nbhkdz.com冰点文库

高中数学 第十章-排列组合二项定理知识点总结

时间:2010-12-31


高中数学第十章-排列组合二项定理
考试内容: 分类计数原理与分步计数原理. 排列.排列数公式. 组合.组合数公式.组合数的两个性质. 二项式定理.二项展开式的性质. 考试要求: (1)掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题. (2)理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题. (3)理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的 应用问题. (4)掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题.

§ 排列组合二项定理知识要点 10.
一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可以有重复元素的排列. ....... 从 m 个不同元素中,每次取出 n 个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排, 那么第一、第二……第 n 位上选取元素的方法都是 m 个,所以从 m 个不同元素中,每次取 出 n 个元素可重复排列数 m·m·… m = mn.. 例如:n 件物品放入 m 个抽屉中,不限放法,共 有多少种不同放法?(解: m 种) 二、排列. 1. ?对排列定义的理解. 定义:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从 n 个不同 ...... 元素中取出 m 个元素的一个排列. ?相同排列. 如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相 同. ?排列数. 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素排成一列,称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个排列. 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数,用符号 An 表示. ?排列数公式:
A m ? n( n ? 1) ? ( n ? m ? 1) ? n! ( n ? m )! ( m ? n, n, m ? N )
m
n

注意: n ? n! ? (n ? 1)!?n! 规定 0! = 1
m m ?1 m 1 1 0 A n ?1 ? A m ? A m ?C m ?n ? A m ? mA m ?n An ? nAn ?1 规定 C n ?C n ? 1 n n m n

2. 含有可重元素的排列问题. ...... 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集 S 有 k 个不同元素 a1,a2,…...an 其中限重复数

1

为 n1、n2……nk,且 n = n1+n2+……nk, 则 S 的排列个数等于 n ?

n! n1 ! n 2 !... n k !

.

例如:已知数字 3、2、2,求其排列个数 n ? (1 ? 2)! ? 3 又例如:数字 5、5、5、求其排列个
1!2!

数?其排列个数 n ?

3! 3!

? 1.

三、组合. 1. ?组合:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. ?组合数公式: C m ? n
m

Am n A
m m

?

n ( n ? 1) ? ( n ? m ? 1) m!

C m? n

n! m! ( n ? m )!

?两个公式:① C n ?C

n?m n;

②C

m ?1 m m n ? C n ?C n ?1

①从 n 个不同元素中取出 m 个元素后就剩下 n-m 个元素,因此从 n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的,因此是一样多的就是说从 n 个不同元素中取出 n-m 个元素的 唯一的一个组合. (或者从 n+1 个编号不同的小球中,n 个白球一个红球,任取 m 个不同小球其不同选法, 分二类,一类是含红球选法有 C
m ?1 n 1 ?C 1 ?C m ?n 一类是不含红球的选法有 C m ) n 1

②根据组合定义与加法原理得;在确定 n+1 个不同元素中取 m 个元素方法时,对于某一元 素,只存在取与不取两种可能,如果取这一元素,则需从剩下的 n 个元素中再取 m-1 个元 素,所以有 C
m
m ?1 n

,如果不取这一元素,则需从剩余 n 个元素中取出 m 个元素,所以共有
m ?1 m m n ? C n ?C n ?1 .

C n 种,依分类原理有 C

?排列与组合的联系与区别. 联系:都是从 n 个不同元素中取出 m 个元素. 区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺序关系. ?①几个常用组合数公式
0 1 2 C n ? C n ? C n ? ?? n ? 2 n n
0 2 4 1 3 5 C n ? C n ? C n ? ? ?C n ? C n ? C n ? ? ? 2 n ?1 m C m ? C m ?1 ? C m ?m ?C m ?m ?C m ?m ?1 n 2 n n ?1

kC k ? nC k ?1 n n ?1 1 k ?1 Ck? n 1 n ?1 C k ?1 n ?1
1 2! 2 3! 3 4! n ( n ? 1)! 1 ( n ? 1)! n ?1 n! 1 ( n ? 1)! 1 n!

②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如:
? ? ?? ? 1?

(利用

?

?



ii. 导数法. iii. 数学归纳法.

iv. 倒序求和法.
2

v. 递推法(即用 C n ? C
m

m ?1 n

?C n ?m 递推)如: C 3 ? C 4 ? C 5 ? ?C n ?C n ?1 . 1
3 3 3 3 4
1 2 n 2 n

vi.构造二项式. 如: (C n ) ? (C n ) ? ? ? (C n ) ?C 2 n
0 2
n n 2n 证明:这里构造二项式 ( x ? 1) (1 ? x ) ? (1 ? x ) 其中 x n 的系数,左边为

0 1 1 2 2 0 0 1 C n ?C n ?C n ?C n ?n ?C n ?C n ? n ? ? ?C n ?C n ? (C n ) 2 ? (C n ) 2 ? ? ? (C n ) 2 ,而右边 ?C 2 n n n n

n

四、排列、组合综合. 1. I.排列、组合问题几大解题方法及题型: ①直接法. ②排除法. ③捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之后再 考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”,例如,一般地,n 个不同元素排成 一列,要求其中某 m(m ? n) 个元素必相邻的排列有 A n ? m ?1 ? A m 个.其中 A n ? m ?1 是一个“整体排
m n ? m ?1 n ? m ?1

列”,而 A m 则是“局部排列”.
2 又例如①有 n 个不同座位,A、B 两个不能相邻,则有排列法种数为 A n ? A n ?1 ? A 2 . 1 2

m

②有 n 件不同商品,若其中 A、B 排在一起有 A n ?1 ? A 2 . n ?1 2
2 ③有 n 件不同商品,若其中有二件要排在一起有 A n ? A n ?1 . n ?1

注:①③区别在于①是确定的座位,有 A 2 种;而③的商品地位相同,是从 n 件不同商品任 2 取的 2 个,有不确定性. ④插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中,此法主 要解决“元素不相邻问题”. 例如:n 个元素全排列,其中 m 个元素互不相邻,不同的排法种数为多少? A n ? m ? A n ? m ?m (插 n?m 1 空法),当 n – m+1≥m, 即 m≤ n ? 1 时有意义.
2

⑤占位法: 从元素的特殊性上讲, 对问题中的特殊元素应优先排列, 然后再排其他一般元素; 从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,然后再排其他剩余位置.即采用“先 特殊后一般”的解题原则. ⑥调序法:当某些元素次序一定时,可用此法.解题方法是:先将 n 个元素进行全排列有 A n 种,m ( m ? n ) 个元素的全排列有 A m 种,由于要求 m 个元素次序一定,因此只能取其中的某 一种排法,可以利用除法起到去调序的作用,即若 n 个元素排成一列,其中 m 个元素次序 一定,共有
An n Am m
m n

种排列方法.

例如:n 个元素全排列,其中 m 个元素顺序不变,共有多少种不同的排法?
3

解法一: (逐步插空法) (m+1) (m+2)…n = n!/ m!;解法二: (比例分配法) A n / A m . ⑦平均法:若把 kn 个不同元素平均分成 k 组,每组 n 个,共有
n C kn ?C ( k ?1) n ?C n n n

n

m

Ak k

.

例如:从 1,2,3,4 中任取 2 个元素将其平均分成 2 组有几种分法?有

C2 4 2!

? 3 (平均分组

就用不着管组与组之间的顺序问题了) 又例如将 200 名运动员平均分成两组, 其中两名种子 选手必在一组的概率是多少? (P ?
8 2 C 18 C 2 10 C 20 / 2!



注意:分组与插空综合.例如:n 个元素全排列,其中某 m 个元素互不相邻且顺序不变,共 有多少种排法?有 A n ? m ? A n ? m ?1 / A m ,当 n – m+1 ≥m, 即 m≤ n ? 1 时有意义.
m m n?m

2

⑧隔板法:常用于解正整数解组数的问题. 例如: 1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? 12 的正整数解的组数就可建立组合模型将 12 个完全相同的球排成一列, x 在它们之间形成 11 个空隙中任选三个插入 3 块摸板,把球分成 4 个组.每一种方法所得球的 数目依次为 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 显然 x 1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? 12 ,故( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 )是方程的一组解.反之,方 程的任何一组解 ( y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) ,对应着惟一的一种在 12 个球之间插入隔板的方式(如图
3 所示)故方程的解和插板的方法一一对应.即方程的解的组数等于插隔板的方法数 C 11 . x1 x2 x3 x4

注 意 : 若 为 非 负 数 解 的 x 个 数 , 即 用 a1 , a 2 ,...a n 中 a i 等 于 xi ? 1 , 有 x1 ? x2 ? x3 ... ? xn ? A ? a1 ? 1 ? a2 ? 1 ? ...an ? 1 ? A , 进 而 转 化 为 求 a 的 正 整 数 解 的 个 数 为
n C A ?1 . ?n

⑨定位问题:从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列规定某 r 个元素都包含在内, 并且都排在某 r 个指定位置则有

A rr A k ? r n?r

.

例如:从 n 个不同元素中,每次取出 m 个元素的排列,其中某个元素必须固定在(或不固 定在)某一位置上,共有多少种排法?
m 固定在某一位置上: A n ?1 ;不在某一位置上: A n ? A n ?1 或 A n ?1 ? A m ?1 ? A m ?1 (一类是不取出 1 n ?1

m ?1

m

m ?1

特殊元素 a,有 A n ?1 ,一类是取特殊元素 a,有从 m-1 个位置取一个位置,然后再从 n-1 个 元素中取 m-1,这与用插空法解决是一样的) ⑩指定元素排列组合问题. i. 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同的元素作排列(或组合),规定某 r 个元素都包含在 内。先 C 后 A 策略,排列 C r C n ? r A k ;组合 C r C n ? r . ii. 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列(或组合),规定某 r 个元素都不包含
4
r k ?r k r k ?r

m

在内。先 C 后 A 策略,排列 C n ? r A k ;组合 C n ? r . iii 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列(或组合),规定每个排列(或组合) 都只包含某 r 个元素中的 s 个元素。先 C 后 A 策略,排列 C r C n ? r A k ;组合 C r C n ? r . II. 排列组合常见解题策略: ①特殊元素优先安排策略;②合理分类与准确分步策略;③排列、组合混合问题先选后排的 策略(处理排列组合综合性问题一般是先选元素,后排列);④正难则反,等价转化策略; ⑤相邻问题插空处理策略; ⑥不相邻问题插空处理策略; ⑦定序问题除法处理策略; ⑧分排问题直排处理的策略; ⑨“小 集团”排列问题中先整体后局部的策略;⑩构造模型的策略. 2. 组合问题中分组问题和分配问题. ①均匀不编号分组:将 n 个不同元素分成不编号的 m 组,假定其中 r 组元素个数相等,不 管是否分尽,其分法种数为 A / A r (其中 A 为非均匀不编号分组中分法数).如果再有 K 组 r 均匀分组应再除以 A k . k 例:10 人分成三组,各组元素个数为 2、4、4,其分法种数为 C 10 C 8 C 4 / A 2 ? 1575 .若分成
2 4 4 2

k

k

k

s

k ?s

k

s

k ?s

六组,各组人数分别为 1、1、2、2、2、2,其分法种数为 C 10 C 9 C 8 C 6 C 4 C 2 / A 2 ? A 4
1 1 2 2 2 2 2 4

②非均匀编号分组: n 个不同元素分组,各组元素数目均不相等,且考虑各组间的顺序,其 分法种数为 A ? A m m 例:10 人分成三组,各组人数分别为 2、3、5,去参加不同的劳动,其安排方法为:
2 3 C 10 ?C 8 ?C 5 ? A 3 种. 5 3

若从 10 人中选 9 人分成三组,人数分别为 2、3、4,参加不同的劳动,则安排方法有
2 3 C 10 C 8 C 4 ? A 3 种 5 3

③均匀编号分组:n 个不同元素分成 m 组,其中 r 组元素个数相同且考虑各组间的顺序,其 分法种数为 A / A r ? A m . r m
2 4 C 10 C 8 C 4 4

例:10 人分成三组,人数分别为 2、4、4,参加三种不同劳动,分法种数为

A

2 2

?A3 3

④非均匀不编号分组:将 n 个不同元素分成不编号的 m 组,每组元素数目均不相同,且不 考虑各组间顺序,不管是否分尽,其分法种数为 A
m ? C m1 C n -2m1 … C m-k(m 1 ? m 2 ? ...? m k -1 ) n n

例:10 人分成三组,每组人数分别为 2、3、5,其分法种数为 C 102C 83C 5 ? 2520 若从 10 人中选 5
3 出 6 人分成三组,各组人数分别为 1、2、3,其分法种数为 C 101C 92C 7 ? 12600 .

五、二项式定理.

5

n 0 n 0 1 n ?1 r n?r r n 0 n 1. ?二项式定理: (a ? b) ?C n a b ?C n a b ? ? ?C n a b ? ? ?C n a b .

展开式具有以下特点: ① 项数:共有 n ? 1 项; ② 系数:依次为组合数 C n ,C n ,C n , ? ,C n , ? ,C n ; ③ 每一项的次数是一样的,即为 n 次,展开式依 a 的降幕排列,b 的升幕排列展开. ?二项展开式的通项.
( a ? b ) n 展开式中的第 r ? 1 项为: T r ?1?C n a
r n?r
0 1 2 r n

b r ( 0 ? r ? n, r ? Z ) .

?二项式系数的性质. ①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等; ②二项展开式的中间项二项式系数最大. ..... I. 当 n 是偶数时,中间项是第 ? 1 项,它的二项式系数 C 2 最大; n
2
n ?1 n ?1 2 n

n

n

II. 当 n 是奇数时, 中间项为两项, 即第 最大. ③系数和:
0 1 C n ?C n ? ? ?C n ? 2 n n 0 2 4 1 3 C n ? C n ? C n ? ? ?C n ? C n ? ? ? 2 n ?1

n ?1 2

项和第

n ?1 2

它们的二项式系数 C ? 1 项,

2

n ?C

n 附: 一般来说 ( ax ? by) ( a, b 为常数) 在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求 ...........

解. 当 a ? 1或 b ? 1 时,一般采用解不等式组 ? 的绝对值)的办法来求解.

? A k ? A k ?1 , ? A k ? A k ?1 或? ( A k 为 T k ?1 的系数或系数 ? A k ? A k ?1 ? A k ? A k ?1

n ? 如 何 来 求 ( a ? b ? c ) 展 开 式 中 含 a p b q c r 的 系 数 呢 ? 其 中 p, q, r ? N , 且 p ? q ? r ? n 把

r ( a ? b ? c ) n ? [(a ? b) ? c ] n 视 为 二 项 式 , 先 找 出 含 有 C r 的 项 C n ( a ? b ) n ? r C r , 另 一 方 面 在
q q ( a ? b ) n ? r 中 含 有 b q 的 项 为 C n ? r a n ? r ? q b q ?C n ? r a p b q , 故 在 ( a ? b ? c ) n 中 含 a p b q c r 的 项 为

r q C n C n ? r a p b q c r .其系数为 C nr C n ?q ? r

n!

r! ( n ? r )! q! ( n ? r ? q )!

?

( n ? r )!

?

n! r! q! p!

p q ?C n C n ? p C r . r

2. 近似计算的处理方法.
n 当 a 的绝对值与 1 相比很小且 n 不大时,常用近似公式 (1 ? a ) ? 1 ? na ,因为这时展开式的

2 2 3 3 n n n 后面部分 C n a ?C n a ? ? ?C n a 很小,可以忽略不计。类似地,有 (1 ? a ) ? 1 ? na 但使用这两

6

个公式时应注意 a 的条件,以及对计算精确度的要求.

7


高中数学第十章知识点总结(精华版)排列组合二项定理.doc

高中数学第十章知识点总结(精华版)排列组合二项定理 - 高中数学第十章-排列组合二项定理 考试内容: 分类计数原理与分步计数原理. 排列.排列数公式. 组合....

...知识总结高中数学知识点第十章-排列组合二项定理.doc

全国名校高中数学经典知识总结高中数学知识点第十章-排列组合二项定理_数学_高中教育_教育专区。全国名校高中数学经典知识总结 全国名校高中数学经典知识总结 高中数学...

高中数学 第十章-排列组合二项定理知识点总结.doc

高中数学第十章-排列组合二项定理考试内容: 分类计数原理与分步计数原理. 排列.

高中数学第十章知识点总结(精华版)排列组合二项定理.doc

高中数学第十章知识点总结(精华版)排列组合二项定理 - 排列组合二项定理 排列组合二项定理 知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可 以...

高中数学知识点总结_第十章排列组合和二项式定理.doc

高中数学知识点总结_第十章排列组合和二项式定理 - 高中数学第十章-排列组合二项定理 考试内容: 分类计数原理与分步计数原理. 排列.排列数公式. 组合.组合数公式...

高中数学知识点总结_第十章排列组合和二项式定理.doc

高中数学知识点总结_第十章排列组合和二项式定理 - 高中数学第十章-排列组合二项定理 考试内容: 分类计数原理与分步计数原理. 排列.排列数公式. 组合.组合数公式...

高中数学知识点第十章-排列组合二项定理_图文.doc

高中数学知识点第十章-排列组合二项定理 - 高中数学第十章-排列组合二项定理

高中数学知识点总结_第十章排列组合和二项式定理.doc

高中数学知识点总结_第十章排列组合和二项式定理 - 排列组合二项定理 知识要点

2011届高考数学 必看之-知识点总结 排列组合二项定理.doc

高中数学第十章-排列组合二项定理考试内容: 分类计数原理与分步计数原理. 排列.

高考数学基础知识总结:第十章 排列组合二项定理.doc

高考数学基础知识总结:第十章 排列组合二项定理_人力资源管理_经管营销_专业资料...高中数学:第十章 排列组合二项定理 考试内容: 分类计数原理与分步计数原理. ...

10【数学】高考数学基础知识总结:第十章 排列组合二项定理.doc

知识改变命运, 知识改变命运,学习成就未来 高中数学第十章高中数学第十章-排列组合二项定理考试内容: 考试内容: 分类计数原理与分步计数原理. 排列.排列数公式. ...

高考数学基础知识总结:第十章 排列组合二项定理.doc

高考数学基础知识总结:第十章 排列组合二项定理。基础知识总结 高考资源网(ks5u.com) 您身边的高考专家 高中数学第十章高中数学第十章-排列组合二项定理考试内容:...

高考数学 第十章 排列组合二项定理基础知识总结 北师大版.doc

高考数学 第十章 排列组合二项定理基础知识总结 北师大版。排列组合知识总结 高中数学第十章高中数学第十章-排列组合二项定理考试内容: 考试内容: 分类计数原理与...

2011届高考数学_必看之-知识点总结_排列组合二项定理.doc

2011届高考数学_必看之-知识点总结_排列组合二项定理 - 一.算法,概率和统

2011届高考数学知识点总结复习10.doc

2011届高考数学知识点总结复习10 - 高中数学第十章-排列组合二项定理 考试

2014高考数学必考知识点:排列组合二项定理.doc

2014高考数学必考知识点:排列组合二项定理 - 2014 高考数学必考知识点:排列组合二项定理 考试内容: 分类计数原理与分步计数原理. 排列.排列数公式. 组合.组合数...

2011届高考数学必看之-知识点总结_排列组合二项定理.doc

2011届高考数学必看之-知识点总结_排列组合二项定理 - 高中数学第十章高中数学第十章-排列组合二项定理 考试内容: 考试内容: 分类计数原理与分步计数原理. 排列....

000ZM2010届高考数学总结精华版第十章-排列组合二项定理.doc

000ZM2010届高考数学总结精华版第十章-排列组合二项定理 - 「「 高中数学第十章高中数学第十章-排列组合二项定理 考试内容: 考试内容: 分类计数原理与分步计数...

高中数学第十章-排列组合二项定理.doc

高中数学第十章-排列组合二项定理 - 高中数学第十章高中数学第十章-排列组合二项定理 考试内容: 考试内容: 分类计数原理与分步计数原理. 排列.排列数公式. 组合...

2011届高考数学 必看之-知识点总结 排列组合二项定理.doc

高中数学第十章-排列组合二项定理考试内容: 分类计数原理与分步计数原理. 排列.