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指对数函数综合练习

时间:2015-05-18


指、对数函数综合练习
一、选择题 1.已知 x,y 为正实数,则( A.2lgx
+lgy

) B.2lg(x
+y)

=2lgx+2lgy

=2lgx· 2lgy

lgy C.2lgx· =2lgx+2lgy

D.2lg(xy)=2lgx· 2lgy
+lgy

解析 取特殊值即可.如取 x=10,y=1,2lgx 答案 D

=2,2lg(xy)=2,2lgx+2lgy=3,2lg(x

+y )

lgy =2lg11,2lgx· =1.

2.函数 f(x)=ex+x 在下列哪个区间内有零点( ). A.[-2,-1] B.[-1,0] C.[0,1] D.[1,2] 5. 答案:B - - 解析:由于 f(-2)=6.e 2-2<0,f(-1)=e 1-1<0,f(0)=1+0=1>0,f(1)=e+1>0,f(e)=e2+2>0, 所以仅有 f(-1)· f(0)<0.[来源:学科网] 故在区间[-1,0]上 f(x)存在零点,选 B. 3.设函数 f(x)= log 3 A.(- 1,-log32) C.(log 32,1) 8. 答案:C 解析:∵x∈(1,2),∴

x?2 -a 在区间(1,2)内有零点,则实数 a 的取值范围是( x
B.(0,log32) D.(1,log 34)

).

x?2 x?2 ∈(2,3), log 3 ∈(log32,1), x x
)

故要使函数 f(x)在(1,2)内存在零点,只要 a∈(log32,1)即可.故选 C. 4.已知 f(x)=log3x,则函数 y=f(x+1)在区间[2,8]上的最大值与最小值分别为( A.2 与 1 C .9 与 3 B .3 与 1 D.8 与 3

解析 由 f(x)=log3x,知 f(x+1)=log3(x+1),又 2≤x≤8,∴3≤x+1≤9.故 1≤log3(x+1)≤2. 答案 A
2 2 5.设函数 f(x)=logax(a>0,a≠1).若 f(x1x2…x2014)=8,则 f(x2 1)+f(x2)+…+f(x2014)的值等于(

)

A.4 C.16 解析
2 2 f(x2 1)+f(x2)+…+f(x2014)

B .8 D.2loga8

2 2 =logax2 1+logax2+…+logax2014

=loga(x1x2…x2014)2 =2loga(x1x2…x2014)=2×8=16. 答案 C 6.若 f(x)=log2x 的值域为[-1,1],则函数 f(x)的定义域为( 1 ? A.? ?2,1? 1 ? C.? ?2,2? 1 解析 由-1≤log2x≤1,得 ≤x≤2. 2 答案 C 7.函数 f(x)的图像向右平移 1 个单位长度,所得图像与曲线 y=ex 关于 y 轴对称,则 f(x)=( ) B.[1,2] D.? 2 ? ? 2 , 2? )

A.ex C .e

+1

B.ex D .e


-1

-x+1

-x-1 -

解析 与曲线 y=ex 关于 y 轴对称的曲线为 y=e x,函数 y=e x 的图像向左平移一个单位长度即可得到函数 f(x)的 图像,即 f(x)=e 答案 D 8.若 f(x)=2x+2 xlga 是奇函数,则实数 a=(
- -(x+1)

=e

-x-1

.

) 1 B. 4 1 D. 10

1 A. 3 1 C. 2 解析 ∵f(x)是定义域为 R 的奇函数, ∴f(0)=0,∴20+20· lg a=0, 1 ∴lg a=-1,∴a= . 10 答案 D

9.下列各组函数,在同一直角坐标中,f(x)与 g(x)有相同图像的一组是( 1 1 A.f(x)=(x2) 2 ,g(x)=(x2 )2 x2-9 B.f(x)= ,g(x)=x-3 x+3 1 C.f(x)=(x2 )2,g(x)=2log2x D.f(x)=x,g(x)=lg10x [答案] D

)

[解析] 选项 A 中,f(x)的定义域为 R,g(x)的定义域为[0,+∞);选项 B 中,f(x)的定义域为(-∞,-3)∪(-3, 1 +∞),g(x)的定义域为 R;选项 C 中,f(x)=(x )2=x,x∈[0,+∞),g(x)=2log2x,x∈(0,+∞),定义域和对应关系 2 都不同;选项 D 中,g(x)=lg10x=xlg10=x,故选 D. 10.方程 log2(x+4)=3x 解的个数是( A.0 个 C .2 个 ) B.1 个 D.3 个

[分析] 此类方程是超越方程,只能借助函数图像解决. [答案] C [解析] 在同一坐标系中画出函数 y=log2(x+4)及 y=3x 的图像,如图所示.由图像可知,它们的图像有两个交点, 故选 C.

11.已知 f(x)=log1 (x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是减函数,则实数 a 的取值范围是( 2

)

A.(-4,4) C.(-4,4] [答案] C

B.[-4,4) D.[-4,4]

[解析] 要使 f(x)在[2,+∞)上是减函数,则需 g(x)=x2-ax+3a 在[2,+∞)上递增且恒大于零. a ? ?2≤2 ∴? ?-4<a≤4. 2 ? ?g?2?=2 -2a+3a>0 二、填空题 lg?4-x? 12.函数 y= 的定义域是________. x-3
? ? ?4-x>0, ?x<4, 解析 由? 得? ?x-3≠0, ? ? ?x≠3,

∴定义域为{x|x<3 或 3<x<4}. 答案 {x|x<3 或 3<x<4}

1 ? ?x2+2 ?x<0?, 13.函数 f(x)=? 若 f(1)+f(a)=2,则 a=________. x-1 ? ?e ?x≥0?, 答案 1 或- 2 2

14.y=log0.3(x2-2x)的单调减区间为________. 解析 写单调区间注意函数的定义域. 答案 (2,+∞)
x

a ,?x>1?, ? ? 15.若函数 f(x)=?? a? 为 R 上的增函数,则实数 a 的取值范围是________. 4- x+2,?x≤1? ? ?? 2?

解析

? ?4-a>0, 由题意得? 2 a ? ?a≥4-2+2,
[4,8)
2-2x-3

a>1,

得 4≤a<8.

答案

16.关于函数 y=2x

有以下 4 个结论:

①定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞); ②递增区间为[1,+∞); ③是非奇非偶函数; 1 ④值域是( ,+∞). 16 则正确的结论是________.(填序号即可) [答案] ②③ [解析] ①不正确,因为 y=2 x
2-2x-3

的定义域为 R;

④不正确,因为 x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4,

∴2 x

2-2x-3

1 1 - ≥2 4= ,即值域为[ ,+∞); 16 16
x2-2x-3

②正确,因为 y=2u 为增函数,u=x2-2x-3 在(-∞,1]上为减函数,在[1,+∞)上为增函数,所以 y=2 的递增区间为[1,+∞); ③正确,因为 f(-x)≠f(x)且 f(-x)≠-f(x). 三、解答题

1 17.(本小题满分 12 分)已知定义域为 R 的偶函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,且 f( )=0,求不等式 f(log4x)>0 的 2 解集. [解析] 因为 f(x)是偶函数, 1 1 所以 f(- )=f( )=0, 2 2 又 f(x)在[0,+∞)上是增函数, 所以 f(x)在(-∞,0)上是减函数. 1 1 所以 f(log4x)>0?log4x> 或 log4x<- , 2 2 1 解得:x>2 或 0<x< , 2 则不等式 f(log4x)>0 的解集是 1 {x|x>2,或 0<x< }. 2 18.已知函数 f(x)=a-

2 .[来源:Zxxk.Com] 2 ?1
x

(1)求 f(0); (2)探究 f(x)的单调性,并证明你的结论; (3)若 f(x)为奇函数,求满足 f(ax)<f(2)的 x 的范围. 13. 解:(1)f(0)=a-

2 =a-1; 2 ?1
0

(2)f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数. 证明如下: f(x+h)-f(x)= ? a ? =
x

2 ? 2 ? 1 2x?h ? 1 2x?h ? 2x = 2? x (2 ? 1)(2 x ? h ? 1)
= 2 ? 2x ?

? ? 2

2 2
x?h

2 ? ? ? ???a ? x ? ?1 ? ? 2 ?1 ?

2h ? 1 . (2 x ? 1)(2 x ? h ? 1)

∵h>0,∴2h-1>0. ∴f(x+h)>f(x),故 f(x)在(-∞,+∞)上为递增函数. (3)由于 f(x)为奇函数,且定义域为 R, ∴ f(0)=0,故 a-1=0,得 a=1. ∴f(ax)<f(2)即 f(x)<f(2). 又∵f(x)在 R 上单调递增,∴x<2. 3 ? 19.(12 分)已知 0<a<1,函数 f(x)=loga(6ax2-2x+3)在? ?2,2?上单调递增,求 a 的取值范围.

1 ? ?a≤12, ?6a≥2, 解 由题意得? 得? 1 2 ? ?6a×2 -2×2+3>0, ?a>24, 得 1 1 <a≤ , 24 12

1

1 1 故 a 的取值范围是 <a≤ . 24 12 20.(13 分)已知函数 f(x)=ax k(a>0,且 a≠1)的图像过(-1,1)点,其反函数 f 1(x)的图像过点(8,2).
+ -

(1)求 a,k 的值; (2)若将其反函数的图像向左平移 2 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度,就得到函数 y=g(x)的图像,写出 y= g(x)的解析式; (3)若 g(x)≥3m-1 在[2,+∞)恒成立,求实数 m 的取值范围. 解
?a 1 k=1, ? (1)由题意得? 2+k ? ?a =8.
- + +

?a=2, ? 解得? ? ?k=1.

(2)由(1)知 f(x)=2x 1,得 f 1(x)=log2x-1,将 f 1(x)的图像向左平移 2 个单位,得到 y=log2(x+2)-1,再向上平移到 1 个单位,得到 y=g(x)
- -

=log2(x+2). (3)由 g(x)≥3m-1 在[2,+∞)恒成立, 只需 g(x)min≥3m-1 即可. 而 g(x)min=log2(2+2)=2, 即 2≥3m-1,得 m≤1. 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=2x 的定义域是[0,3],设 g(x)=f(2x)-f(x+2). (1)求 g(x)的解析式及 定义域; (2)求函数 g(x)的最大值和最小值. 16.解:(1)∵f(x)=2x,∴g(x)=f(2x)-f(x+2)=22x-2x 2.


∵f(x)的定义域是[0,3], ∴?

?0 ? 2x ? 3, 解得 0≤x≤1. ?0 ? x ? 2 ? 3,

∴g(x)的定义域是[0,1]. (2)g(x)=(2x)2-4×2x =(2x-2)2-4. ∵x∈[0,1], ∴2x∈[1,2]. ∴当 2x=1,即 x=0 时,g(x)取得最大值-3; 当 2x=2,即 x=1 时,g(x)取得最小值-4. 22.(本小题满分 12 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)= (1)求 b 的值; (2)判断函数 f( x)的单调性;

?2 x ? b 是奇函数. 2 x ?1 ? 2

(3)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒立,求 k 的取值范围. 解:(1)∵f(x)在定义域 R 上是奇函数,∴f(0)=0,即

b ?1 =0 ,∴b=1. 2?2

(2)由(1)知 f(x)=

1 ? 2x 1 1 ?? ? x , x ?1 1? 2 2 2 ?1

设 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=

1 1 2 x2 ? 2 x1 . ? ? 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

∵函数 y=2x 在 R 上是增函数且 x1<x2, ∴2 2 ?2 1 ? 0.
x x

又 (2 1 ? 1)(2 2 ? 1)>0 ,∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),
x x

∴f(x)在(-∞,+∞)上为减函数. (3)因 f(x)是奇函数,从而不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0, 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2), 因 f(x)为减函数,由上式推得 t2-2t>k-2t2. 即对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0, 从而判别式 Δ=4+1 2k<0 ? k< ?

1 . 3


3x-2 x 23.(本小题满分 13 分)已知函数 f(x)= x - . 3 +2 x (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)判断 f(x)的单调性,并加以证明; (3)写出 f(x)的值域. 3x-2 x 2x· 3x-1 6x-1 [解析] (1)f(x)= x = , -x= x x 3 +2 2· 3 +1 6x+1


6 x -1 1- 6x 所以 f(-x)= -x = =-f(x),x∈R, 6 +1 1+6x


则 f(x)是奇函数. (2)f(x)= 6x-1 ?6x+1?-2 2 = =1- x 在 R 上是增函数. 6x+1 6x+1 6 +1

证明如下:任意取 x1,x2,使得 x1>x2, ∵6x1>6x2>0, 则 f(x1)-f(x2)= = 2 2 - 6x2+1 6x1+1

2?6x1-6x2? >0, ?6x1+1??6x2+1?

所以 f(x1)>f(x2),则 f(x)在 R 上是增函数. (3)∵0< 2 <2, 6x+1

2 ∴f(x)=1- x ∈(-1,1), 6 +1 则 f(x)的值域为(-1,1).

24.(本小题满分 14 分)已知 a>1,f(logax)= (1)求 f(x); (2)判断并证明 f(x)的单调性;

a 1 · (x- ). x a2-1

(3)若 f(1-m)+f(2m)<0,求 m 的取值范围. [解析] (1)设 t=logax,则 x=at, a 1 则 f(t)= 2 (at- t), a a -1 a - ∴f(x)= 2 (ax-a x)(x∈R). a -1 (2)设 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= = = a a - - (ax1-a x1)- 2 (ax2-a x2) a2-1 a -1

a - - [(ax1-ax2)+(a x2-a x1)] a2-1 a 1 (ax1-ax2)(1+ ). ax a -1 1ax2
2

∵a>1,∴ax1<ax2,则有 ax1-ax2<0. 而 a 1 >0,1+ >0, ax1ax2 a2-1

∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). ∴函数 f(x)为 R 上的增函数. a - (3)∵f(-x)= 2 (a x-ax) a -1 a - =- 2 (ax-a x)=-f(x), a -1 ∴f(x)为奇函数. ∵f(1-m)+f(2m)<0, ∴f(1-m)<-f(2m)=f(-2m). ∵f(x)在 R 上是增函数, ∴1-m<-2m. 解得 m<-1. 故 m 的取值范围是(-∞,-1).


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