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【志鸿优化设计】(浙江版)2016高考数学二轮复习 第三部分 3.3解答题技法指导课件

时间:2016-01-29


第 3 讲

解答题技法指导

-2高考能力解读

高考解答题一般有五大方向:三角变换与解三角形、数列、立体几何、解析几

何、二次函数与不等式.一般来说,前两题属于中、低档题,第三题属中档偏难题,
后两题属难题.三角变换与解三角形、数列、立体几何在前三题中出现的概率较 高,掌握解这几类题的方法是大多数学生成功的关键.目前的高考解答题已经由单

纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题.能否做好解答题是高
考成败的关键.

-3命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五

三角变换与解三角形问题
从近几年的高考试题来看,正弦定理、余弦定理是高考的热点,主要考查利用正 弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题,常与同角三角函数的关系、 诱导公式、和差角公式,甚至三角函数的图象和性质等交会命题,多以解答题的形 式出现,属解答题中的低档题.利用正弦定理与余弦定理解题,经常利用转化思想, 一个是边转化为角,另一个是角转化为边.具体情况应根据题目给定的表达式进行 确定,不管哪个途径,最终转化为角的统一或边的统一,也是我们利用正余弦定理化 简式子的最终目的.

-4命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五

例1在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2bcos C=2a-c.
(1)求角B的大小; (2)若a+c=13,△ABC的面积为10,求a,b,c. 解:(1)由已知可得2b· =2a-c, 化简得b2=a2+c2-ac=a2+c2-2ac· cos B, 从而可得cos B=,B=. (2)由题意可知accos B=10,故有ac=40,

a+c=13,解得
因此b2=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=169-120=49.故b=7.

-5命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五

迁移训练1(2015山东,文17)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos B=,sin(A+B)=,ac=2,求sin A和c的值. 解:在△ABC中,由cos B=,得sin B=,

因为A+B+C=π,所以sin C=sin(A+B)=.因为sin C<sin B,所以C<B,可知C为锐角,所以
cos C=.因此sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=.

由,可得a==2c,
又ac=2,所以c=1.

-6命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五

数列问题
高考中数列解答题的求解主要有以下几个特点: (1)与等差、等比数列基本量有关的计算,可根据题意列方程(方程组)或利用等 差、等比数列的性质求解; (2)与求和有关的题目,首先要求通项公式,并根据通项公式选择恰当的求和方 法(如错位相减法、裂项相消法、分组求和法等);

(3)含Sn的式子,要根据题目特征利用an=进行转化;
(4)与递推数列有关的问题,要能合理转化,使之构造出新的等差、等比数列.

-7命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五

例2(2015安徽,文18)已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.
(1)求数列{an}的通项公式; (2)设Sn为数列{an}的前n项和,bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.

-8命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五

解:(1)由题设知a1· a4=a2· a3=8, 又a1+a4=9,可解得(舍去). 由a4=a1q3得公比q=2,故an=a1qn-1=2n-1. (2)Sn==2n-1,

又 b n =,
所以Tn=b1+b2+…+bn=+…+=1-.

-9命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五

迁移训练2(2015浙江绍兴模拟,文17)设等差数列{an}的前n项和为 Sn,已知 a6=S3=6. (1)求an和Sn; (2)数列{bn}满足bn=若b1,b2,b5成等比数列,求实数λ的值.

解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则解得所以an=n,Sn=. (2)由bn=得b1=1,b2=S3-λS1=6-λ,b5=45-28λ. 因为b1,b2,b5成等比数列,所以=b1b5, 即λ2+16λ-9=0,故λ=-8±.

-10命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五

立体几何问题
立体几何是高中数学的主干知识之一,命题形式比较稳定,主要考查:

(1)空间线面关系的判定和推理证明:主要是证明平行和垂直,求解这类问题要
依据线面关系的判定定理和性质定理进行推理论证; (2)空间角的计算:尤其以线面角为重点,求解这类问题,常用方法是依据公理、 定理以及性质等经过推理论证,作出所求几何量并求之.一般解题步骤是“作、证、 求”.

-11命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五

例3

(2015浙江东阳5月模拟考试,文19)如图,在三棱锥P-ABC中,△PAB和△ABC都

是以AB为斜边的等腰直角三角形,若AB=2PC=,D是PC的中点.
(1)证明:AB⊥PC; (2)求AD与平面ABC所成角的正弦值.

-12命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五

(1)证明:如图,取AB中点E,

∵△PAB,△ABC都是以AB为斜边的等腰直角三角形,∴CE⊥AB,PE⊥AB.
又CE∩PE=E,且CE,PE?平面PEC,

∴AB⊥平面PEC. ∵PC?平面PEC, ∴AB⊥PC.

-13命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五

(2)解:∵PE=CE=,

∴△PEC为正三角形.
取CE中点O,连接PO,则PO⊥CE,由(1)可得PO⊥AB,
又CE∩AB=E,且CE,AB?平面ABC,

∴PO⊥平面ABC.
过D作DH平行PO,则DH⊥平面ABC,连接AH,则∠DAH为所求角.
在Rt△ADH中,DH=PO=,AD=,sin∠DAH=,

∴AD与平面ABC所成角的正弦值为.

-14命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五

迁移训练3

已知四棱锥PABCD,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,AB=BC=PC=PD=1,∠APD=90°. (1)求证:AC⊥平面PCD; (2)证明 求CD 与平面 APD所成角的正弦值 .AC=,又AD∥BC,AD=2,所以CD=.所以 (1) :因为 AB=BC= 1,AB⊥BC,所以 PC⊥PD.

又AP⊥PD,故PD⊥平面PAC.所以PD⊥AC.
又AC2+CD2=AD2,所以AC⊥CD. 故AC⊥平面PCD.

-15命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五

解:因为PD⊥平面PAC,所以平面PAC⊥平面PAD.

作CN垂直于AP于点N,则CN⊥平面PAD.

连接DN,则∠CDN即为CD与平面PAD所成角.
由(1)知AC⊥平面PCD,得AC⊥PC, 所以在Rt△APC中,得CN=,

所以sin∠CDN=.
所以CD与平面APD所成角的正弦值为.

-16命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五

解析几何问题
解析几何解答题主要考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及其几何性质等基 础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法,往往以中档偏难题或以压轴题形 式出现,主要考查学生的逻辑推理能力、运算能力,考查学生综合运用数学知识解 决问题的能力.突破解答题,应重点研究直线与曲线的位置关系,要充分运用一元二 次方程根的判别式和韦达定理,注意运用“设而不求”的思想方法,灵活运用“点差 法”等来解题,要善于运用数形结合思想分析问题,使数与形相互转化,并根据具体 特征选择相应方法.

-17命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五

例4已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为.
设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.
(1)求抛物线C的方程; (2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;

(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|· |BF|的最小值.

-18命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五

解:(1)依题意d=,解得c=1(负根舍去).∴抛物线C的方程为x2=4y. (2)设点A(x1,y1),B(x2,y2).由x2=4y,即y=x2,得y'=x.

∴抛物线C在点A处的切线PA的方程为y-y1=(x-x1),即y=x+y1-.
∵y1=,∴y=x-y1. ∵点P(x0,y0)在切线PA上,∴y0=x0-y1.①
同理,y0=x0-y2.②
综合①,②得,点A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标都满足方程y0=x0-y.

∵经过A(x1,y1),B(x2,y2)两点的直线是唯一的, ∴直线AB的方程为y0=x0-y,即x0x-2y-2y0=0.

-19命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五

(3)由抛物线的定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,

∴|AF|· |BF|=(y1+1)(y2+1)=y1+y2+y1y2+1.
联立消去x得y2+(2y0-)y+=0,

∴y1+y2=-2y0,y1y2=.

∵点P(x0,y0)在直线l上,
∴x0-y0-2=0. ∴|AF|· |BF|=-2y0++1=-2y0+(y0+2)2+1=2+2y0+5=2.

∴当y0=-时,|AF|· |BF|取得最小值.

-20命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五

迁移训练4

过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0)作直线交C于A,B两点,M为x轴上一点,直
线AM与C有且仅有一个公共点,直线BM与C交于另一点N,AM⊥AN. (1)求抛物线C的方程;

(2)求点A的坐标.
解:(1)因为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),所以p=2,故抛物线C的方程为 y2=4x.

-21命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五

(2)设A(x1,y1),直线AM的方程为y=k(x-x1)+y1,代入y2=4x,得ky2-4y-4kx1+4y1=0.因
为直线AM与抛物线C有且仅有一个公共点,所以Δ=16+16k2x1-16ky1=16=0,得k=. 所以直线AM的方程为y=(x-x1)+y1,且M.

设B,N.
因为AN⊥AM,所以kAN==-,得y3=-. 因为A,B,F共线,所以kAF=kBF,即,得y2=. 因为M,B,N共线,所以kBM=kBN, 即,即y2y3=.代入化简得-4-32=0, 解得=8,所以A点的坐标为(2,±).

-22命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五

以二次函数为背景的函数问题
函数是高考解答题的重要命题点,函数解答题体现了知识交会和数学思想方法 的多重渗透,往往体现了高考试题的选拔功能.函数解答题除以基本初等函数及其 由它们产生的函数为载体,考查对函数性质的全面研究,如定义域、值域、单调性、 奇偶性、周期性、对称性等,还常与函数图象一起考查数形结合能力.函数解答题 还可与方程、不等式、数列、解析几何等相联系,体现了综合性和广泛性.

-23命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五

例5已知a,b为常数,a≠0,函数f(x)=ax2+bx(x∈R),f(2)=0且方程f(x)=x有等根.
(1)求f(x)的解析式及值域. (2)设集合A={x|f(x)+k>0},B={x|-2≤x≤3},若A?B,求实数k的取值范围. (3)是否存在实数m,n(m<n),使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n]?若存 在,求出m,n的值;若不存在,说明理由. 解:(1)∵f(x)=ax2+bx,且f(2)=0,∴4a+2b=0. 又方程f(x)=x,即ax2+bx=x,即ax2+(b-1)x=0有等根,

∴Δ=(b-1)2-4×a×0=0,即b=1,从而a=-, ∴f(x)=-x2+x.f(x)=-x2+x=-(x-1)2+,值域为.

-24命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五

(2)A=, 由A?B,

①当A=?时,A?B,此时Δ'=1-4k≤0,解得k≤-. ②当A≠?时,设g(x)=-x2+x+k,对称轴x=1,要A?B,
只需解得

∴-<k≤.
综合①②,得k≤.

-25命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五

(3)∵f(x)≤,

∴有2n≤,n≤.
又对称轴x=1,∴f(x)在[m,n]上是增函数,

∴解得m=-2,n=0. ∴存在m=-2,n=0使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n].

-26命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五

迁移训练5(2015浙江诸暨质检,文20)已知函数f(x)=x2+bx+c,g(x)=f(x)-x.

(1)记函数f(x)在区间[1,2]内的最大值为M,最小值为m,求M-m的最小值与此时对
应的b的值; (2)若g(0)>0,g(1)>0,g<0,且函数f(x)有两个不同零点,求证:f(x)的零点必在区间内 .

命题热点一

命题热点二

命题热点三

命题热点四

命题热点五

(1)解:当c=0时,f(x)=x2+bx.

①当-≥2,即b≤-4时,M-m=f(1)-f(2)=-3-b≥1. ②当-≤1,即b≥-2时,M-m=f(2)-f(1)=b+3≥1. ③当1<-<2,即-4<b<-2时,
M-m=max

=max
=max. 当b=-3时,M-m有最小值.

命题热点一

命题热点二

命题热点三

命题热点四

命题热点五

(2)证明:由g(0)>0,g(1)>0,g<0,得

f+c>+c+c->0,f(0)=c>0, ->c->-,②-③,得>-,-.
方法一:设g(x)的两个零点为α,β,0<α<<β<1.则f(x)=x2+(1-α-β)x+2β.
由Δ>0得2(α+β)<1+(α-β)2<2,α+β<1.所以-<0,f(x)的零点在区间内. 方法二:当x∈时,f(x)=x2+bx+c=x2+bx+cx+c(1-x)>0,

即f(x)在区间内没有零点,所以f(x)的零点在区间内.


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