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含参不等式的恒成立问题1_图文

时间:2014-11-29

学习目标:
学生掌握确定恒成立不等式中参数范围的常见求解策略与方法。

学习重难点:
根据不同条件选择恰当的方法确定不等式恒成立中的参数范围。

数学思想方法:
转化与化归、函数与方程、数形结合等思想方法。

【诊断训练】
1. 若不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? k 对一切 x ? R 恒成立,则实数的取值范围是( ). A.

k ?3

B.

k ?3

C.

k ?3

D.

k ?3

2.已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 1在区间 (0,2] 内单调递减,则实数 a 的取值范围是( A.

a?3

B.

a?3

C. a ? 3

D.

0?a?3


2 3.已知函数 y ? x ? 2(a ? 1) x ? 2 在 [4,??) 上是增函数,则实数 a 的取值范围是(

A.[3,??)

B.(??,?3]

C.[?3,??)

D.(??,5]

1.转化成求 x ? 1 ? x ? 2 的最小值

?1

2

P1

P2

P3

法1.距离法
构造数轴上的点P,其坐标为 则原不等式左端即 PA ? PB

x

定点A、B坐标分别为1,2,

法2.利用 a ? b ? a ? b
3

x ?1 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 3
法3.设 f ( x) ? x ?1 ? x ? 2

-1

2



? ?2 x ? 1, ( x ? ?1) ? f ( x) ? ?3, ( ?1 ? x ? 2) ? 2 x ? 1, ( x ? 2) ?

2.法1 f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? 0 在 (0, 2] 上恒成立

f ?(0) ? 0 只需 f ?(2) ? 0 即 a ? 3 3 法2 a ? x 在 (0, 2] 上恒成立 即 a ? 3 2 2 2 法3. 令 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 0 ? x(3x ? 2a) ? 0 ? x ? 0或x ? a 3 当 a ? 0, x ? 0 时,f ?( x) ? 0 f ( x)在( 上递增,不合题意 0, ? ?) 2 2 当 a ? 0, a ? x ? 0 时,f ?( x) ? 0 f ( x )在(0, a ] 上递减 3 3
因为 又因为 f ( x)在( 0,2] 上递减 所以

2 a?2?a?3 3
2

2 法4.3x ? 2ax

在同一直角坐标系内作函数

y ? 3x2 , y ? 2ax 的图像

3. 法1. 因为
所以 故

y ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在 [4,??)

上是增函数

y? ? 2 x ? 2(a ? 1) ? 0 在 [4,??) 上恒成立

a ? 1 ? x 在 [4,??) 上恒成立
a ? ?3

所以

2 法2. 因为 y ? x ? 2(a ? 1) x ? 2 在 [1 ? a, ??) 上是增函数

所以 1 ? a ? 4
所以

a ? ?3

【例题讲解】
3 2 (08全国I.21)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? x ? 1 , x ? R ,设函数 f ( x) 在区间

2 1 (? ,? ) 内是减函数,求 3 3

a 的取值范围.

解法1. (函数最值法)

? ?

f ( x) ? x 3 ? ax2 ? x ? 1 ? f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 1
2 1 函数 f ( x) 在区间 (? ,? ) 内是减函数, 3 3

?

f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 1 ? 0
2

2 1 x ? ( ? ,? ) 对一切 3 3 成立

? ? 2 f (? ) ? 0 ? ? 3 只需 ? ? f ?( ? 1 ) ? 0 ? 3 ?

解得 a ? 2



a

的取值范围为 [2,??)

解法2. (分离参数法)

?
?

f ( x) ? x 3 ? ax2 ? x ? 1 ? f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 1

2 1 ( ? ,? ) 内是减函数 函数 f ( x) 在区间 3 3

?

f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 1 ? 0
2

2 1 x ? ( ? ,? ) 对一切 3 3 成立

? 2 a ? ?3 x ?

2 1 x ? ( ? ,? ) 3 3 1 2 ? t ? 令 ? x ? t ,则 3 3 1 1 2 设 g (t ) ? 3t ? ( ? t ? ),则 2a ? [ g (t )]max t 3 3 1 [ g ( t )] ? g ( )?4 由 g (t ) 的单调性可知 max 3

1 ?x

? 2a ? 4, a ? 2


a

的取值范围为 [2,??)

解法3. (集合包含关系法)

? ?

f ( x) ? x 3 ? ax2 ? x ? 1 ? f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 1

?

2 1 ( ? ,? ) 内是减函数 函数 f ( x) 在区间 3 3 2 1 2 x ? ( ? ,? ) f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 1 ? 0 对一切 3 3 成立

2 当 ? ? 4(a ? 3) ? 0,

即 ? 3 ? a ? 3 时, 2 1 2 x ? ( ? ,? ) 均不成立; 不等式 3x ? 2ax ? 1 ? 0对一切 3 3
2 当 ? ? 4(a ? 3) ? 0,

即a??

3 或 a ? 3 时,

2 2 ? a ? a ? 3 ? a ? a ?3 不等式 3x ? 2ax ? 1 ? 0 的解集为: ( , ) 3 3 2 1 2 x ? ( ? ,? ) 要使 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 1 ? 0 对一切 3 3 成立

2

2 1 ? a ? a2 ? 3 ? a ? a2 ? 3 则有 (? ,? ) ? ( , ) 3 3 3 3 ? a ? a2 ? 3 2 ? a ? a2 ? 3 1 ? ? ? ? 于是 且 3 3 3 3 解得 a ? 2



a

的取值范围为 [2,??)

解法4. (数形结合法)

?

f ( x) ? x 3 ? ax2 ? x ? 1 ? f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 1

?

2 1 ( ? ,? ) 内是减函数 f ( x ) 函数 在区间 3 3
2

A

B

2 1 x ? ( ? ,? ) ? f ?( x) ? 3x ? 2ax ?1 ? 0 对一切 3 3 成立 2 1 2 x ? ( ? ,? ) 即 3x ? 1 ? ?2ax 对一切 3 3 成立.

?

2 1 ? 3 3

在同一直角坐标系内作函数 y ? 3x 2 ? 1与 y ? ?2ax 的图像,如图:

设点 A( ?

2 7 1 4 , ), B ( ? , ) 3 3 3 3

直线 l : y ? ?2ax ,由题意可知 (a ? 0)

且点B应在直线 l 上或下方.

a ? 2 由图像可知当 a ? 2 时,符合题意 当直线 l 经过点 B ( ? 3 , 3 )时,


1 4

a

的取值范围为 [2,??)

【变式训练】

1. (2010山东)若对任意 x>0 ,

x ? a恒成立,则 a 的取值范围是________ x 2 ? 3x ? 1

2. 设函数 f ( x) ? mx2 ? mx ? 1

①若对于一切实数

x, f ( x) ? 0 恒成立,求 m 的取值范围。 x 的取值范围。

②若对于 m ? [?2,2] , f ( x) ? ?m ? 5 恒成立,求

变式2:
解:(1)当


m ? 0 时,显然成立;
2 m ? 0 时,应有 m ? 0, ? ? m ? 4m ? 0

解之得 ?4 ? m ? 0 综上:m 的取值范围为 (2)将f ( x )

?4 ? m ? 0
2

2 ? ? m ? 5 变换成关于 m的不等式 m( x ? x ? 1) ? 6 ? 0

g (m) ? m( x 则命题等价于 m ? [?2, 2] 时,
x2 ? x ? 1 ? 0

? x ? 1) ? 6 ? 0

? g (m)在m ?[?2, 2] 上单调递增
只需

g (2) ? 2( x2 ? x ? 1) ? 6 ? 0

??1 ? x ? 2


x

的取值范围为 (?1, 2)

【探究提高】
2 1、讨论形如 ax ? bx ? c ? 0 的恒成立问题时必须对a ? 0, a ? 0 分类讨论,否则会漏解.

2、已知不等式恒成立求参数范围的问题,涉及函数、方程、不等式,综合性强,常利 用以下结论会起到事倍功半的效果.

?a ? b ? 0 ?a ? 0 2 ① ax ? bx ? c ? 0 恒成立 ? ? 或 ? ?c ? 0 ?? ? 0 ?a ? b ? 0 ?a ? 0 或 ? ?c ? 0 ?? ? 0 ? f (m) ? 0 ② f ( x) ? ax ? b ? 0 在区间 [ m, n]上恒成立 ? ? ? f ( n) ? 0
ax2 ? bx ? c ? 0 恒成立 ? ?

? f (m) ? 0 ③ f ( x) ? ax ? b ? 0 在区间 [ m, n] 上恒成立 ? ? ? f ( n) ? 0 ?a ? 0 ④ f ( x) ? ax ? b ? 0 (a ? 0) 在区间 [m,??] 上恒成立 ? ? ? f (m) ? 0

? b 2 ? 4ac ? 0 ⑤ f ( x) ? ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 在区间 [ m, n] 上恒成立,
? b ?m ?? 或 ? 2a ? ? f ( m) ? 0
2

? b ? ?n 或 ? ? 2a ? ? f ( n) ? 0

? f (m) ? 0 ?? ⑥ f ( x) ? ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 在区间 [ m, n] 上恒成立, ? f ( n) ? 0
⑦已知函数 f ( x )的值域为 [ m, n] ,则

f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x) min ? a ? m ? a
f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)max ? a ? n ? a
⑧若 f ( x, a) ? m 对任意 x ? D 恒成立,则 f ( x, a) min ? m
若 f ( x, a) ? m 对任意 x ? D恒成立,则 f ( x, a) max ? m

作业
1.若不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? k 对一切 x ? R 恒成立,则实数 k 的取值范围是( ) A.

k ?1

B.

k ?1

C.

k ?1

D.

k ?1

2.如果对 x 2 ? ( y ?1)2 ? 1上的任意一点 P ( x, y ) ,不等式 x ? y ? c ? 0 恒成立, 则 c 的取值范围是( ) A.

c? 2
2

B.

c ? 2 ?1

C.

c?0

D.

c ? 1? 2

3.设 f ( x) ? x ? mx ? 1 ,分别在下列条件下求 m 的取值范围。
⑴若对于任意

x

都有 f ( x) ? 0 成立;

⑵当 x ? [1,2] , f ( x) ? 0 恒成立; ⑶当 x ? (0, ] , f ( x) ? 0

1 2

恒成立.

4.(09江西.17)设函数 f ( x ) ? x 3 ?

f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的取值范围。

9 2 x ? 6 x ? a ,若对于任意 x , 2

5.(07全国I.20)设函数 f ( x) ? 2 x3 ? 9 x 2 ? 12x ? 8c ,若对于任意 x ? [0,3] , 都有 f ( x) ? c 成立,求 c 的取值范围。
2

6.(09银川一摸)已知 f ( x) ? ?2x ? 3x ,若在区间 [0, m ] (m ? 0) 上
3 2

恒有 f ( x) ? x 成立,求 m 的取值范围. 7.(06四川21)已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ?1, g ( x) ? f ?( x) ? ax ? 5 , 其中 f ?( x ) 是 f ( x ) 的导函数,对满足 ? 1 ? a ? 1 的一切 a 的值, 都有 g ( x) ? 0 ,求实数 x 的取值范围.


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