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圆锥曲线中的定点和定值问题的解题方法题目

时间:2015-12-17


寒假文科强化(四) :圆锥曲线中的定点和定值问题的解答方法
题型一 :定点问题 法一:特殊探求,一般证明; 法二:设该直线(曲线)上两点的坐标,利用点在直线(曲线)上,建立坐标满足的方程(组) , 求出相应的直线(曲线) ,然后再利用直线(曲线)过定点的知识加以解决。

【变式演练 1】已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值 为 3 ,最小值为 1 . (Ⅰ )求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A , B 两点( A,B 不是左右顶点 ) ,且以 AB 为直径 的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

例 1 设点 A 和 B 是抛物线 y 2 ? 4 px ( p ? 0) 上原点以外的两个动点, 且 OA ? OB ,求证直线 AB 过定点。

A O B

题型二

定值问题 (1)通过考查极端位置,探索出“定值”是多少,然后再进行一般性证明或

解题方法

计算, 即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式, 证明该式是恒定的. 如果试题以客观题形式出现,特殊方法往往比较奏效. (2)进行一般计算推理求出其结果。

例 2:过抛物线 m : y ? ax ( a > 0)的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 P, Q 两点,若线段 PF 与 FQ
2

的长分别为 p, q ,则 p ? q 的值必等于( A. 2 a B.

?1

?1

) . C. 4 a D.

1 2a

4 a

例 3 . B 是经过椭圆

x2 y 2 ? ? 1. (a ? b ? 0) a 2 b2

右焦点的任一弦,若过椭圆中心O的弦 MN

// AB ,求证:

(2)设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于点 P.

| MN |2 : | AB | 是定值

例 4.设

上的两点,已知向量



,若 m·n=0 且椭圆的离心率 (Ⅰ)求椭圆的方程;

短轴长为 2,

为坐标原点.

(Ⅱ)若直线 AB 过椭圆的焦点 F(0,c),(c 为半焦距),求直线 AB 的斜率 k 的值; (Ⅲ)试问:△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.

2.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1 : 2 x ? y ? 1 .
2 2

(1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐进线的平行线,求该直线与另一条渐进线及 x 轴围成的三角形 的面积; 【高考精选传真】[来源:学科网 ZXXK] (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P 、 Q 两点,若 l 与圆 x ? y ? 1 相切,求证: OP ? OQ ;
2 2 2 2 (3)设椭圆 C 2 : 4 x ? y ? 1,若 M 、 N 分别是 C1 、 C 2 上的动点,且 OM ? ON ,求证: O

x2 y 2 1.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c , 0) , a b

到直线 MN 的距离是定值.

? 3? e) 和 ? e , ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. F2 (c , 0) .已知 (1 , ? 2 ? ? ?
(1)求椭圆的方程;

C.-2p2

D. -p2

3、如图,椭圆 E :

1 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 ,右焦点为 F2 ,离心率 e ? 。过 F1 的 2 2 a b

直线交椭圆于 A, B 两点,且 ?ABF2 的周长为 8。 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程。 (Ⅱ)设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ,且与直线 x ? 4 相交于点 Q 。试 探究:在坐标平面内是否存在定点 M ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ?若存在,求出点 M 的 坐标;若不存在,说明理由。

4、过点 M(p,0)任作一条直线交抛物线 y2=2px(p>0)于 P、Q 两点,则 值为 (
A.

+




B. C. D.

5、椭圆 ( A. )

=1(a>b>0)上两点 A、B 与中心 O 的连线互相垂直,则

的值为

B.

C.

D.

6、已知 F1、F2 是两个定点,点 P 是以 F1 和 F2 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点,并且 PF1 ⊥PF2,e1 和 e2 分别是上述椭圆和双曲线的离心率,则有 (
【反馈训练】

) =2

1. 过抛物线 y2=2px(p>0)上一定点 M(x0, y0)(y0≠0), 作两条直线分别交抛物线于 A(x1,

A.

+

=4

B.

+

y1+y2 y1)、B(x2,y2),当 MA 与 MB 的斜率存在且倾斜角互补时,则 y0 等于(
A.-2 C.4 B.2 D.-4
2

C.e12+e22=4

D.e12+e22=2

)
2 MB ? 0 .求 7、已知定点 M ( x0, y0 ) 在抛物线 m : y ? 2 px ( p >0)上,动点 A, B ? m 且 MA?

???? ????

证:弦 AB 必过一定点.

2.设 A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线 y =2px(p>0)上的两点,并且满足 OA⊥OB,则 y1y2 等于( A.-4p2 ) B.-3p2

8、设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 为抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上位于 x 轴两侧的两点.O 为坐标原点. (1)若 y1 y2 ? ?2 p, 证明直线 AB 恒过一个定点; (2)若 OA ? OB ,证明直线 AB 恒过一个 定点。

A

O B


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