A. B. C. D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】根据双曲线的定义,结合|PF1|=2|PF2|,利用余弦定理,即可求 cos∠F1PF2 的值. 【解答】解:将双曲线方程 x2﹣y2=2 化为标准方程 ﹣ =1,则 a= ,b= , ,c=2,

设|PF1|=2|PF2|=2m,则根据双曲线的定义,|PF1|﹣|PF2|=2a 可得 m=2 ∴|PF1|=4 ,|PF2|=2 , ∵|F1F2|=2c=4, ∴cos∠F1PF2= 故选 C. = =

= .

7.已知实数 x,y 满足

,则 z=

的取值范围为(



A.[0,

] B. (﹣∞,0]∪[

,+∞)

C.[2,

] D. (﹣∞,2]∪[

,+∞)

【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义即可得到结论. 【解答】解:z= 设 k= =2+ ,

,则 k 的几何意义为区域内的点到 D(0,﹣2)的斜率,

作出不等式组对应的平面区域如图: 由 解得 ,即 A(3,2) ,

则 AD 的斜率 k= CD 的斜率 k=

, ,

则 k 的取值范围是 k≥ 或 k≤﹣2, 则 k+2≥ 或 k+2≤0,
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即 z≥ 故选:B

或 z≤0,

8.对于下列四个命题 p1:? x0∈(0,+∞) , ( )x0<( )x0 p2:? x0∈(0,1) ,log x0>log x0 x x.

p3:? x∈(0,+∞) , ( )x>log p4:? x∈(0, ) , ( )x<log

其中的真命题是( ) A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】根据幂函数的单调性,我们可以判断 p1 的真假,根据对数函数的单调性,及指数 函数的单调性,我们可以判断 p2,p3,p4 的真假,进而得到答案 【解答】解:p1:? x0∈(0,+∞) , ( )x0<( )x0,是假命题,原因是当 x0∈(0,+∞) , 幂函数 在第一象限为增函数;

p2:? x0∈(0,1) ,log

x0>log

x0,是真命题,如



p3:? x∈(0,+∞) , ( )x>log p4:? x∈(0, ) , 故选:D. <

x,是假命题,如 x= 时,



<1,

,是真命题.

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9.已知数列{an}是等比数列,且 a2013+a2015=

dx,则 a2014(a2012+2a2014+a2016)

的值为( ) 2 A.π B.2π C.π D.4π2 【考点】等比数列的性质;定积分. 【分析】求定积分可得 a2013+a2015=π,由等比数列的性质变形可得 a2014(a2012+2a2014+a2016) =(a2013+a2015)2,代值计算可得. 【解答】解:由定积分的几何意义可得 dx

表示圆 x2+y2=4 在第一象限的图形的面积,即四分之一圆, 故可得 a2013+a2015= dx= ×π×22=π,

∴a2014(a2012+2a2014+a2016) =a2014?a2012+2a2014?a2014+a2014?a2016 = +2a2013?a2015

=(a2013+a2015)2=π2 故选:A 10.若曲线 C1:x2+y2﹣4x=0 与曲线 C2:y(y﹣mx﹣x)=0 有四个不同的交点,则实数 m 的取值范围是( ) A. (﹣ ﹣ , ) B. (﹣ ,+∞) ,0)∪(0, ) C.[﹣ , ] D. (﹣∞,

)∪(

【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】曲线 C1 表示以 C1: (2,0)为圆心、半径等于 2 的圆;①当 m≠0 时,曲线 C2 0) 表示 x 轴及过点 (﹣1, 且斜率为 m 的直线, 要使两条曲线有四个不同交点, 需 y=m (x+1) 2 2 和圆 (x﹣4) +y =16 相交,根据圆心到此直线的距离小于半径,求得 m 的范围.②当 m=0 时,检验不满足条件.综合可得 m 的范围. 【解答】解:曲线 C1:x2+y2﹣4x=0 即(x﹣2)2+y2=4,表示以 C1: (2,0)为圆心、半径 等于 2 的圆. 对于曲线 C2:y(y﹣mx﹣m)=0, ①当 m≠0 时,曲线 C2 即 y=0,或 y=m(x+1) ,表示 x 轴及过点(﹣1,0)且斜率为 m 的 直线, 要使两条曲线有四个不同交点,需 y=m(x+1)和圆(x﹣2)2+y2=4 相交, 故有 <2,求得﹣ <m< ,且 m≠0.

②当 m=0 时,曲线 C2:即 y2=0,即 y=0,表示一条直线,此时曲线 C2 和曲线 C1 只有一个 交点,不满足条件. 综上可得,实数 m 的取值范围是(﹣ 故选:B.
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,0)∪(0,

) ,

11.已知椭圆

(a>b>0)上一点 A 关于原点的对称点为点 B,F 为其右焦点,

若 AF⊥BF,设∠ABF=α,且 A. B. C.

,则该椭圆离心率 e 的取值范围为( D.



【考点】椭圆的简单性质. 【分析】首先利用已知条件设出椭圆的左焦点,进一步根据垂直的条件得到长方形,所以: AB=NF,再根据椭圆的定义:|AF|+|AN|=2a,由离心率公式 e=

=



的范围,进一步求出结论.

【解答】解:已知椭圆 右焦点,设左焦点为:N 则:连接 AF,AN,AF,BF 所以:四边形 AFNB 为长方形. 根据椭圆的定义:|AF|+|AN|=2a ∠ABF=α,则:∠ANF=α. 所以:2a=2ccosα+2csinα 利用 e= =

(a>b>0)上一点 A 关于原点的对称点为点 B,F 为其

所以:

则:

即:椭圆离心率 e 的取值范围为[ 故选:A

]

12.已知

,平面区域 D 由所有满足 )

(1≤λ

≤a,1≤μ≤b)的点 P 构成,其面积为 8,则 4a+b 的最小值为( A.13 B.12 C. D. 【考点】平面向量的基本定理及其意义.

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【分析】先求出 sin∠BAC=

= ,上平面区域 D 的面积 S=2(a﹣1)×2(b﹣

1)×sin∠BAC=2[ab﹣(a+b)+1]=8,得到 ab﹣(a+b)=3,由此能求出 4a+b 的最小值. 【解答】解:∵ ,

∴cos∠BAC=

=

=



∴sin∠BAC=

= ,

设 P(x,y) , ∵平面区域 D 由所有满足 (1≤λ≤a,1≤μ≤b)的点 P 构成, ∴平面区域 D 的面积 S=2(a﹣1)×2(b﹣1)×sin∠BAC=2[ab﹣(a+b)+1]=8, ∴ab﹣(a+b)=3, ∴ ,解得 a+b≥6 或 a+b≤﹣2(舍) ,

∴ab=3+(a+b)≥9,∴4ab≥36, 4a+b =12. 故 4a+b 的最小值为 12. 故选:B. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.过抛物线 y2=8x 的焦点 F 作倾斜角为 135°的直线交抛物线于 A、B 两点,则弦长 AB 的 长为 16 . 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】求得抛物线的焦点,设出直线 AB 的方程,代入抛物线的方程,运用韦达定理和抛 物线的定义,即可得到所求值. 【解答】解:抛物线 y2=8x 的焦点 F 为(2,0) , 设直线 AB 的方程为 y﹣0=﹣(x﹣2) , y=2 x 即为 ﹣ ,代入抛物线的方程,可得 x2﹣12x+4=0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2=12, 由抛物线的定义可得, |AB|=x1+x2+p=12+4=16. 故答案为:16. 14.如图所示,由若干个点组成形如三角形的图形,每条边(包括两个端点)有 n(n>1, n∈N)个点,每个图形总的点数记为 an,则 a6= 15 ; + +

+…+

=



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【考点】归纳推理. 【分析】根据图象的规律可得出通项公式 an,根据数列的特点可用列项法求其前 n 项和的 公式,而 + + +…+ 是前 2011 项的和,代入前 n 项和公式即可

得到答案. 【解答】解:每个边有 n 个点,把每个边的点数相加得 3n,这样角上的点数被重复计算了 一次,故第 n 个图形的点数为 3n﹣3,即 an=3n﹣3,∴a6=15; 令 Sn= +…+ + ﹣ + = . +…+ = + +… + =1﹣ + ﹣

故答案为:15,

15.设非直角△ABC 的内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,则下列结论正确的是 ①②⑤ (写出所有正确结论的编号) . ①“sinA>sinB”是“a>b”的充分必要条件; ②“cosA<cosB”是“a>b”的充分必要条件; ③“tanA>tanB 是“a>b”的充分必要条件; ④“sin2A>sin2B”是“a>b”的充分必要条件; ⑤“cos2A<cos2B”是“a>b”的充分必要条件. 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】①根据正弦定理判断,②利用函数 y=cosx 在(0,π)上单调递减得 A>B,结合 三角形的边角关系判断即可. ③特殊值判断:如 A 为锐角,B 为钝角,④如 A=45°,B=60°时不符合, ⑤利用二倍角公式得 sin2A>sin2B,再结合正弦定理判断即可. 【解答】解:由①sinA>sinB,利用正弦定理得 a=2rsinA,b=2rsinB,故 sinA>sinB, 等价于 a>b,①正确; 由②cosA<cosB,利用函数 y=cosx 在(0,π)上单调递减得 A>B,等价于 a>b,②正确; 由③tanA>tanB,不能推出 a>b,如 A 为锐角,B 为钝角,虽然有 tanA>tanB,但由大角 对大边得 a<b,③错误; 由④sin2A>sin2B,不能推出 a>b,如 A=45°,B=60°时,虽然有 sin2A>sin2B,但由大角 对大边得 a<b,④错误; 由⑤cos2A<cos2B,利用二倍角公式得 sin2A>sin2B,∴sinA>sinB,故等价于 a>b,⑤ 正确. 故答案为:①②⑤ 16.已知圆 O1: (x﹣2)2+y2=16 和圆 O2:x2+y2=r2(0<r<2) ,动圆 M 与圆 O1、圆 O2 都 e2 相切, 切圆圆心 M 的轨迹为两个椭圆, 这两个椭圆的离心率分别为 e1, (e1>e2) , 则 e1+2e2 的最小值是 .

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】讨论:①当动圆 M 与圆 O1、O2 都相内切时,②当动圆 M 与圆 O1 相内切而与 O2 相外切时,分别求出 e1、e2(e1>e2) ,利用基本不等式求出 e1+2e2 的最小值.
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【解答】解:①当动圆 M 与圆 O1、O2 都相内切时, |MO2|+|MO1|=4﹣r=2a, ∴e1= .

②当动圆 M 与圆 O1 相内切而与 O2 相外切时, |MO1|+|MO2|=4+r=2a′, ∴e2= ∴e1+2e2= ,

+

=



令 12﹣r=t(10<t<12) ,e1+2e2=2× = 故答案为: = . .

≥2×

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知函数 f(x)=2cosx(sinx﹣cosx)+m(m∈R) ,将 y=f(x)的图象向左平移 单位后得到 y=g(x)的图象,且 y=g(x)在区间 (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 ABC 的周长 l 的取值范围. 【考点】余弦定理. 【分析】 (Ⅰ)先利用两角和公式和对函数解析式化简整理,根据图象的平移确定 g(x)的 解析式,根据 x 的范围和三角函数的图象与性质确定 g(x)的最大值的解析式,求得 m. (Ⅱ)根据第一问中函数的解析式确定 B 的值,进而利用余弦定理和基本不等式确定 b 的 范围,最后确定周长的范围. 【解答】解: (Ⅰ)由题设得 ∴ 因为当 所以由已知得 所以 m=1; (Ⅱ)由已知 ,
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内的最大值为



,且 a+c=2,求△

, ,

时, ,即 时,

, ,

因为三角形中 所以 所以 ,即

, , ,

又因为 a+c=2,由余弦定理得: , 当且仅当 a=c=1 时等号成立, 又∵b<a+c=2,∴1≤b<2, 所以△ABC 的周长 l=a+b+c∈[3,4) , 故△ABC 的周长 l 的取值范围是[3,4) . 18.已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是菱形,∠ABC=60°,AB=PC=2, (1)求证:平面 PAD⊥平面 ABCD; (2)求二面角 A﹣PC﹣B 的余弦值. .

【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定. 【分析】 (Ⅰ)根据面面垂直的判定定理进行证明即可. AP 为 z 轴, (2) 建立空间直角坐标系, 求出平面的法向量利用向量法即可求二面角 A﹣PC ﹣B 的余弦值. 【解答】 (Ⅰ)证明:取 AD 中点 O,连结 PO、CO, PA=PD= ∵ ,AB=2,∴△PAD 为等腰直角三角形, ∴PO=1,PO⊥AD, ∵AB=BC=2,∠ABC=60°,∴△ABC 为等边三角形, ∴ ,又 PC=2, 2 ∴PO +CO2=PC2,∴PO⊥CO, 又 AB∩CO=O,AB? 平面 ABCD,CO? 平面 ABCD, ∴PO⊥平面 ACD,又 PO? 平面 PAB, ∴平面 PAB⊥平面 ABCD. (2)建立以 O 为坐标原点,OC,OD,OP 分别为 x,y,z 轴的空间直角坐标系如图: 则 A(0,﹣1,0) ,C( ,0,0) ,P(0,0,1) ,B( ,﹣2,0) , APC = x y z 设平面 的法向量 ( , , ) , 由 ,令 z= ,则 x=1,y=﹣ .即 =(1,﹣ , )

设平面 PCB 的法向量 =(x,y,z) ,
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由 令 z=

, ,则 x=1,y=0,即 =(1,0, = , )

cos< , >=

∵二面角 A﹣PC﹣B 的是锐二面角, ∴二面角 A﹣PC﹣B 的余弦值是 .

19.已知数列{an}中, . (1)试证明{2n?an}是等差数列,并求{an}的通项公式; (2)设{an}的前 n 项和为 Sn,求 Sn. 【考点】数列的求和;等差数列的通项公式. 【分析】 (1) 由于

的对称轴为

的对称轴为

. 可

得 an≠0, (2)由(1)可得:an= 【解答】 (1) 证明: ∵

= ,化简整理即可证明.

.利用“错位相减法”与等比数列的前 n 项和公式即可得出. 的对称轴为 = ,化为:2n+1an+1﹣2nan=2, .

∴an≠0,

∴{2n?an}是等差数列,首项为 2,公差为 2. ∴2nan=2+2(n﹣1)=2n. (2)解:由(1)可得:an= .

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∴Sn=1+ + =

+…+



+…+

+





=1+ +

+…+



=



=2﹣



∴Sn=4﹣



20.已知 D 为圆 O:x2+y2=8 上的动点,过点 D 向 x 轴作垂线 DN,垂足为 N,T 在线段 DN 上且满足 . (1)求动点 T 的轨迹方程; (2)若 M 是直线 l:x=﹣4 上的任意一点,以 OM 为直径的圆 K 与圆 O 相交于 P,Q 两点, 求证:直线 PQ 必过定点 E,并求出点 E 的坐标; (3)若(2)中直线 PQ 与动点 T 的轨迹交于 G,H 两点,且 ,求此时弦 PQ 的长 度. 【考点】直线和圆的方程的应用. 【分析】 (1)利用代入法,求动点 T 的轨迹方程; (2)设 M(﹣4,m) ,则圆 K 方程为 x(x+4)+y(y﹣m)=0 与圆 O:x2+y2=8 联立消去 x2,y2 得 PQ 的方程为 4x﹣my+8=0,能够证明直线 PQ 必过定点 E,并求出点 E 的坐标; (3)设 G(x1,y1) ,H(x2,y2) ,则 ,①,知(x1+2,y1)=3(﹣2﹣x2,

﹣y2) ,结合向量求出 PQ 的方程,由此入手能够求出弦 PQ 的长. 【解答】解: (1)设 T(x,y) ,则|DN|= |TN|, 2 2 ∵D 为圆 O:x +y =8 上的动点, ∴x2+( y)2=8, ∵|DN|≠0,∴y≠0, ∴动点 T 的轨迹方程为 =1;

(2)设 M(﹣4,m) ,则圆 K 方程为 x(x+4)+y(y﹣m)=0 2 2 与圆 O:x +y =8 联立消去 x2,y2 得 PQ 的方程为 4x﹣my+8=0, 令 y=0,可得 x=﹣2,得直线 PQ 过定点 E(﹣2,0) . (3)设 G(x1,y1) ,H(x2,y2) ,则 ∵ ,①

,∴(x1+2,y1)=3(﹣2﹣x2,﹣y2) ,即:x1=﹣8﹣3x2,y1=﹣3y2,

代入①解得:x2=﹣ ,y2=± (舍去正值) ,∴kPQ=1,所以 PQ:x﹣y+2=0, 从而圆心 O(0,0)到直线 PQ 的距离 d= ,

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∴PQ=2

=2



21.已知函数 f(x)=lnx+x2. (Ⅰ)若函数 g(x)=f(x)﹣ax 在其定义域内为增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 a>1,h(x)=e3x﹣3aexx∈[0,ln2],求 h(x)的极小值; (Ⅲ)设 F(x)=2f(x)﹣3x2﹣kx(k∈R) ,若函数 F(x)存在两个零点 m,n(0<m<n) , 且 2x0=m+n.问:函数 F(x)在点(x0,F(x0) )处的切线能否平行于 x 轴?若能,求出 该切线方程;若不能,请说明理由. 【考点】函数的单调性与导数的关系;利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点 切线方程. 【分析】 (Ⅰ)先根据题意写出:g(x)再求导数,由题意知,g′(x)≥0,x∈(0,+∞) 恒成立,即 由此即可求得实数 a 的取值范围;

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,利用换元法令 t=ex,则 t∈[1,2],则 h(t)=t3﹣3at,接 下来利用导数研究此函数的单调性,从而得出 h(x)的极小值; (Ⅲ)对于能否问题,可先假设能,即设 F(x)在(x0,F(x0) )的切线平行于 x 轴,其 中 F(x)=2lnx﹣x2﹣kx 结合题意,列出方程组,证得函数 上单调递增,最后出现矛盾,说明假设不成立,即切线不能否平行于 x 轴. 【解答】解: (Ⅰ)g(x)=f(x)﹣ax=lnx+x2﹣ax, 由题意知,g′(x)≥0,对任意的 x∈(0,+∞)恒成立,即 又∵x>0, ∴ (Ⅱ)由(Ⅰ)知, h(t)=t3﹣3at, 由 h′(t)=0,得 ∵ 若 递增 ∴当 ,∴ ,则 h′(t)<0,h(t)单调递减;若 ,则 h′(t)>0,h(t)单调 或 (舍去) , ,当且仅当 ,可得 ,令 t=ex,则 t∈[1,2],则 时等号成立 在(0,1)

时,h(t)取得极小值,极小值为 (Ⅲ)设 F(x)在(x0,F(x0) )的切线平行于 x 轴,其中 F(x)=2lnx﹣x2﹣kx

结合题意,有

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①﹣②得

所以

,由④得

所以

设 设

,⑤式变为 ,

所以函数

在(0,1)上单调递增,

因此,y<y|u=1=0,即

,也就是

此式与⑤矛盾

所以 F(x)在(x0,F(x0) )的切线不能平行于 x 轴 请考生从第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.如图:已知圆上的弧 ,过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点,证明: (Ⅰ)∠ACE=∠BCD. (Ⅱ)BC2=BE?CD.

【考点】圆的切线的判定定理的证明;弦切角. ”,得∠BCD=∠ABC.再根据 EC 是圆的切线,得 【分析】 (I)先根据题中条件:“ 到∠ACE=∠ABC,从而即可得出结论. (II)欲证 BC2=BE x CD.即证 .故只须证明△BDC~△ECB 即可.

【解答】解: (Ⅰ)因为 , BCD= ABC 所以∠ ∠ . 又因为 EC 与圆相切于点 C, 故∠ACE=∠ABC 所以∠ACE=∠BCD. (Ⅱ)因为∠ECB=∠CDB,∠EBC=∠BCD,
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所以△BDC~△ECB, 故 .

即 BC2=BE×CD. 23.已知关于 x 的不等式|x+a|<b 的解集为{x|2<x<4} (Ⅰ)求实数 a,b 的值; (Ⅱ)求 + 的最大值. 【考点】不等关系与不等式. 【分析】 (Ⅰ)由不等式的解集可得 ab 的方程组,解方程组可得; (Ⅱ)原式= + = + ,由柯西不等式可得最大值.

【解答】解: (Ⅰ)关于 x 的不等式|x+a|<b 可化为﹣b﹣a<x<b﹣a, 又∵原不等式的解集为{x|2<x<4}, ∴ ,解方程组可得 ;

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 = =2 + ≤

+

=

+

=4,

当且仅当

=

即 t=1 时取等号,

∴所求最大值为 4 24.选修 4~4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数)在极坐标系(与直

角坐标系 xOy 取相同的长度单位.且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的 方程为 ρ=6sinθ. (I)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B.若点 P 的坐标为(1,2) ,求|PA|+|PB|的最小值. 【考点】参数方程化成普通方程;两点间的距离公式;圆的标准方程. 【分析】 (I)利用 x=ρcosθ,y=ρsinθ 可将圆 C 极坐标方程化为直角坐标方程; (II)先根据(I)得出圆 C 的普通方程,再根据直线与交与交于 A,B 两点,可以把直线 与曲线联立方程,用根与系数关系结合直线参数方程的几何意义,表示出|PA|+|PB|,最后 根据三角函数的性质,即可得到求解最小值. 【解答】解: (Ⅰ)由 ρ=6sinθ 得 ρ2=6ρsinθ,化为直角坐标方程为 x2+y2=6y,即 x2+(y﹣3) 2 =9. (Ⅱ)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 t2+2(cosα﹣sinα)t﹣7=0. 由△=(2cosα﹣2sinα)2+4×7>0,故可设 t1,t2 是上述方程的两根,
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所以 故结合 t 的几何意义得 |PA|+|PB|=

又直线 l 过点(1,2) ,

= 所以|PA|+|PB|的最小值为 .



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2016 年 8 月 1 日

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