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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】第一章 1.2.2(三)

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1.2.2
一、基础过关

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(三)

1. 下列函数不是复合函数的是 1 A.y=-x3- +1 x 1 C.y= ln x 1 2. 函数 y= 的导数是 ?3x-1?2 6 A. ?3x-1?3 6 C.- ?3x-1?3 3. y=ex2-1 的导数是 A.y′=(x2-1)ex2-1 C.y′=(x2-1)ex 4. 函数 y=x2cos 2x 的导数为 A.y′=2xcos 2x-x2sin 2x B.y′=2xcos 2x-2x2sin 2x C.y′=x2cos 2x-2xsin 2x D.y′=2xcos 2x+2x2sin 2x 5.函数 y=(2 011-8x)3 的导数 y′=________. π π 6.曲线 y=cos(2x+ )在 x= 处切线的斜率为________. 6 6 7.函数 y=x(1-ax)2(a>0),且 y′|x=2=5,则实数 a 的值为________. 二、能力提升 8. 已知直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)相切,则 a 的值为 A.1 C.-1 B .2 D.-2 B.y′=2xex2-1 D.y′=ex2-1 6 B. ?3x-1?2 6 D.- ?3x-1?2 π B.y=cos(x+ ) 4 D.y=(2x+3)4

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1 9. 曲线 y=e x 在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 2 9 A. e2 2 C.2e2 10.求下列函数的导数: B.4e2 D.e2

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(1)y=(1+2x2)8; (2)y= 1 ; 1-x2

(3)y=sin 2x-cos 2x; (4)y=cos x2. 11.已知 a>0,f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),l 是曲线 y=f(x)在点 P(0,f(0))处的切线.求切 线 l 的方程. 12.有一把梯子贴靠在笔直的墙上,已知梯子上端下滑的距离 s(单位:m)关于时间 t(单位: 7 s)的函数为 s=s(t)=5- 25-9t2.求函数在 t= s 时的导数,并解释它的实际意义. 15 三、探究与拓展 13.求证:可导的奇函数的导函数是偶函数.

答案
1.A 2.C 3.B 4.B 5.-24(2 011-8x)2 6.-2 7.1 8.B 9.D 10.解 (1)设 y=u8,u=1+2x2, ∴y′=(u8)′(1+2x2)′ =8u7· 4x=8(1+2x2)7· 4x =32x(1+2x2)7. 1 (2)设 y=u- ,u=1-x2, 2 1 则 y′=(u- )′(1-x2)′ 2 1 3 =(- u- )· (-2x) 2 2 3 =x(1-x2)- . 2 (3)y′=(sin 2x-cos 2x)′=(sin 2x)′-(cos 2x)′=2cos 2x+2sin 2x π =2 2sin (2x+ ). 4 (4)设 y=cos u,u=x2, 则 y′=(cos u)′· (x2)′=(-sin u)· 2x =(-sin x2)· 2x=-2xsin x2. 11.解 f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),

f(0)=1. 1 ∴f′(x)=2ax-2+ x+1 = 2ax2+?2a-2?x-1 , x+1

f′(0)=-1, ∴切点 P 的坐标为(0,1),l 的斜率为-1, ∴切线 l 的方程为 x+y-1=0. 12.解 函数 s=5- 25-9t2可以看作函数 s=5- x和 x=25-9t2 的复合函数,其中 x 是 中间变量. 1 1 由导数公式表可得 sx′=- x- , 2 2

xt′=-18t. 故由复合函数求导法则得 st′=sx′· xt′ 1 1 9t =(- x- )· (-18t)= , 2 2 25-9t2 7 将 t= 代入 s′(t), 15 7 得 s′( )=0.875 (m/s). 15 它表示当 t= 7 s 时,梯子上端下滑的速度为 0.875 m/s. 15

13. 证明 设 y=f(x)是奇函数, 即 f(-x)=-f(x), 两边对 x 求导, 得 f′(-x)· (-x)′=-f′(x), 即-f′(-x)=-f′(x), f′(-x)=f′(x),故原命题成立.


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