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12、数学百题练、平面向量(培优篇)

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掌门 1 对 1 教育 高中数学

数学百题练
———— 平面向量(培优篇)

适用学员: ? 考试成绩在 100—120 分 ? 新课标地区主要河南、河北、山东、内蒙古及东北三省 ? 练习平面向量选择和填空的困难小题 ? 主要练习平面向量坐标运算、数量积运算及向量基本定理

一、单选题(注释) 1、已知 A. 是两个非零向量,且 B. C. ,则 的夹角为( ) D. ,则 等于( ). D. (-6 , 3) ,则 与 D. 的值为( ) 的夹角是

2、若平面向量 =(1 , -2)与 的夹角是 180? ,且| |=3 A.(-3 , 6) 3、已知 、 A. 4、 .若向量 A. 满足 B.(3 , -6) 是非零向量且满足( -2 B. C.(6 , -3) ) ⊥ ,( C.

-2 ) ⊥

, 与 的夹角为 600,则 B. C.

D.2 ,则 m 的

5、已知 A、B、C 三点共线,O 是该直线外的一点,且满足 值为( ) A.1 B.2 6、

C.

D. ,则、B、C 三点共线的充

是不共线的向量,若

要条件是 A.

B.

C.

D. ,向量 的夹角为

7、 、如右图所示,D 是△ ABC 的边 AB 的中点, 120? ,则 A C 12 8、 .设 是 的面积为 A. B. C. D 所在平面上一点,且满足 等于( ) B 24

,若

的面积为 ,则

D. ( )

9、若 =(2,1), =(3,4),则向量 在向量 方向上的投影为

A.

B.2

C.

D.10、

10、已知,A(2,3) ,B(-4,5) ,则与 A.

共线的单位向量是( ) B.

C. 11、 已知 A.锐角三角形 12、已知向量 = A. 13、已知 A. B. =(sin ,cos , 如果对一切实数 B.钝角三角形 , = B.

D. , 则 C.直角三角形 一定为 ( )

D.与 的值有关

,若 ⊥ ,则| |=( ) C. ,若 C. ) ,且 ∥ C. ,则 C. ,则 tan ,则 D. 的夹角为( ) D. 等于 D.的最小值为( ) D.

14、已知向量 =(3,4) , A. 15、设 , A. 16、已知 | p | = 2 线长为 A.5 17、 A. B. 为平面向量,已知 B. B.-

, 均为单位向量,且 B.

,| q | = 3,p, q 夹角为

,则以 p、q 为邻边的平行四边形的一条对角

C.14 ,则 C. ,过 , 且

D. 的值为( ) D. 任作直线 交抛物线于 , 则数列 , 两

18、对正整数 ,有抛物线 点, 设数列 中,

的前 项

和 A.

( ) B. C. D.

19、已知向量 a=( , (A)8 20、设 A. 21、已知向量 为( ) A. 22、如图,半圆的直径 半径 上的动点,则 B. (B)4 , B.

, ) ,b=( ,1,2) ,其中 x>0.若 a∥b,则 x 的值为 (C)2 (D)0 ,且 C. 且 ,则锐角 为 ( ) D. ∥ ,则 的最小值为

,向量

C. , 为圆心, 为半圆上不同于

D. 的任意一点,若 为

的最小值等于

A. 23、定义域为 上任意一点,其中 式

B. 的函数

C. 图像的两个端点为 .已知向量 在 、 ,

D. 是 图象 ,若不等 在

恒成立,则称函数

上“ 阶线性近似”.若函数

上“ 阶线性近似”,则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D.

24、已知向量 A. 25、若非零向量

, B.4 满足

,若 C. ,则

,则 的值为(

) D.

A. C.

B. D.

26、设向量 A.

满足 B.

,

,则 C. ,且 D 为 BC , 边 的 D. ,在 中 ABC 中 , 点 , 则

27 、 已 知 向 量

的夹角为 ,

( ) A.1 B.2 C .3 D.4 ( )

28、如图 1 所示,D 是△ ABC 的边 AB 上的中点,则向量

A. C.

B. D.

29、对于向量 ① ③ 且 且

及实数 ; 唯一; ② ④

,给出下列四个条件:

其中能使 与 共线的是 A.①② 30、已知向量 A. B.②④ , B. C.①③ D.③④ ,则 = ( )

是不平行于 轴的单位向量,且 C.

D.

二、填空题(注释) 31、已知点 ,直线 ,点 是直线 上的一点。若 ,则点 的

轨迹方程为_________ 32、已知向量 33 、如图,在 ,若 中, 、 分别为边 , 。若 、 ,则 与 ,共线,则 = 的中点 . 的值为 为边 . .

上的点,且

34 、 已 知 动 点

在椭圆

上,若

,点

满足

,且

,则

的最小值是

。 ,如果 为正 的纵坐标(用 表示)为 。

35、在直角坐标平面内,已知点到 偶数,则向量 36 、 .如图,

,点 P 在线段 AB 的垂直平分线上,记向量 的值为 .

37、已知向量



,则

=_____________________.

38、已知 39、已知非零向量 、

.若 、 、

,则 与 夹角的大小为 满足: =? +? +g

. (?,?,g?R) ,

B、C、D 为不共线三点,给出下列命题: ①若?= ,?= ,g???,则 A、B、C、D 四点在同一平面上; |+| |+| |=1,< , >=< , >= ,< , >= ,则

②若?=?=g??,? | |=2;

③已知正项等差数列{an}(n? 不在直线 BC 上,则

?,若??a2,?=a2009,g??,且 A、B、C 三点共线,但 O 点 的最小值为 10;

④若?= 40、

,?=? ,g??,则 A、B、C 三点共线且 A 分 , ,则

所成的比?一定为?4 范围为 .

41、已知|a|=4,|b|=8,a 与 b 的夹角为 120° ,则|2a-b|= 42、设 43、 已知点 于点 ,则 是单位向量,且 为等边三角形 的最大值为 ,则 的中心, . ,且 与 夹角为 ,则 + 的值为 . 交边

,直线 过点

于点

, 交边

44、若向量 , 满足



=

. . 的值

45、 已知a= (0,1) , b= (1, 1) , c= (0, -1) , 若 c=ma+nb, 则实数m= 46 、 已 知 是 . 的夹角为 , ,则 ,且 ,则实数

47、若向量

48、已知点 D 为 49、已知 若 + ="1" , 则

ABC 的 BC 边的中点,若 、 , 点坐标满足的方程是 满足 . = + (O 是坐标原点),

50、已知 (1)求证: (2)若 与 与 互相垂直; 大小相等,求

,其中

.

.

51、在

中, ,现定义

,设 .

,

,

(Ⅰ)向量

是否一定共线?为什么? 的最大值与最小值.

(Ⅱ)试分别求函数

52、已知:如图,两个长度为 1 的平面向量

,它们的夹角为

,点 C 是以 O 为

圆心的劣弧

的中点. 求: (1)

的值; (2)求

的值.

53、已知点 线 外一点 向曲线

,曲线 引切线

上的动点 ,切点为

满足 ,且满足

,定点 .

,由曲

(1)求线段 (2)若以

长的最小值; 为圆心所作的圆 与曲线 有公共点,试求半径取最小值时圆 的标准方程.

54、 (本小题满分 14 分) 已知向量 存在向量 ;如果不存在,请说明理由. 与向量 , 使得 的对应关系可用 表示.试问是否

成立 ? 如果存在 , 求出向量

55、设两个非零向量 、 不共线 (1)若 (2)试确定实数 k 的值,使 和 ,求证:A、B、D 三点共线; 共线.

56 、 :已知点列 . (1)若 (2)已知点 B ,记

满足:

,其中

,又已知



,求

的表达式; ,且 成立,试求 a 的取值范围; 。

(3)设(2)中的数列

的前 n 项和为

,试求:

57、已知平行四边形 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E,O 是任意一点,

求证:

+

+

+

=4

58. 在平面直角坐标系中,已知 ,其中 (1)若 ( 2 )若点 , 是过点 ,

为坐标原点,点 且 .设

的坐标为 .

,点

的坐标为

,求方程 且法向量为

在区间

内的解集; 时,设函数 恒成立, 求实数

的直线 上的动点 . 当 的解集为集合 . 若

的值域为集合 的最大值;

, 不等式

(3)根据本题条件我们可以知道,函数 时,试写出一个条件,使得函数

的性质取决于变量 、 和 对称,且在

的值. 当 处 取

满足“图像关于点

得最小值”. (说明: 请写出你的分析过程.本小题将根据你对问题探究的完整性和在研究过程 中所体现的思维层次,给予不同的评分.)

59、已知 设函数 (Ⅰ)求函数 的的值域;

其中

,

(Ⅱ)若

=8,求函数

的值.

试卷答案
1.A 2.A 3.B 4.B 5.A 6.C 7.B 8.C 15.B 16.B 17.C 18.D 19.B 20.D 21.C 28.A 29.C 30.B 31. 36.5/2 41. 46. 32.1 37.2 42. 47. 33. 38. 43. 48.0 . 49. 34. 39.4021 44. 35.略 40. 45.-1. 9.B 10.B 11.C 12.B 22.D 23.D 24.C 25.C 13.C 26.B 14.A 27.A

50.(1)详见解析; (2) 51. (Ⅰ)由 知

,于是 ,从而

所以,向量 ( Ⅱ

一定共线. ) 由 可 求 . 得 ,



知,

.

所以,当

时,

取得最大值 .

注意到

,所以当

时,

取得最小值

.

52.解: (1)

;(2)

.

53.(1)

; (2)

.

54. 解 : 设 存 在 向 量 立, 所以 ………………2 分

,使 得



………………①

……5 分

所以

结合①,得 解①②组成的方程组得, 或

………………② ………8 分

(舍去)

…………11 分

所以

,符合题意,假设成立, …………………………13 分

所以存在向量 55.(1) 先证明 56.:略 57.证明见答案 58.(1)

.

…………………………14 分

共线;(2)k=± 1

(2)

(3)略

59.(1)

(2)


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